Попов - весь практикум по геометрии. Практикум по решению стереометрических задач приведены решения 52 задачи задач с ответами даны для самостоятельного решения
 Скачать 15.31 Mb.
|
|
ВВЕДЕНИЕ Успешное решение задачи в значительной степени зависит от выбора метода ее решения, поэтому любой студент должен иметь представление о том, каким методом решить ту или иную задачу, какие направления рассуждений в большей степени использовать. Пособие состоит из введения, трех глав и списка литературы и посвящено векторно-координатному методу решения стереометрических задач. Векторная алгебра и координатный метод, рассматриваемые в аналитической геометрии, являются мощным аппаратом для решения многих геометрических задачи особенно геометрических задач метрического характера (метрические задачи. Метрические задачи — это задачи, связанные с измерением, метрикой и, следовательно, с применением свойств скалярного произведения векторов. При решении метрических задач мы применяем свойства проекции вектора на ось (первая глава, специальным образом подобранную удобную для решения задач) аффинную систему координат (вторая глава) и четыре основных векторных соотношения (третья глава. Эти методы сводят геометрическую задачу к алгебраической, решить которую значительно легче, чем исходную геометрическую. В пособии дана методика и практикум по решению стереометрических задач (приведены решения 52 задачи задач с ответами даны для самостоятельного решения. Глава I 4 Глава ВЕКТОРНО-КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Векторная алгебра и координатный метод являются основными базовыми) методами для решения многих геометрических задачи особенно геометрических задач метрического характера (метрические задачи. Эти методы сводят геометрическую задачу к алгебраической, решить которую значительно проще, чем исходную геометрическую. Предварительно введем в рассмотрение одно из основных (фундаментальных) понятий векторной алгебры — проекции вектора на ось на вектор, что позволяет 1) дать новые способы решения метрических задач по сравнению с традиционными [8; 16; 36]. 2) убедиться, что с помощью понятия проекции вектора на ось решения ряда основных метрических задач приобретают более рациональный и общий вид. § 1.1. Проекция вектора на ось Определение. На плоскости параллельной проекцией точки A на ось l называется точка A 1 — точка пересечения оси l с прямой, проведенной через точку А параллельно вектору a , задающему направление проектирования. Определение. Параллельной проекцией вектора AB на ось на вектор e ) называется координата вектора 1 1 A B относительно базиса е оси l , где точки A 1 и B 1 — параллельные проекции соответственно точек Аи В на ось рис. 1.1). Согласно определению имеем 1 А В пр AB пр Рис. 1.1 а l е § 1.1. Проекция вектора на ось 5 Определение 3. Если аи базисе оси l декартов, то есть 1 e , то проекция вектора AB на ось l называется ортогональной рис. 1.2). Рис. 1.2 1 1 A B xi x орт пр AB орт пр АВ l i В пространстве определение 2 проекции вектора на ось остается в силе, только направление проектирования задается двумя неколлинеарными векторами (рис. 1.3). Рис. 1.3 1 1 A B xe x пр AB пр АВ e l Из определения проекции вектора на ось вытекает, что каждая координата вектора есть проекция этого вектора на ось, определяемую соответствующим базисным вектором. При этом направление проектирования задается двумя другими базисными векторами, если проектирование ведется (рассматривается) в пространстве, или другим базисным вектором, если проектирование рассматривается на плоскости риса Глава I 6 Рис. 1.4 1 1 OA xe x орт пр