Попов - весь практикум по геометрии. Практикум по решению стереометрических задач приведены решения 52 задачи задач с ответами даны для самостоятельного решения
 Скачать 15.31 Mb.
|
|
§ 3.3. Третье основное векторное соотношение 103 Также В силу однозначности разложения вектора по базису получаем следующую систему ). 1 ( 2 ; ; 0 , 1 Тогда b a PQ и 2 4 4 4 ) ( 2 2 2 Ответ Задача. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD . Сторона основания равна a 2 , высота SA равна a . SA перпендикулярна основанию. , M SC , N BD , MN SC , A D a , A B b c AS . Выразить MN через c b a , , (рис. 3.21). Пусть m SC SM , тогда m SC MC 1 . Пусть n DB DN , тогда Разложим следующим образом ( ) (1 ) (1 ) ( ) ( 1) . MN m a b c c n a n b ma mb mc c a na nb n m a n m b m c (20) Используя третье основное векторное соотношение, имеем ( ) ( ) ( ) , 1. AN AD AB AM a b m a b c m a m b m c Вектор можно разложить и по-другому: (1 ) AN n a n b Глава III 104 Рис. 3.21 В силу однозначности разложения вектора по базису получаем следующую систему 1 ; 0( 0); ; 1 ; 0, m n m m n n m n С другой стороны: 0 SC MN SC MN Найдем SC : Теперь вычисляем скалярное произведение 2 2 2 (1 ) 4 ( ) 4 ( 1) MN SC n m a n m a m a 2 1 (4 4 4 4 4 1) 0 3 9 0 , 3 n m n m m a m m тогда 3 Найденные значения подставляем в выражение (19) и получаем следующее разложение MN : 1 2 3 3 MN a c Ответ 1 2 3 3 MN a c c a b D § 3.4. Четвертое основное векторное соотношение 105 § 3.4. Четвертое основное векторное соотношение Определение Пусть дана система из n точек n A A A , , , 2 1 . Точка F называется центроидом (или центром тяжести) этой системы точек, если выполняется условие 1 2 1 0. n i n i FA FA FA FA (1) Центроидом многогранника (многоугольника) назовем точку, являющуюся центроидом всех его вершин. Приведем некоторые примеры центроидов. 1. Центроидом отрезка 2 1 А А является его середина F , так как 0 2 1 FA FA (рис. 3.22). Рис. 3.22 Центроидом ∆ 3 2 1 A A A (рис. 3.23) является точка пересечения его медиан. Действительно, учитывая свойство медиан треугольника 1 и свойство диагоналей параллелограмма ) ( MK MF , получим 1 2 3 Теорема. Признак центроида системы точек. Точка F является центроидом точек n A A A , , , 2 1 тогда и только тогда, когда для любой точки O пространства имеет место равенство 1 1 n i i OF OA n (2) Необходимое условие Доказательство проведем индукцией по n 1. Прите. для отрезка 2 1 , A A , имеем 1 2 0 FA FA Глава III 106 и 1 1 2 2 1 2 1 2 0 ( ), 2 OF FA OA OF те. ) ( 2 1 2 Рис. 3.23 Итак, формула (2) справедлива при 2 n . База индукции доказана. Допустим, что точка М — центроид точек к А А А , , 2 1 и выполняется равенство (2): 1 1 k i i OM OA k (3) Точка F — центр тяжести системы из ) 1 ( k точек 1 2 , , , A A 1 , k k A A делит отрезок 1 k MA вот- ношении 1 : 1: k MF FA k (рис. Тогда по равенству (1) и условию) находим Рис. 3.24 M О F A k + 1 1 k A 1 A 2 A 3 K M F 1 2 § 3.4. Четвертое основное векторное соотношение 107 1 1 1 1 k k OF OA OM k k 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 Тем самым доказан индукционный шаг. Из пунктов 1 и 2 доказательства, на основе принципа математической индукции следует, что формула (2) справедлива для любого N n . Достаточное условие. Пусть для системы точек 1 2 , , А А А 1 k A выполняется равенство (2), где О — произвольная точка пространства. Докажем, что точка F есть