Попов - весь практикум по геометрии. Практикум по решению стереометрических задач приведены решения 52 задачи задач с ответами даны для самостоятельного решения

• Название: Практикум по решению стереометрических задач приведены решения 52 задачи задач с ответами даны для самостоятельного решения
• Анкор: Попов - весь практикум по геометрии.pdf
• Дата: 17.03.2018
• Размер: 15.31 Mb.
• Имя файла: Попов - весь практикум по геометрии.pdf
• Тип: Практикум; #16827
• страница: 5 из 11

§ 2.5. Угол между плоскостями
67 Используя таблицу (15), приводим систему (17) к виду
4x 2y z 0,
x
2y m
2a b 6c
2x 4y 0
z
6y.

 
 




 
 




 






m

— один из нормальных векторов плоскости
. в) Пусть
1 1
1
n x a y b z c







—
(18) нормальный вектор плоскости

, а разложения векторов
CP

и
AQ

по базису {
a,b,c



} имеют вид
1 1
CP CA AP
a
(b c), AQ
(a b).
2 Из условия задачи следует, что
((CP)
∥β, (AQ)∥β, (CP) ∸ (AQ))

(
CP
∥β,
AQ
∥β,
CP
∦
AQ
). Таким образом, коэффициенты
1 1
1
z
,
y
,
x в формуле (18) можно найти из системы
1 1
1 1
1 1
(x a y b z c) ( 2a b c) 0,
n CP
0,
n AQ
0
(x a y b z c) (a b) 0,




 которая с помощью таблицы (15) приводится к виду
1 1
1 1
1 1
1 1
6x z
0,
y x ,
x y
0
z
6x Откуда получаем вектор n a b 6c
  

 

— один из нормальных векторов плоскости β. г) Теперь, пользуясь таблицей (15), последовательно вычисляем m n
( 2a b 6c) (a b 6c)
8 4 2 4 36 42,
  
 
  
     


 

 


2
m
( 2a b 6c )
16 4 36 8 48 4 3,


 

 
 





2
n
(a b 6c )
4 4 36 4 40 2 И по формуле (14)
42 7 30 7 30
cos arccos
40 40 4 3 2 10
 

 Ответ
7 30
arccos
40
 

Глава II
68 Упражнения
2.1.
В правильной четырехугольной пирамиде длина каждого ребра равна а. Точка M

SC, SM:MC
=
2:1. Найдите угол между векторами
DC
и
AM
2.2.
В параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
на ребре AD взята точка Q, такая, что AQ:QD
=
2:1. Найдите расстояние от вершины D до прямой
PQ, если AB
=
AA
1
=
a, AD
=
3a, в основании параллелепипеда лежит прямоугольники Сторона основания ABCD правильной призмы имеет длину 2a, боковое ребро — длину a. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали AD
1
грани и диагонали DB
1
призмы, параллельные плоскости AA
1
B
1
B. Один из этих отрезков проведен через точку M диагонали AD
1
такую, что AM:AD
1
=
2:3. Найдите его длину.
2.4.
Вычислите расстояние между диагоналями AD
1
и DC
1
граней куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1 с ребром a.
2.5.
На ребре AB правильного тетраэдра MABC взяты точки P
1
и P
2
, такие, что AP
1
:P
1
P
2
:P
2
B
=
1:1:2. Найдите угол, который образует с плоскостью прямые CP
1
и CP
2
2.6.
Дана четырехугольная призма ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, все ее ребра наклонены под углом α к основанию. Точки M, P — середины ребер AD и
A
1
D
1
. Найдите угол между диагональным сечением призмы и плоскостью. Известно также, что AD:AB
=
2:3 и AA
1
=
4.
2.7.
Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник, длина стороны которого равна
4 2
. Боковое ребро SC перпендикулярно к плоскости основания и имеет длину 2. Найдите величину угла между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая — через точку C и середину ребра AB.
2.8.
Дана призма ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, основание которой — равносторонний треугольник. Через точки A, C, B
1
проходит плоскость. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью ACB
1
, если AB
=
3,
AA
1
=
4.
2.9.
В правильной треугольной пирамиде SABC, где S — вершина,
SA
=
4, точка D лежит на ребре SC, CD
=
3, а расстояние от точки A до прямой BD равно 2. Найдите объем пирамиды.
2.10.
Дан прямоугольной параллелепипеду которого. Найдите угол между прямой АС и прямой, проходящей через середины ребер AA
1
и B
1
C
1
2.11.
Дана правильная треугольная призма ABCA
1
B
1
C
1
, в которой
AA
1
=
2
AB. Найдите угол между прямыми AC
1
и A
1
B.

