Практическое занятие №1-2. Занятие 1 Цель занятия Освоить приемы непосредственного вычисления вероятностей

• Название: Занятие 1 Цель занятия Освоить приемы непосредственного вычисления вероятностей
• Дата: 29.10.2021
• Размер: 317 Kb.
• Имя файла: Практическое занятие №1-2.doc
• Тип: Занятие; #258662
• страница: 2 из 3

Контрольные вопросы
1. Что понимают под случайным событием?

2. Перечислите виды событий.

3. Чему равно достоверное событие?

4. Как условно обозначается невозможное событие?

5. Как вычисляется вероятность элементарного события?

6. В каких случаях применяют геометрические вероятности?

7. Перечислите свойства вероятностей.
1.5. Задачи для самостоятельного решения
1.1. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами
от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу
извлеченного жетона не содержит цифры 5.

1.2. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях
каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т.
Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиках можно будет прочесть слово «спорт».

1.3. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна
из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно переме­шаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной
и расположенных в одну линию карточках можно будет прочесть
слово «трос».

1.4. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен
на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок
открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно
определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть.

1.5. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной
полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

1.6. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обна­ружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

1.7. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

1.8. На отрезок ОА длины Lчисловой оси Ох наудачу постав­лена точка В(x). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, меньшую, чем L/3. Предполагается, что веро­ятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

1.9. Внутрь круга радиуса Rнаудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата.

1.10. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной а брошена монета радиусом r(r< а/2).Найти вероят­ность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата.

1.11. Преподаватель предлагает каждому из трех студен­тов задумать любое число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым студентом любого числа из заданных равновозможен, най­ти вероятность того, что у кого-то из троих задуманные числа совпадут.

1.12. Найти вероятность того, что в восьмизначном числе ровно 4 цифры совпадают, а остальные различны.

1.13. Шестеро клиентов случайным образом обратились в 5 фирм. Найти вероятность того, что хотя бы в одну фирму ник­то не обратился.

1.14. Среди 25 экзаменационных билетов имеется 5 «счас­тливых» и 20 «несчастливых». Студенты подходят за билетами по очереди. У кого больше вероятность вытащить «счастливый» би­лет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым?

1.15. Четыре человека вошли в лифт на первом этаже шестиэтажного дома. Найти вероятности того, что все пассажи­ры выйдут: а) на шестом этаже; б) на одном и том же этаже; в) на разных этажах.

1.16.Семь человек вошли в лифт на первом этаже вось­миэтажного дома. Какова вероятность того, что на одном этаже вышли два человека, а остальные — на разных?

1.17.Найти вероятность того, что дни рождения 12 чело­век приходятся на разные месяцы года.

1.18. Найти вероятность того, что в шестизначном номе­ре 3 цифры совпадают, а остальные различны (считаем, что шестизначные номера могут начинаться с нуля).

1.19. Впартии из 8 изделий 3 — высшего качества. Найти вероятность того, что среди отобранных (без возвращения) четы­рех изделий ровно одно изделие высшего качества.

1.20. На шахматную доску случайным образом постав­лены две ладьи. Какова вероятность того, что они не будут бить одна другую?

1.21. Группа из 18 студентов пишет контрольную работу из трех вариантов (каждый — по 6 человек). Найти вероятность того, что среди случайно выбранных пяти студентов есть писав­шие все три варианта.

1.22. Группе из 10 человек для производственной прак­тики предоставлено 6 мест в лаборатории № 1 и 4 места — в лабо­ратории № 2. Какова вероятность того, что при случайном рас­пределении мест двое неразлучных друзей из этой группы попадут на практику в одну лабораторию?

1.23.В трех студенческих группах 72 человека (по 24 че­ловека в группе — 12 юношей и 12 девушек). Наудачу выбраны 5 человек. Какова вероятность того, что среди них окажутся де­вушки из всех трех групп?

1.24. Работа каждого из четырех студентов заочного от­деления может проверяться одним из четырех преподавателей. Какова вероятность того, что все четыре работы проверены раз­ными преподавателями?

1.25. Известно, что телефонный звонок должен последовать от 11 часов до

11часов 30 минут. Какова вероятность того, что звонок произойдет в последние 10 минут указанного промежутка, если момент звонка случаен?

1.26. Найти вероятность того, что в пятизначном числе имеются 2 четные цифры и 3 нечетные, при условии, что все они различны (считаем, что пятизначное число не может начинаться с нуля).

1.27. Точка брошена случайным образом на квадрат пло­щадью 100 см². Какова вероятность того, что координаты (х, у)этой точки отличаются одна от другой не более чем на 1 см?

1.28. Студент может добраться до факультета либо ав­тобусом, интервал движения которого составляет 7 минут, либо троллейбусом, интервал движения которого — 10 минут. Найти вероятность того, что студенту, пришедшему на остановку в слу­чайный момент времени, придется ждать не более трех минут.

1.29. Наудачу взяты два положительных числа Xи Y, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма Х +Y не превышает 1, а произведение ХYне мень­ше 0,09.

1.30. В точке С , положение которой на телефонной ли­нии АВ длиной 10 км равновозможное, произошел разрыв. Опре­делить вероятность того, что точка С удалена от точки А , в которой находится ремонтная станция, на расстояние, не меньшее 1 км.