центроид данной системы точек, те. выполняется условие (1). Используя правило треугольника сложения векторов и формулу (2), имеем 1 1 2 2 , , n n FA FO OA FA FO OA FA FO OA 1 1 1 Итак, 0 1 n i i FA , те. точка F — центроид системы точек n А А А , , , 2 Соотношение (2) называется четвертым основным векторным соотношением. Задача Доказать, что медианы тетраэдра пересекаются водной точке F , которая делит каждую медиану в соотношении 1 : 3 , считая от вершины. Доказать, что точка F — центроид тетраэдра. Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий его вершину с центроидом противолежащей грани. Пусть SABC — тетраэдр, 1 SM и 2 AM — его медианы, где 1 M — центроид грани 2 , ABC M — центроид грани SBC (рис. 3.25). Глава III 108 Риса и CD — медианы соответственно граней ABC и SCB ; Пусть 2 Так как 1 M и 2 M центроиды граней, то по формуле (2) имеем 2 1 1 ( ), 3 1 ( ). 3 FM FS FB FC FM FA FB Значит, AS FA FS FM FM M M 3 1 ) ( 3 1 1 2 2 Отсюда следует, чтоб) Так как 2 ММ, то внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AS , 2 ММ и секущей 1 1 2 ; SM M FM AFS — как вертикальные. Из подобия треугольников 1 2 , FM M FAS ив силу равенства (4) имеем 1 1 2 1 3 FM M M FS AS (5) § 3.4. Четвертое основное векторное соотношение 109 в) Рассмотрим медианы 1 SM и тетраэдра SABCD , где 3 M — центроид грани ASC . Пусть F BM SM 3 1 . Аналогично рассуждая, как в пунктах аи в, получим 1 3 M M ║ 3 1 , 3 1 , 3 1 1 3 1 SB M M S F M F SB M M SB (6) Из равенств (5) и (6) вытекает, что , F F те. медианы 3 2 1 , , BM AM SM тетраэдра SABCD пересекаются водной точке. Аналогично доказываем, что медиана 4 CM , где 4 M — центроид грани ASB , тоже проходит через точку Итак, все четыре медианы тетраэдра пересекаются водной точке г) Из равенств (5) и (6), кроме того, следует, что 1) точка F делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины тетраэдра 2) отрезок, соединяющий два центроида граней тетраэдра, параллелен соответствующему ребру тетраэдра (те. ребру, соединяющему несовпадающие вершины рассматриваемых граней) и равен 1/3 длины этого ребра. Докажем, что точка F пересечения медиан тетраэдра является центроидом тетраэдра. По свойству медиан тетраэдра (п. 1) имеем 1 2 3 4 3 , 3 , 3 , 3 FS FM FA FM FB FM Сложив эти равенства почленно и, учитывая, что 4 3 2 1 , , , M M M M — центроиды граней (используем равенство (2)), получим 2 3 4 3( ) 1 ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3( FS FA FB FC FM FM FM FM FA FB FC FC FB FS FA FC FS FA FB FS FS FA FB ) 0, FC FS FA FB те. точка F — центроид тетраэдра. Задача Длины ребер тетраэдра ABCD равны , , a b , , c m , . n p Найти расстояние от вершины A до точки пересечения медиан грани BCD. Пусть O — точка пересечения медиан грани BCD — центроид грани, n CD m BC p BD c AD b AC a AB , , , , , (рис. 3.26). Глава III 110 Рис. 3.26 По признаку (2) центроида имеем Откуда, учитывая, что 2 а а , получим 2 2 2 2 2 1 ( ) 9 1 ( 2 2 2 ). 9 AO AB AC AD a b c AB AC AB AD AC AD (7) По теореме косинусов из треугольников ACD ABD ABC , , находим 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 , 2 AB AC a b m AB AD a c p AC AD b c n (8) Из равенств (7) и (8) следует 2 2 2 2 2 2 2 1 (3( ) ( )) 9 AO a b c m n p § 3.4. Четвертое основное векторное соотношение 111 и, значит, ) ( ) ( 3 3 1 2 2 2 2 Ответ ) ( ) ( 3 3 1 2 2 2 2 2 2 p n m c b a АО Следствие. Если длины всех ребер тетраэдра равны а, те. тетраэдр правильный, то 2 2 1 6 9 3 3 3 а AO а а З ада ч а 3 . 