Упражнения
69
2.12.
Основание треугольной пирамиды RHPQ является равнобедренный прямоугольный треугольник ΔHPQ, гипотенуза которого
PQ
=
2 2 . Боковое ребро RH перпендикулярно плоскости основания и длина его равна 1. Найдите угол между прямыми RF и HN, где F — середина HP и N — середина PQ.
2.13.
Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна a. Точка E — середина ребра CD, точка F — середина высоты BL грани ABD. Отрезок с концами на прямых AD и BC пересекает прямую EF и перпендикулярен ей. Найдите длину отрезка MN.
2.14.
Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
с ребром 1, K — середина ребра Найдите угол между прямыми CK и A
1
D
1
2.15.
В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 4. Ребро SA перпендикулярно плоскости
ABC, SA
=
3. Точка M — середина ребра CB, а точка K делит ребро SB в отношении 1:4, считая от вершины S. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми AM и CK.
2.16.
В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник ΔABC, в котором AB
=
AC
=
v,
CAB 30


 . Ребро SA перпендикулярно плоскости ABC. Точка K — середины SC. Найдите расстояние между AK и SB, если AS
=
v.
2.17.
Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром, равными середины сторон AD и BC соответственно. CC
1
— высота ΔABC. Найдите угол между KL и CC
1
2.18.
В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник ΔABC со стороной 1. Ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна 3 . Плоскость α параллельна прямыми, а плоскость β параллельна прямыми. Найдите угол между этими плоскостями.
2.19.
В треугольной пирамиде ABCD все ребра имеют одинаковую длину. Точка M — середина ребра AD, точка O — центр ΔABC, точка N — середина ребра AB, точка K — середина ребра CD. Найдите угол между прямыми MO и KN.
2.20.
Докажите, что боковое ребро правильной треугольной пирамиды перпендикулярно к противолежащей стороне основания.
2.21.
Сторона основания правильной треугольной призмы имеет длину a. Найдите объем призмы.
2.22.
В правильной призме ABCA
1
B
1
C
1
AA
1
=
2
, AB
=
a
2
. Найдите угол между диагоналями A
1
B и AC
1
2.23.
Дана пирамида с двугранным углом при основании, равным 90°. В основании лежит правильный треугольник ΔABC со стороной, равной 7. Высота пирамиды SA
=
7. Найдите расстояние между AB и SC.

Глава II
70
2.24. Сторона основания правильной треугольной призмы равна a, точки O и O
1
являются центрами оснований ABC и A
1
B
1
C
1
соответственно. Длина ортогональной проекции отрезка AO
1
напрямую равна
6
a
5
. Найдите высоту призмы.
2.25.
Точки M и N — середины ребер тетраэдра ABCD, точка Р взята на ребре AD так, что AP:AD
=
2:3. В каком отношении плоскость
MNP делит ребро BC?
2.26.
В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB:AD
=
1:2. Высота пирамиды проектируется в точку O центр основания) и равна большей стороне основания. На ребрах MA и MC пирамиды взяты соответственно точки P и Q — середины этих ребер. Считая AB
=
2, найдите расстояние от плоскости DPQ до точки
N — середины AB.
2.27.
В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма
ABCDEFA
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
; O — центр верхнего основания цилиндра, O
1
— нижнего. Найдите угол между прямыми OO
1
и ED
1
, если радиус основания цилиндра равен высоте цилиндра.
2.28.
Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник со стороной, равной 4 4 . Боковое ребро SC перпендикулярно к плоскости основания и SC
=
2. M, N — середины сторон BC и AB соответственно. Найдите угол между прямыми SM и CN.
3.29.
Основанием треугольной пирамиды RHPQ является равнобедренный прямоугольный треугольник HPQ, гипотенуза которого
PQ
=
2 2
. Боковое ребро RH перпендикулярно плоскости основания и длина его равна 1. Найдите расстояние между прямыми RF и HN, где F — середина HP и N — середина PQ.
2.30.
Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
с ребром 1, K — середина ребра Найдите расстояние между прямыми CK и A
1
D
1
2.31.
Сторона основания правильной треугольной призмы имеет длину a. Вершины M и N правильного тетраэдра MNPQ лежат на прямой A
1
C. Найдите объем призмы.
2.32.
Дана пирамиды ABCD со сторонами BD
=
1, BC
=
BA
=
2 и углами и. Найдите объем пирамиды.
2.33. В правильной треугольной пирамиде SABC, где S — вершина,
SA
=
4, точка D лежит на ребре SC, CD
=
3, а расстояние от точки А до прямой BD равно 2. Найдите объем пирамиды.
2.34.
Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 4 2 . Боковое ребро SC перпендикулярно к плоскости основания и имеет длину 2. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых про