2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Практическое занятие № 2

Цель: Освоить методы практического применения основных

правил теории вероятностей
2.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Суммой двух событий AиBназывается событие, заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий AилиB (т.е. либо событие A, либо событие B, либо AиB одновременно). События AиB называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P(A) + P(B) .

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности. Условной вероятностью события B при условии, что произошло событие A, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события A, причем P(A) ≠ 0, обозначается символом P(B|A). Таким образом, по определению



Вероятность P(B), в отличии от условной, называется безусловной вероятностью.

Пример 2.1. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение. Введем события: A- появление шестерки на первой кости, B- на второй кости. Тогда A+B- появление хотя бы одной шестерки при бросании костей. События AиB совместные. По формуле находим P=(A+B) = 1/6+1/6 - 1/6·1/6 = =1/36.

Произведением (или пересечением) двух событий AиB называется событие, состоящее в одновременном появлении и события A, и события B.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошли:

P(A₁·A₂·A₃ ·… · A_n) = P(A₁) ·P(A₂|A₁)·P(A₃|A₁·A₂)·… ·P(A_n|A₁·A₂…·A_n-1).

Теорема умножения вероятностей принимает более простой вид, если события, образующие произведение, независимы.

Событие Aназывается независимым от события B, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. если выполняется равенство

P(A|B) =P(A).

Если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A. Таким образом, два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность появления другого. Для независимых событий правило умножения вероятностей принимает вид

P(A·B) =P(A)·P(B),

т.е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 2.2. Надежность (т.е. вероятность безотказной работы) прибора равна 0,7. Для повышения надежности данного прибора он дублируется п - 1 другими такими же приборами, соединенными параллельно. Сколько приборов надо взять, чтобы повысить его надежность до 0,95?

Решение. Вероятность выхода из строя всех приборов равна

.

Следовательно, вероятность безотказной работы равна . По условию . Отсюда т.е.

На практике о независимости тех или иных событий судят из анализа условий опыта, считая независимыми события, между которыми нет причинно-следственных связей.

Понятие независимости может быть распространено на случай n событий. События А₁,А₂, ..., А_п называются независимыми ( или независимыми в совокупности), если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности.

Правило сложения и правило умножения вероятностей редко применяются порознь; обычно они применяются вместе. Наиболее типична следующая схема: событие A, вероятность которого требуется найти, представляется в виде суммы нескольких вари­антов

А = А₁ + А₂ + ... + А_п .

Каждый из вариантов представляется в виде произведения каких-то событий. Вероятность каждого варианта вычисляется по правилу умножения, затем вероятности вариантов складываются. Бывают и более сложные схемы, где вероятность каждого из событий, произ­ведением которых образован вариант, в свою очередь вычисляется по правилу сложения, и т.д.
2.2 Примеры решения типовых задач
Пример 2.3. Имеется две урны, в первой 2 белых и 3 черных шара, во второй - 4 белых и 2 черных. Из каждой урны вынимает­ся по одному шару. Найти вероятность того, что они будут одного и того же цвета.

Решение. Событие А = {оба шара одного цвета} можно пред­ставить в виде суммы двух вариантов:

А₁ = {оба шара белые}; А₂ ={оба шара черные}; А = А₁ + А₂.

Каждый из вариантов есть произведение двух событий: А₁= В₁·В₂, А₂ = С₁·С₂,

где В₁ = {из первой урны вынут белый шар},

В₂ = {из второй урны вынут белый шар},

C₁ = {из первой урны вынут черный шар},

С₂ = {из второй урны вынут черный шар}.

События B₁, B₂между собой независимы; также и события С₁,С₂. Применяя правило умножения для независимых событий, получим:

Р (A₁) = P (B₁)· P (B₂)= (2/5) ·(4/6) = 4/15,

Р (A₂) = P (C₁)· P (C₂) = (3/5) · (2/6) = 1/5.

Так как варианты A₁ и А₂несовместны, то по правилу сложения

Р(A) = Р (А₁) + P(A₂) = 4/15 + 1/5 = 7/15.

Пример 2.4. В условиях предыдущего примера найти вероят­ность того, что шары будут разных цветов: D = {шары разных цветов}.

Решение. Можно было бы, конечно, как в предыдущем при­мере, представить Dв виде суммы двух вариантов:

D₁= {из первой урны вынут белый шар, из второй — черный},

D₂ = {из первой урны вынут черный шар, из второй — белый},

но гораздо проще будет решить задачу, воспользовавшись результа­тами предыдущего примера; действительно, событие Dпротивопо­ложно событию А предыдущего примера:

D= , откуда P(D) = 1 - Р(А) = 8/15.

Пример 2.5. Производятся три независимых выстрела по ми­шени; вероятности попадания в мишень при первом, втором,третьем выстреле равны соответственно р₁, р₂, р₃. Найти вероят­ность того, что в мишень произойдет ровно два попадания.

Решение. Событие А = {ровно два попадания} представим в виде суммы трех несовместных вариантов:

А = {попадание при первом, попадание при втором и промах при третьем выстреле} + {попадание при первом, промах при втором и попадание при третьем выстреле} + {промах при первом, попадание при втором и попадание при третьем выстреле}.

Вероятности промаха при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно 1 ‑ р₁, 1 - р₂ , 1 - р₃. Применяя правило умножения для независимых событий и складывая вероятности ва­риантов, получим

Р(A) = p₁p₂(1 – p₃) + p₁(l - p₂)p₃ + (1- p₁)p₂p_3.