2 0 . Даны два треугольника АВС и 1 1 1 С В А (рис. 3.27). Эти треугольники могут лежать как водной плоскости, таки в разных плоскостях (пространственная модель. Пусть G и 1 G — соответственно точки пересечения медиан этих треугольников. Доказать, что ). ( 3 1 1 1 1 Рис. 3.27 Точка 1 G — центроид ∆ 1 1 1 С В А . Поэтому на основе четвертого основного векторного соотношения имеем 1 1 1 Используя правило треугольника сложения векторов, находим 1 1 1 1 1 1 CC GC GC BB GB GB AA GA GA (10) • • Глава III 112 ). ( ) ( 1 1 1 1 1 Точка G — центроид ∆ ABC, поэтому 0. GA GB GC (11) В силу равенств (9) и (11) из (10) получим 1 1 1 Векторный метод решения задач позволяет делать глубокие обобщения, в чем можно убедиться на примере решения следующей задачи. Задача. Доказать, что сумма квадратов расстояний ка- кой-нибудь точки окружности до вершин вписанного правильного треугольника есть величина постоянная, независящая от положения точки на окружности. Традиционное решение этой задачи есть, например, в работе [36, с. 208—211]. Однако с помощью векторов решить ее можно намного проще. Приведем решение [4]. Пусть правильный ∆ АВС вписан в окружность Ос центром O и радиусом R , а M — произвольная точка на окружности (рис. 3.28). Точка O (центр окружности) — есть центроид правильного ∆ АВС , те. 0. ОА ОВ ОС) Рис. 3.28 § 3.4. Четвертое основное векторное соотношение 113 По правилу треугольника сложения векторов МА МО ОА МВ МО ОВ МС МО ОС и, значит, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 , 2 МА МО ОА МО ОА МВ МО ОВ МО ОВ МС МО ОС МО ОА (13) Сложив равенства (13) почленно и учитывая соотношение (12), свойство 2 2 а а и R ОС ОВ ОА МО , получим 2 2 2 2 6 M A M B M Итак, сумма квадратов искомых расстояний не зависит от положения точки М на окружности, а зависит только от ее радиуса Такое решение задачи намного короче и легче традиционного. Но преимущество его не только в этом, а в большей общности рассуждений. Действительно нетрудно обобщить эту задачу наследующие случаи а) Приведенное доказательство справедливо и для точки М сферы, описанной вокруг треугольника так, что ее центр совпадает с центром треугольника. б) Нетрудно обобщить эту теорему и для случая, когда в окружность или сферу вписан не треугольника любой правильный многоугольник. в) Многоугольник может быть и необязательно правильным, но симметричным относительно центра О . г) Задачу можно обобщить и для описанных правильных многоугольников. д) Можно и дальше продолжать обобщение задачи рассматривать многоугольник (многогранник) необязательно правильный или симметричный относительно точки О , а окружность (сферу, необязательно вписанную или описанную, важно лишь, чтобы сумма векторов i OA равнялась нулевому вектору, те. точка О — центроид точек n А А 1 Глава III 114 Задача. В тетраэдре ABCD точки M и N являются соответственно точками пересечения медиан граней ADB и BDC . Доказать, что AC MN и найти отношение длин этих отрезков рис. 3.29). Рис. 3.29 Пусть F — центроид тетраэдра, атак как M и N — центроиды граней ADB и BDC соответственно, то по признаку центроида системы точек имеем 1 ( ), 3 FM FA FB FD 1 ( ). 3 FN FB FD FC 1 ( ) 3 1 1 ( ) 3 3 FM FN FA FB FD FB FD FC NM FA FC CA (14) Из (14) видно, что и Ответ 1 3 NM CA |