Упражнения
71 ходит через точку и середину ребра BC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.
2.35.
В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник ΔABC, в котором AB
=
AC
=
v,
CAB 30



. Ребро SA перпендикулярно плоскости ABC. Точка K — середина SC. Найдите угол между AK и SB, если AS
=
v.
2.36.
В правильной призме ABCA
1
B
1
C
1
: AA
1
=
2
, AB
=
a
2
. Найдите расстояние между диагоналями A
1
B и AC
1
2.37.
Через вершину C
1
параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1 проведена плоскость, пересекающая продолжения ребер AB, AD, AA
1
заточки в точках B
0
, D
0
, A
0
соответственно так, что AB
0
:AB
=
=
AD
0
:AD
=
3AA
0
:AA
1
. Найдите отношения объемов параллелепипеда и тетраэдра AA
0
B
0
D
0
2.38. Боковое ребро правильной призмы ABCA
1
B
1
C
1
равно стороне ее основания. Считая сторону основания равной a, найдите расстояние от точки P, взятой на ребре BB
1
, до прямой AC
1
, если отношение
BP:BB
1
=
1:4.
2.39.
Вершина A правильной призмы ABCA
1
B
1
C
1
является вершиной конуса, вершины B и С лежат на боковой поверхности этого конуса, а вершины B
1
и C
1
— на окружности его основания. Найдите отношение объемов конуса и призмы, если известно AB
1
:AB
=
5
:
1.
2.40.
Дана четырехугольная призма ABCDA
1
B
1
C
1
D, в основании которой лежит ромб с углом в 60° и стороной a,
1 1
A AC arccos
3


,
АА
1
=
а. Найдите расстояние от точки A до плоскости ω
=
(B
1
D
1
D) и угол
АВК, где К — проекция точки А на плоскость
.
2.41.
Сторона основания правильной треугольной призмы имеет длину a. Вершины M и N правильного тетраэдра MNPQ лежат на прямой A
1
C. Найдите расстояние между серединами отрезков MN и PQ.
2.42.
Дан параллелепипед ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Длины ребер равны
AD
=
3
, DC
=
1, DD
1
=
2
. Углы между прямыми DC и DD
1
, AD и DD
1
,
AD и DC соответственно равны
2

,
2

и
6

. Найдите расстояние от центра грани AA
1
D
1
D до плоскости BC
1
D.
2.43.
Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, точка F — центр грани ABCD, точка K — середина ребра CC
1
, N — середина ребра D
1
C
1
. Найдите угол между прямыми DN и FK.
2.44.
Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, точки M и N — середины ребер B
1
C
1
и
DC соответственно. Найдите расстояние от точки A
1
до плоскости, проходящей через прямую MN и параллельной прямой AB, если ребро куба равно 2.

Глава II
72
2.45.
Дана правильная треугольная пирамида SABC, M, N и K — соответственно середины ребер AB, SC и BC, SC
=
BC
=
2, точка F — точка пересечения прямых BN и SK. Найдите угол между прямой AB и плоскостью α, параллельной прямыми В основании прямой призмы ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
лежит ромб ABCD с острым углом A, равным 60
◦
. Все ребра призмы имеют длину a, точка
K — ортогональная проекция точки B
1
на плоскость DA
1
C
1
, а точка L — ортогональная проекция точки K на DD
1
C
1
C. Найдите объем пирамиды
DCLK.
2.47.
В правильной треугольной пирамиде SABC, где SA
=
4, точка
B лежит на С, CD
=
3, а расстояние от точки A до BD равно 2. Найдите объем пирамиды.
2.48.
Точки M, N и P соответственно — середины ребер AB, CD и
BC тетраэдра ABCD. Через точку P проведена плоскость, параллельная прямыми. В каком отношении эта плоскость разделяет ребро AD?
2.49.
Дан параллелепипед ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. AC и DC
1
— диагонали его граней. Доказать, что существует ипритом единственная пара точек на прямой AC и N — на прямой DC
1
) такая, что Найдите отношение MN
:
BD
1
2.50.
В правильной призме ABCA
1
B
1
C
1 отношение ребер AB
:
AA
1
=
=
1
:
3
, а точка P — середина ребра AC. Найдите угол, который образуют прямые B
1
P и A
1
B.
2.51.
В плоскости задан квадрат ABCD со стороной a. На перпендикуляре к плоскости ω, проведенным через точку А, лежит точка K, причем KA
=
a. Найдите угол между прямыми AB и KC.
2.52.
Диагональ AC
1
прямоугольного параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1 перпендикулярна плоскости A
1
BD. Докажите, что параллелепипед является кубом.
2.53.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
2 6
, а высота равна 3. Вершина A куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
находится в центре основания пирамиды, а ребро CD лежит в плоскости одной из боковых граней. Найдите длину ребра куба.
2.54.
В основании пирамиды MABCD лежит параллелограмм с углом в 60
◦
. Дано отношение сторон основания AB
:
AD
=
1
:
3. Боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания и MB
=
2AB. На ребре
AB взята точка P — середина этого ребра, а на MD — точка Q. Считая
AB
=
a, найдите расстояние до прямой PQ от вершины С, когда отношение В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобедренная трапеция KLMN (LM
=
KN), описанная около окружности

