Попов - весь практикум по геометрии. Практикум по решению стереометрических задач приведены решения 52 задачи задач с ответами даны для самостоятельного решения
 Скачать 15.31 Mb.
|
|
§ 1.4. Угол между прямыми 31 ○ 1. Пусть DC = a, тогда AD = 3a; OM = 3a; AO = 2a. Выберем систему координат так, как указано на рис. 1.27. Относительно выбранной системы координат найдем координаты векторов и точек a 3a O(o;o;o;), F ;o; , 2 где F — середина BM; FF 1 — средняя линия BOM ; A 2a; 0; 0 , C a; 3a; 0 , a 3a OF ;0; , AC ( a;3a;0); 2 2 a 3a 3a D 2a;3a;0 , E ; ; , 2 2 2 3a 3a 3a DE ; ; 2 2 2 2. Пусть — угол между прямыми (OF) и АСа угол между прямыми (OF) и (DE), тогда 2 2 2 2 2 a OF AC 2 1 1 cos arccos , 10 10 OF AC a 9a a 9a 4 4 2 2 2 2 3a 9a OF DE 4 4 cos OF DE 10a 9a 3 2 4 30 30 arccos 15 15 Ответ 1 30 (OF, AC) arccos ; (OF, DE) arccos 10 Задача 1.13. В правильной призме 1 1 1 ABCA B C с отношением ребер 1 AB : AA 1 : 3 точка P — середина ребра AC. Найдите угол, который образует прямая 1 B P с прямой рис. 1.28). ○ 1. Так как при центральной симметрии (гомотетии) углы между прямыми (плоскостями) не меняются, поэтому примем CB = 1, тогда в силу условия 1 AA 3. Из CPB (прямоугольный ∆) находим 1 3 PB 1 4 2 Относительно выбранной системы координат рис. 1.28) находим координаты следующих точек и векторов Глава I 32 1 1 1 1 3 3 P(0;0;0), B 0; ; 3 , PB 0; ; 3 , 2 2 1 1 C ;0;0 , A ;0; 3 , CA 1;0; 3 . 2 Рис. 1.28 1 1 PB , CA соответственно направляющие векторы прямых 1 PB и 1 CA Пусть — величина угла между скрещивающимися прямыми 1 PB и 1 CA Тогда 1 1 1 1 PB CA 3 3 cos 3 15 PB CA 3 1 3 2 4 2 3 15 15 15 arccos 15 5 5 Ответ 15 arccos 5 A 1 z B 1 3 A x P y ½ 1 C 1 3 C B 3 2 § 1.5. Угол между прямой и плоскостью 33 § 1.5. Угол между прямой и плоскостью Задача Дан правильный тетраэдр SABC. M, N — середины соответственно ребер AB и SC. Найти угол между прямой AB и плоскостью, параллельной прямыми) Плоскостей, параллельных прямыми, можно провести существует) бесконечное множество. Нетрудно показать, что прямая AB пересекает все эти параллельные плоскости под одними тем же углом. Пусть плоскость — одна из этих плоскостей и пусть АВ образует с плоскостью угол . Для вычисления угла , как следует из формулы, достаточно знать направляющий вектор прямой АВ и нормальный вектор плоскости . Кстати, нормальный вектор плоскости является нормальным вектором каждой из плоскостей, параллельных плоскости . б) Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 1.29. При гомотетии угол между прямой и плоскостью не меняется. Поэтому длину ребра тетраэдра можно выбрать произвольно. Рис. 1.29 Пусть AB = 2. Выполним предварительно некоторые вычисления 1) Из SMB находим 2 А МВ О 2 F C y x Глава I 34 Отсюда MC = MS = Учитывая, что ABC — правильный и точка О — точка пересечения медиан ΔABC , имеем 1 3 MO = MC = 3 3 2) По теореме Пифагора из ΔMOS : 2 2 3 2 6 SO MS MO 3 9 3 3) NF — средняя линия SOC , поэтому NF = 6 Относительно выбранной системы координат теперь можем найти координаты точек и векторов 3 2 6 2 3 6 M 0; 0; 0 , B 1; 0; 0 , A -1; 0; 0 , S 0; ; , N 0; ; 3 3 3 3 , 3 2 6 MS = 0; ; , 3 3 BN = 1; 2 3 6 ; , AB = 2; 0; 0 . 