OA орт пр a i i , 2 орт пр орт пр a j j , 3 3 орт пр OA орт пр Теорема. Ортогональная проекция вектора a на ось равна произведению модуля вектора a на косинус угла между положительным направлением оси и a , те. cos орт пр орт пр a a a i l i (1) ○ 1 1 1 1 A B xi A B x а б Рис. 1.5 j j i i k B A C C A 1 A 1 B 1 B 1 a a i l i i A B § 1.1. Проекция вектора на ось 7 С другой стороны, 1 орт пр AB A B AC l (2) Из ACB находим cos АС i (3) Подставим значение АС в равенство (2), получим cos , x a a i (4) Так как числа x и cos , a i одного знака в обоих рассматриваемых случаях риса (рис. 1.5, б) cos , a i ), то из равенства (4) следует орт пр a a a i l . ● (5) Замечание. В дальнейшем мы будем рассматривать только ортогональную проекцию вектора на ось и поэтому слово орт (ортогональная) в обозначении проекции будем опускать. Приведем ряд формул, которые используются в дальнейшем при решении задача) Проекция вектора на ось. Если , AB e , то ортогональная проекция AB на вектор e согласно формуле (5) имеет вид пр AB AB e . (6) б) cos , a b a b a b a пр b b пр Поэтому a пр b a a , a пр a b b (7) в) Расстояние от точки до плоскости. Пусть — данная плоскость с нормальным вектором n , М — данная точка, d — расстояние от точки М до плоскости рис. 1.6). Глава I 8 Рис. Если N — произвольная точка плоскости , аи проекции точек M и N на ось l n , то n NM d = M N = пр NM = 1 1 n n (8) г) Расстояние между скрещивающимися прямыми. Пусть a и b — данные скрещивающиеся прямые, n — перпендикулярный им вектор, Аи В — произвольные точки прямых a и b соответственно (рис. 1.7), Аи В — проекции точек Аи В на n , тогда 1 1 n AB d A пр AB n n . (9) д) Расстояние от точки до прямой. Пусть l — данная прямая с направляющим вектором p , М — данная точка, N — ее проекция напрямую, тогда d MN — искомое расстояние (рис. 1.8). Если А — произвольная точка прямой l , тов прямоугольном треугольнике гипотенуза МА и катет пр MA p могут быть найдены. Значит, Рис. 1.7 β α l n β α n § 1.1. Проекция вектора на ось 9 2 Рисе) Угол между прямой и плоскостью. Пусть p — направляющий вектор данной прямой l , n — нормальный вектор данной плоскости , 1 l — проекция прямой l на плоскость рис. 1.9). Рис. 1.9 Как известно, угол между прямой l и ее проекцией 1 l на плоскость называется углом между прямой и плоскостью. Имеем sin cos , p n p n p n (10) Приведем примеры решения метрических задач векторно-коорди- натным методом. p l p n 1 l l Глава I 10 § 1.2. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости З ада ч а 1.1. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , длина ребра которого равна 4. Точки M и N соответственно середины ребер B 1 C 1 и A 1 B 1 . Найти расстояние от точки М до прямой AN; расстояние от точки М до плоскости, проходящей через прямую AN и параллельной прямой BD. ○ Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 1.10. Относительно выбранной системы координат имеем B (0; 0; 0), A (4; 0; 0), D (4; 4; 0), N (2; 0; 4), M (0; 2; 4), ( 2; 0; 4), AN ( 4; 2; 4), AM (4; 4; 0). BD ○ й способ. Найдем расстояние от точки М до прямой AN. Пусть 1 M ортогональная проекция точки М напрямую. Тогда Рис. 1.10 1 8 0 16 12 5 5 4 0 16 AM AN AM пр AM AN AN Длина отрезка 16 4 16 6 AM AM l § 1.2. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости 11 По теореме Пифагора из 1 AM M находим 2 2 1 1 144 6 5 36 5 5 MM AM AM ○ й способ Проведем через точку М плоскость A N (как известно, такая плоскость единственная) и пусть риса) Так как ( ) A N A N , то AN — нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости получим по ее нормальному вектору AN и точке М : 2 ( 0 ) 4 ( 4 ) 0 2 8 0 x z x z (11) б) Теперь найдем координаты точки M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ) Действительно, 1 1 1 2 1 1 1 1 4 2 , 2 4, 0 0, 0, 4 4 . x t x t AN AM AM t AN y y z t z t (12) Параметр t определим из условия, что точка М. Подставляя координаты точки M 1 (12) в уравнение (11), получим 6 5 t . Отсюда, в силу равенств (12), имеем 1 8 24 ; 0; 5 5 М в) Поскольку 1 1 ( ) ; ( ) ( ) ( ) A N M M M M A N , то 1 MM — искомое расстояние. По координатам точек Ми М вычисляем расстояние от точки М до прямой AN: 8 4 ; 2; 1 5 5 MM , 64 16 6 5 4 1 1 25 25 5 MM MM . ● ○ й способ Перейдем к нахождению расстояния от точки М до плоскости , где BN ; ( ) AN a) Пусть ( ; ; ) n x y z — нормальный вектор плоскости , те. , 0, 4 4 0, (2; 2; 1). 1 2 4 0 0 2 y x n BD x y n x z z x n AN Глава I 12 б) Расстояние ( ; ) M от точки М до плоскости вычислим по формуле. Для этого нужно знать координаты какой-нибудь точки плоскости. Нам известны две точки 4; 0; 0 A и 2; 0; 4 N на прямой Итак, если взять точку А, то 8 4 4 2 ( ; ) 2 . 3 4 4 1 AM пр Аналогичный результат получим, если на плоскости взять точку N или, вообще, любую иную точку плоскости . Действительно, ( 2; 2; 0) NM и поэтому 1 8 2 ( ; ) 4 4 0 2 . 3 3 3 NM пр NM n n В качестве упражнения (задачи) можно вывести формулу расстояния от точки до плоскости, используя свойства скалярного умножения векторов. Дано 0 0 0 ( , , ) A x y z , : Найти ( , ) A — расстояние от точки А до плоскости . ○ Пусть ( , ) A АВ , где 1 1 1 ( , , ) B x y z — ортогональная проекция точки А на плоскость рис. 1.11.) Имеем 1) ( , , ) n a b c — нормальный вектор плоскости . Рис. 1.11 0 1 0 1 0 1 ( , , ), BA x x y y z z n BA . § 1.2. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости 13 По определению скалярного произведения векторов находим 2 2 2 cos , ( 1), n BA n BA n BA a b c (13) причем знак плюс берется, когда n↑↑ BA , а знак минус, когда n ↓↑ BA 2) 1 1 1 1 1 1 0 B ax by cz d d ax by cz (14) 3) Теперь выразим скалярное произведение n BA через координаты, учитывая равенство (14): 0 1 0 1 0 1 0 0 0 n BA = a(x - x )+ b(y - y )+ c(z - z ) = ax + by + cz + d . (15) Берем по модулю обе части в равенствах (13) и (15) и, приравнивая правые части, получим 0 0 0 2 2 2 ax by cz d a b c (16) ○ й способ Сначала найдем уравнение плоскости по ее нормальному вектору (2; 2;1) n и начальной точке А 0; 0): : 4(x – 2) – 2(y – 0) + 1(z – 0) = 0 4x – 2y + z – 8 = 0. По формуле (16) вычисляем расстояние от точки М 2; 4) до плоскости Ответ 1) 6 5 5 ; 2) 2 2 . 3 Задача 1.2. Дан прямоугольный параллелепипеду которого 1 AB 3a, AA AD a. Точка M — середина ребра 1 1 D C Найдите расстояние от точки C до прямой BM рис. 1.12). Рис. 1.12 A A 1 a D z x y M D 1 C 1 B 1 K C B 3a a Глава I 14 ○ 1. Выберем систему координат так, как указано на рис. 1.12. Найдем координаты точек и векторов относительно выбранной системы координат C (3a ; a ; o ), 3a M ;a;a , 2 B (3a ; o; o ), def 3a BM p ;a;a , 2 def 3a MC m ;0; a . 2 2. Пусть K основание перпендикуляра, проведенного из точки C напрямую, те. KC = h — расстояние от точки C до прямой (BM). Далее вычисляем последовательно а) 2 2 p 2 2 2 9a a p m 4 13a MK орт.пр m ; p 2 17 9a a a 4 b) длину отрезка 2 2 9a a 13 MC MC a ; 4 с) по теореме Пифагора находим 2 2 2 2 13a 169a 221a h KC MC MK 4 4 17 Ответ Задача 1.3. На ребре правильного тетраэдра MABC взята точка K — середина этого ребра, а на ребре MB взята точка P. Считая ребро тетраэдра равным а, найдите расстояние от точки P до прямой CK, если MP : MB = 1:4 рис. 1.13). Рис. 1.13 M A z P a C K y N 1 B x N a P 1 O |