Упражнения
73 радиуса
3
,
2
MLK
3



. Две противоположные боковые грани этой пирамиды перпендикулярны основанию. Высота пирамиды равна
6 Найдите расстояние от точки N до плоскости SKL.
2.56.
Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, точка К — середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и EC : ED 1: 3

, точка F — центр грани АВС. Найдите угол между прямыми ВС, КЕ и расстояние между этими прямыми.
2.57.
В правильном тетраэдре ABCD отрезок MN соединяет середину ребра AC с центром грани BDC, а точка E — середина ребра AB. Найдите расстояние между прямыми MN и DE, где AC
=
d.
2.58.
В правильном тетраэдре ABCD отрезок MN соединяет середину ребра AC с центром грани BDC, а точка E — середина ребра AB. Найдите угол между прямыми MN и DE.
2.59.
Дана треугольная пирамида SABC. AC
=
CB
=
l, AB
=
m, плоскость перпендикулярна плоскости ABC, прямая CD перпендикулярна, СВ, точка K принадлежит прямой AC, AK
=
KC. Найдите угол между прямыми BC и SK.
2.60.
В кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, ребро которого равно 4, точки E и F — середины ребер АВ и В
1
С
1
соответственно, а точка Р расположена на ребре CD так, что СР
=
3РD. Найдите расстояние
1) от точки F до прямой АР
2) между прямыми Е и АР
3) от точки А до плоскости ЕР
2.61. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно b, точка К — середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре Си ЕС
:
ЕD
=
1
:
2, точка F — центр грани АВС. Найдите угол между прямыми ВС и КЕ, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки А, В, Е, F.
2.62
. Дана треугольная пирамида FABC, у которой AF
=
1; AB
=
2
;
AC
=
2
;
FAB
=
45
; FAC
=
45
; BAC
=
60
. Найдите угол между плоскостью, проходящей через прямую АС и параллельной прямой
АВ, и плоскостью FMB, где М — середина [AC].
2.63
. В треугольной пирамиде DABC: AD
=
3 2
; AB
=
3; AC
=
1;
DAC
=
45
; DAB
=
45
; BAC
=
60
. Найдите расстояние от точки D до медианы АК треугольника АВС.
2.64
. В основании призмы АВСА
1
В
1
С
1
лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Высота призмы равна катету основания. На ребрах АВ, СС
1
и АС взяты соответственно точки P,Q и

Глава II Т — середины этих ребер. Найдите угол между прямой СВ и плоскостью, проходящей через вершину С, параллельно прямыми ВТ.
2.65
. Высота МО правильной пирамиды МАВС равна стороне ее основания. На отрезке ОВ взята точка Р — середина этого отрезка. Найдите угол, который образует с плоскостью МАВ прямая МК, где К середина ребра АС.
2.66
. На ребрах АВ, АС, МВ и МС правильной пирамиды МАВС все плоские углы при вершине М которой прямые, взяты соответственно точки D, Е, F и К — середины этих ребер. Точка О — точка пересечения медиан основания пирамиды. Найдите углы между следующими прямыми 1) ВЕ и М 2) ВЕ и Аи ОК.
2.67
. Высота МО пирамиды МАВСD проектируется в точку пересечения диагоналей основания, которым является прямоугольник с отношением сторон АВ
:
АD
=
1:2, и МО
=
AD. На ребре МС взята точка К — середина этого ребра. Найдите углы, которые образует плоскость В со следующими плоскостями 1) АВС; 2) МС 3) МВС.