3 в) Нормальный вектор n =(x;y;z) плоскости найдем из условий 3 2 6 y + z = 0, n MS n MS = 0, 3 3 n BN n BN = 0 2 3 6 -x + y + z = 0 3 3 y 2 2z, x 6z n = -6;-4 3; 6 p = A B = 2 ; 0 ; 0 — направляющий вектор прямой АВ. г) В силу формулы (10) (§ 1.1) имеем n p 12 10 sin = = = n p 5 2 36 + 48 + Следовательно, 10 = Ответ ● § 1.5. Угол между прямой и плоскостью 35 Задача 1.15. Высота MO правильной пирамиды MABC равна стороне ее основания. Найдите угол прямой MC и плоскостью MAK, где K — середина ребра BC рис. 1.30). Рис. 1.30 ○ 1. Относительно выбранной системы координат (рис. 1.30) найдем координаты следующих векторов и точек a 3 a 3 a С 0; ;0 ; M 0; ;a , CM 0; ;a 2 6 3 a 3 a a 3 a a 3 O 0; ;0 , K ; ;0 , OK ; ;0 , 6 4 4 4 12 OM 0;0;a . 2. Пусть n x; y; z — нормальный вектор плоскости AMK, тогда a a 3 n OK n OK 0 x y 0 n 1; 3;0 . 4 12 n OM n OM 0 az 0 А N B C K y O M a 2 a 4 z a x Глава I 36 3. Пусть — величина угла между прямой CM и плоскостью AMK, тогда 2 2 CM n a 3 3 sin arcsin 4 4 CM n a 3 a 1 3 9 Ответ Задача 1.16. Дана правильная треугольная призма 1 1 1 ABCA B C , сторона основания которой равна 4, а высота равна 6. Найти угол между плоскостью , которая параллельна прямыми, и прямой 1 KB , где M, N, K — середины соответственно сторон 1 AA ,CB, рис. 1.31). Рис. 1.31 A K 2 1 C x N B y 6 B 1 4 z M A 1 C 1 § 1.5. Угол между прямой и плоскостью 37 ○ 1. Из BKC найдем 2 2 KB BC KC 16 4 2 В декартовой системе координат, указанной на рис. 1.31 найдем координаты следующих точек и векторов 1 K(0;0;0), B (0;2 3;6), 1 M 2;0;3 , N 1; 3;0 , A 2;0;6 р def 1 1 (0; 2 3;6), m MN (3; 3; 3), q A B 2; 2 3;0 2. Пусть — плоскость, которая параллельна 1 1 A B и MN , те. || m , || q и пусть n x; y; z — нормальный вектор этой плоскости, тогда x 3y n m 0 3x 3y 3z 0 n 3; 3; 2 . 2 3 n q 0 2x 2 3y 0 z y 3 Вектор р 2 3;6) — это направляющий вектор прямой 1 KB те. 1 (KB ) || р Пусть φ — величина угла между прямой КВ и плоскостью ω, тогда n p 6 12 5 3 5 3 sin arcsin n p 16 16 16 48 Ответ 5 3 arcsin 16 § 1.6. Угол между плоскостями Задача. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . M, N, P — середины соответственно ребер AA 1 , AB, BC. Найти угол между плоскостями (MNP) и (а) Введем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 1.32. Длину ребра куба можно выбрать произвольно, поскольку при гомотетии величина угла между плоскостями не меняется. Удобно, например, взять длину ребра куба, равную 2. Относительно выбранной системы координат найдем координаты точек и векторов 1 1 M 2; 0; 1 , N 2; 1; 0 , P 1; 2; 0 , D 0; 0; 2 , C 0; 2; 2 , 1 1 1 M N = 0 ; 1 ; - 1 , M P = -1 ; 2 ; - 1 , D M = 2 ; 0 ; - 1 , D C = 0 ; 2 ; 0 Глава I 38 б) Пусть n = (x;y;z) — нормальный вектор плоскости = (MNP). В этом случае выполняются условия 1;1;1 n MN = 0, y - z = 0, y = z, n -x + 2y - z = 0 x = z n MP = Рис. 1.32 Аналогично, если = (с — нормальный вектор плоскости = (MD 1 C 1 ), тогда 1 1 1 n D M = 0, 2a - c = 0, c = 2a, n = 1; 0; 2 2b = 0 b = 0 n D C = в) Если = α,β , то cos n n 1+ 0 + 2 3 15 = = = 5 1+1+1 1+ 0 + 4 3 5 n Откуда 15 = arccos 5 Ответ § 1.6. Угол между плоскостями 39 Задача. В основании правильной треугольной пирамиды SABC лежит правильный ABC со стороной, равной 2. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и SA = 1. Точки P, Q соответственно середины ребер SB, CB. Плоскость параллельна прямыми, а плоскость параллельна прямыми. Определить величину угла между плоскостями и . а) Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 1.33. В выбранной системе координат имеем 3 3 1 A 0; 0; 0 , B 0; 2; 0 , C 3;1; 0 , S 0; 0;1 , Q ; ; 0 , P 0;1; , 2 2 2 3 3 1 SC = 3;1; -1 , AB = 0; 2; 0 , AQ = ; ; 0 , CP = - 3; 0; 2 2 Рис. 1.33 б) Пусть m = (x;y;z) — нормальный вектор плоскости , параллельной прямыми. Тогда выполняются условия m SC = 0, 3x + y - z = 0, z = 3x, m = 1; 0; 3 2y = 0 y = 0 m AB = в) Обозначим через плоскость, которая параллельна прямыми, а через n = (с — ее нормальный вектор. В этом случае получаем систему вида 3 3 3 a + b = 0, n AQ = 0, b = - a, 2 2 n = 3; -1; 6 3 1 n CP = 0 - 3a + c = 0 c = 2 3a 2 3 2 3 3 z Глава I 40 г) Если = , , то 3 + 6 3 m n 7 3 7 30 cos = = = = m n 40 1+ 3 3 +1+ 36 2 Следовательно, 7 30 = arccos 40 Ответ Задача 1.19. Дана треугольная прямая призма 1 1 1 ABCA B C , в основании каждой лежит равнобедренный ABC. Сторона основания AB ABC равна высоте. Определить угол между плоскостями (K M C ) и 1 (ACC ) , если 1 AA : AB 3 :1, аи соответственно середины ребер 1 A A и АВ рис. 1.34). Риса а B x C y 6a C 1 z Ка. Угол между плоскостями 41 ○ 1. Пусть AB 2a , тогда по условию 1 MC AB 2a; A A 6a. Относительно выбранной системы координат (рис. 1.34) находим M(0;0;0), C(0; 2a;0), MC (0; 2a;0), K( a;0;3a), MK ( a;0;3a), A a;0;0 , AC (a; 2a;0), AA k 0;0;1 . 2. Пусть n x; y; z нормальный вектор плоскости KM C : n MK, n MK 0, ax 3az 0, x 3z, n 3; 0;1 . 2ay 0 y 0 n MC n MC 0 3. Обозначим через 1 1 1 m x ; y ; z — нормальный вектор плоскости Имеем 1 1 1 1 1 1 z 0, z 0, m k, m k 0, m 2; 1;0 . ax 2ay 0 x 2y m AC m AC 0 4. Пусть 1 — угол между плоскостями и , тогда m n 6 6 3 2 cos m n 5 4 1 9 1 Ответ 3 Задача 1.20. Дана треугольная пирамида SABC , в основании которой лежит равнобедренный треугольник ABC, причем A B : M C 2 : 3, M — середина AB. Известно, что AB:SC = 1:2, SP:PC = 1:3. Найти угол между плоскостями (A B P ), (S B C рис. 1.35), если MO:OC = 1:2, а точка О — проекция вершины S пирамиды 1. Как известно, при центральной симметрии (гомотетии) углы между прямыми и плоскостями не меняются. Поэтому выбор длины отрезка, например, AB произвольный. Поэтому пусть AB = 2, тогда MB = 1, MC = 3, SC = 4, SP = 1, PC = 3, MO = 1, OC = 2. по теореме Пифагора из находим SO 2 3. ( SOC 1 1 3 3 3 PP C) PP 2 3 4 2 S Глава I 42 Рис. 1.35 2. Относительно выбранной системы координат (рис. 1.35) находим 3); 2 2 C 0;3;0 ; BC ( 1;3;0). 3. Пусть n ( x ; y; z нормальный вектор плоскости . Тогда 2x 0 x 0, n AB 0, n (0; 3;1). 3 3 3 y 3z x y z n BP 0 2 2 4. Аналогично, если m (x; y; z нормальный вектор плоскости , то 1 1 1 1 1 1 1 1 m BS 0 x y 2 3z 0 2y 2 3z 0 x 3y 0 x 3y m BC 0 1 1 1 1 x 3y m (3 3; 3;1). y z 3 S P C y B M A O P 1 x 2 3 3 3 2 z 1 3 2a 4a § 1.6. Угол между плоскостями 43 5. Обозначим через — величину угла между плоскостями и Значит, m n 3 1 2 31 31 cos arccos m n 31 31 27 3 1 3 1 Ответ Упражнения 1.1. Через концы трех ребер параллелепипеда, выходящих из одной вершины, проведена плоскость. Найдите, в каком отношении она делит диагональ параллелепипеда, выходящую из той же вершины. 1.2. Точки M и N — середины соответственно ребер AB и DC тетраэдра, точки P и Q расположены на ребрах AD итак, что отрезки и PQ пересекаются, а AP : AD = 2 : 3. Найдите отношение BQ : BC. 1.3. Точки P и M — середины ребер A 1 B 1 и DA параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , точка Q лежит на ребре C 1 C, причем 1 1 CQ = C Найдите, в каком отношении плоскость разделит диагональ D 1 B параллелепипеда. 1.4. Каждое ребро правильной призмы ABCA 1 B 1 C 1 имеет длину a. На диагоналях AB 1 и BC 1 граней призмы взяты соответственно точки M итак, что MN AB , a 3 MN = 3 . В каком отношении точки M и N делят отрезки AB 1 и BC 1 ? 1.5. Через вершину С тетраэдра ABCD и середины ребер AD и BD проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость разделит отрезок, где M и N — соответственно середины ребер AB и CD? 1.6. На ребрах A 1 B 1 , AB и CC 1 призмы ABCA 1 B 1 C 1 расположены соответственно точки M, N итак, что A 1 M: A 1 B 1 = BN: BA = C 1 P: C 1 C = 1 : 2. Постройте точку Q пересечения плоскости (MNP) с прямой B 1 C 1 и найдите отношение C 1 Q: B 1 C 1 1.7. В треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 точки M и N — соответственно середины боковых ребер BB 1 и CC 1 . Через точку O пересечения медиан ABC проведена прямая, пересекающая прямые MN и AB 1 соответственно в точках P и Q. Найдите отношение PQ : OQ. 1.8 . Длина ребра куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равна а. Точки P, K, L — середины соответственно ребер AA 1 , A 1 D 1 , B 1 C 1 , точка Q — центр грани Глава I 44 CC 1 D 1 D. Отрезок MN с концами на прямых AD и KL пересекает прямую PQ и перпендикулярен к ней. Найдите длину этого отрезка. 1.9. Дана правильная четырехугольная пирамида PABCD сверши- ной P. На ребрах PA и PC взяты точки K и M соответственно, причем AK : KP=1 : 3, CM = PM. Найдите отношение, в котором делится ребро PB плоскостью, проходящей через D, K, M. 1.10 . Точки M и N — середины ребер AB и CD тетраэдра ABCD. Точка P делит ребро AD в отношении AP : AD = 2 : 3. Точка Q так расположена на ребре BC, что отрезки MN и PQ пересекаются. Найдите отношение В параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведена диагональная плоскость 1 1 AA С C . Точка M делит ребро DC так, что DM : MC = 1: 1. Точка N делит ребро B 1 A 1 в отношении 1 1 B N : NA = 1: 3 . Прямая MN пересекает диагональную плоскость в точке K. Найдите отношение NK : KM . 1.12. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD двугранный угол при основании равен 60 . Точки M и N — середины боковых ребер и SC. Найдите угол между прямыми AM и BN. 1.13. Основанием прямой призмы служит ромб, длина стороны которого равна a. Боковое ребро имеет длину 3a. Середина M диагонали A 1 B боковой грани соединены сточкой на диагонали B 1 D 1 верхнего основания. Найдите длину отрезка MK, если он параллелен плоскости A 1 D 1 D. 1.14. Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна а. Точки K и Q — середины сторон основания DC и AB соответственно. Найдите длину отрезка, один конец которого лежит на QK, а другой на ребре DS и при этом делит его в отношении SM : SD = 2 : 3. Угол наклона бокового ребра к основанию равен 1.15. Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 имеет длину а. На диагоналях D 1 A и A 1 B лежат соответственно точки M итак, что 1 1 1 D M:D A = KB : A B = =1: 3 . Найдите расстояние от вершины C до прямой MK. 1.16. Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна а. Точка F — середина ребра SA, а точка E лежит на SC, причем 2 SE = SC 3 . Отрезок MN с концами на прямых AB и CK пересекает FE и перпендикулярен к ней. Найдите его длину. 1.17. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD имеет длину l , а плоский угол при вершине равен 60 °. Точка E — середина ребра С, а точка F делит ребро SA в отношении SF : SA = 1: 3 . Найдите длину отрезка MN, перпендикулярного прямой FE, если точка M лежит на ребре SB, а точка N принадлежит высоте пирамиды SO. Упражнения 45 1.18. В тетраэдре DABC с вершиной в точке D проведен отрезок KM, один конец которого лежит в точке пересечения медианы и стороны основания, к которой она проведена, а другой конец M лежит на медиане DO тетраэдра и делит ее в отношении : MO = p : q . Найдите длину KM. 1.19. Высота тетраэдра SABC имеет длину h, CF — медиана ΔABC , SF — медиана ABS. Найдите длину отрезка M 1 M 2 , если M 1 и M 2 — точки пересечения медиан в треугольниках ABC и ABS. 1.20. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . M — середина ребра AA 1 . Найдите величину угла между плоскостями (MB 1 C) и (AA 1 D). 1.21. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите длину общего перпендикуляра прямых AC 1 и A 1 D, если AB = 2, BC = 1, AA 1 = 2. 1.22. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . M — середина ребра BB 1 , N — центр грани DD 1 C 1 C. Найдите величину угла между плоскостями (MNC 1 ) и (AMC). 1.23. Найдите расстояние между диагоналями AD 1 и DC 1 двух смежных граней куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром a. 1.24. На ребрах DA, DB, DC треугольной пирамиды DABC взяты точки M, N, K так, что DA 3 1 DM , DB 4 1 DN , DC 5 3 DK . Точка Q — точка пересечения медиан ΔABC . В каком отношении плоскость (MNK) делит отрезок DQ? 1.25. Дан тетраэдр SABC. Известно, что AB 2 + BC 2 + AC 2 = a 2 , SA 2 + SB 2 + SC 2 = b 2 . Найдите SO, где О — точка пересечения медиан ΔABC 1.26. В правильном тетраэдре DABC отрезок MN соединяет середину ребра AD с центром грани BCD, а отрезок QP соединяет середину ребра CD с центром грани ABC. Найдите угол между отрезками MN и PQ. 1.27. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Известно, что N — точка пересечения диагоналей грани ABCD, M A 1 D 1 и A 1 M : MD 1 = 1: 4. Вычислите угол между прямой MN и плоскостью грани ABCD. 1.28. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка K — середина ребра AA 1 , L — середина ребра AD, M — центр грани DD 1 C 1 C. Докажите, что прямые KM и B 1 L взаимно перпендикулярны. 1.29. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Плоскость проходит через точку D и отсекает от боковых ребер SA и SC отрезки, длины которых равны SC 3 2 SK , SA 3 1 SM . Длина бокового ребра пирамиды равна а. Найдите длину отрезка SN, где N SB. Глава I 46 1.30. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — параллелепипед. В каком отношении плоскость, проходящая через точки D, C 1 и середину [A 1 B 1 ], делит диагональ Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точки P и Q — середины соответственно ребер AD и C 1 D 1 . Длина ребра куба равна 4. Найдите угол между плоскостями (ABC) и (CPQ). 1.32. В основании пирамиды MABC лежит треугольник с прямым углом при вершине Си. Боковое ребро MC перпендикулярно плоскости основания и MC = BC. Точки P, Q и R — середины соответственно ребер AB, BC и MB. Найдите расстояние между прямыми и PQ. 1.33. Сторона основания ABCD правильной призмы имеет длину 2a, боковое ребро имеет длину a. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали AD 1 грани и диагонали DB 1 призмы, параллельные плоскости AA 1 B 1 B. Один из этих отрезков проведен через точку М диагонали AD 1 , такую, что 3 : 2 AD : AM 1 . Найдите длину этого отрезка. 1.34. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отношение длин бокового ребра и стороны основания равно 2. Найдите угол между диагональю BD 1 призмы и плоскостью (BC 1 D). 1.35. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка М — середина ребра AA 1 , а точка F делит ребро B 1 C 1 в отношении 3 : 1. Найдите угол между плоскостями) и (FAD). 1.36. Дан правильный тетраэдр DABC. Точки K и L — середины соответственно ребер AD и BC. CC 1 — высота ΔABC . Найдите угол между прямыми KL и CC 1 1.37. Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 имеет длину а. Найдите угол между прямой BD 1 и плоскостью (BC 1 D). 1.38. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD величина двугранного угла при основании равна 30 . Точки M, N, P, Q — середины соответственно ребер AB, BC, CD и DA. Точка E лежит на ребре AB, F принадлежит (SC). Известно, что углы, образованные прямой EF с плоскостями (SMP) и (SBA), а также угол между прямой DF и плоскостью, равны. Найдите величину этих углов. 1.39. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка М лежит на ребре AA 1 таким образом, что AM : MA 1 = 3 : 1. Точка N — середина BC. Найдите угол между прямыми MN и BD. 1.40. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точки P и Q — середины соответственно ребер A 1 B 1 и DD 1 . Найдите угол, который образует прямая B 1 D с плоскостью , проходящей через вершину C 1 перпендикулярно прямой PQ. 1.41. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Стороны основания AB = 3, AD = 5, длина бокового ребра равна 1. Точки P и Q — Упражнения 47 середины соответственно ребер A 1 B 1 и B 1 C 1 . Найдите расстояние между точкой Q и плоскостью, проходящей через прямую BP и параллельной прямой AD. 1.42. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Точка M принадлежит прямой SC и делит ее пополам. Найдите угол между прямыми DC и AM, если SB = AB. 1.43. Все боковые грани призмы ABCA 1 B 1 C 1 — квадраты. Точки M, N, P и Q — середины соответственно ребер A 1 B 1 , CC 1 , AB и A 1 C 1 . Найдите угол между прямыми MN и PQ. 1.44. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , в котором ребра равны 2, 4, 6. Точки K, L и M — середины соответственно ребер CC 1 , BC и AB. Найдите угол между плоскостями (A 1 KD 1 ) и (KLM). 1.45. Дана прямая треугольная призма ABCA 1 B 1 C 1 , основание которой правильный треугольник со стороной, равной 4. Точка M — середина стороны AB. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми CM и AB 1 , если АА 1 = 6. 1.46. В основании четырехугольной пирамиды лежит квадрат со стороной, равной 4, ребро SB перпендикулярно плоскости основания и равно 5. Точки L и K — середины соответственно ребер AS и CD. Найдите угол между прямой AB и плоскостью, параллельной прямыми Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Ребро куба равно 1. Найдите расстояние между диагональю DB 1 и скрещивающимися с ней диагоналями граней этого куба. 1.48. В основании пирамиды MABC лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 45 . На ребре MB взята точка K — середина этого ребра. Найдите угол между прямой AK и плоскостью (MBC). 1.49. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина каждого ребра равна а. Точка M принадлежит прямой SC и SM: MC = 2 : 1. Найдите угол между прямыми DC и AM. 1.50. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольника ее боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания. На ребре MC взята точка P — середина этого ребра. AB = 1, MB = 2, BC = 3. Точка О — точка пересечения диагоналей основания. Найдите расстояние от точки D до прямой OP. 1.51. Дана правильная треугольная призма ABCA 1 B 1 C 1 , в которой AA = 2AB 1 . Найдите угол между прямыми AC 1 и A 1 B. 1.52. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, основанием которой является квадрат со стороной, равной 2. Высота пирамиды равна 4. Точки M и N — середины соответственно ребер AB и SC, а точка P делит SO в отношении 3 : 1, считая от вершины. Найдите угол между AD и плоскостью, параллельной прямыми Глава I 48 1.53. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точки M, N и P — середины соответственно ребер AA 1 , AB и A 1 B 1 . Найдите расстояние от точки P до плоскости Дан прямоугольный параллелепипеду которого. На ребрах A 1 D 1 и B 1 C 1 взяты соответственно точки P и Q такие, что 1 1 1 1 1 1 A P : A D = C Q : C B =1: 3 . Считая AB = 1, найдите расстояние от точки B до плоскости (DPQ). 1.55. В основании пирамиды MABC лежит прямоугольный треугольник. Ребро MA перпендикулярно плоскости основания и MA = AC = AB. На ребрах MA, MB и MC взяты соответственно точки D, E, F — середины этих ребер. Найдите угол между прямыми BD и CE. 1.56. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, боковое ребро которой наклонено к плоскости основания под углом 45 . Точка K — середина ребра BS. SH — медиана боковой грани. Найти угол между прямыми DK и SH, SD и AC. 1.57. Дана прямоугольная призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со сторонами основания и 4 и высотой 6. Точка Q — середина ребра АА 1 , а точка P делит BB 1 в отношении B 1 P : B 1 B = 2 : 3. Найдите угол между плоскостями) и (CDP) 1.58. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точки P и Q — середины соответственно ребер D 1 C 1 и DC. Найдите угол между плоскостями (AA 1 Q) и (BC 1 P). 1.59. Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 имеет длину a. Найдите угол между прямыми AD 1 и DC 1 1.60. Сторона основания ABCD правильной призмы 1 1 1 1 ABCDA B C D имеет длину 2a, боковое ребро имеет длину a. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали AD 1 грани и диагонали DB 1 призмы, параллельные плоскости AA 1 B 1 B. Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков. 1.61. На ребрах AA 1 и C 1 D 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взяты соответственно точки P и Q — середины этих ребер. Считая ребро куба равным 1, найдите расстояние до плоскости (B 1 PQ) от точки А В основании пирамиды MABC лежит прямоугольный треугольник. Ребро MA перпендикулярно плоскости основания и MA = AC = AB. На ребрах MA, MB и MC взяты соответственно точки D, E, F — середины этих ребер. Найдите угол между прямыми CE и AF. 1.63. В основании пирамиды лежит квадрата ее вершина M проектируется в точку B, и MB = AB. На ребре MD взяты точки K 1 ,K 2 и K 3 , такие, что DK 1 = K 1 K 2 = K 2 K 3 = K 3 M. Найдите угол, который образует с плоскостью (MAD) прямая CK 1 1.64. На ребре CC 1 куба 1 1 1 1 ABCDA B C D взята точка К — середина этого ребра. Найдите угол, который образует плоскость (BDK) с плоскостью Упражнения 49 1.65. В основании прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 лежит треугольник с прямым углом при вершине Си отношением катетов BC : AC = 1 : 2. Боковое ребро призмы равно гипотенузе треугольника АВС. На ребре AA 1 призмы взята точка Р — середина этого ребра. Считая ВС = 1, найдите расстояние от точки B 1 до плоскости (BC 1 P). 1.66. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Ребро МВ перпендикулярно плоскости основания и МВ = АВ. На ребре МС взята точка Р — середина этого ребра. Найдите угол, который образуют прямые DP и AC. 1.67. В основании пирамиды MABCD лежит квадрата ее боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания. На ребре МС взяты точки F 1 , F 2 и F 3 такие, что CF 1 = F 1 F 2 = F 2 F 3 = F 3 M. Найдите угол между прямой DF 1 и плоскостью (MAB). 1.68. В правильной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отношение ребер 1 AB : AA = = 3 : 4. Найдите угол между плоскостями 1 AB C и 1 1 A B C 1.69. Боковые грани призмы ABCA 1 B 1 C 1 — квадраты. На ее ребре CC 1 взята точка Р — середина этого ребра, а на прямых BB 1 и BA взяты соответственно точки Q и R, такие, что 1 BQ : BB = BR : BA = 3 : Считая А, найдите расстояние от точки C 1 до плоскости (PQR). 1.70. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB : AD = 1: 2. Высота МО пирамиды равна диагонали основания и проектируется в точку пересечения диагоналей. На ребрах МС и МВ пирамиды взяты соответственно точки K и L — середины этих ребер. Найдите угол между прямыми DK и MA. 1.71. Диагональ A 1 C правильной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 образует с плоскостью ее основания угол, равный 45 . Найдите угол между прямой и плоскостью (AB 1 D 1 ). 1.72. Боковое ребро правильной призмы ABCA 1 B 1 C 1 равно стороне ее основания. На стороне AC взяты точки K 1 и K 2 , такие, что CK 1 = K 1 K 2 = K 2 A. Найдите угол между плоскостями (ABC 1 ) и (A 1 BK 1 ). 1.73. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB : AD = 1 : 2. Высота пирамиды проектируется в точку О — центр основания и равна большей стороне основания. На ребрах МА и МС пирамиды взяты соответственно точки P и Q — середины этих ребер. Точка N — середина ребра АВ. Считая А, найдите расстояние от точки N до плоскости (DPQ). 1.74. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB : AD = 1: 2. Высота MO пирамиды проектируется в точку О — середину ребра ВС, и МО = АВ. На ребре МА взята точка Р — середина этого ребра. Найдите угол между прямыми DP и MC. Глава I 50 1.75. Отношение высоты МО правильной пирамиды MABCD к стороне ее основания равно 14 : 2 . Через диагональ BD основания и точку К — середину ребра МС проведена плоскость. Найдите угол между прямой МС и плоскостью (BDK). 1.76. Точка К — середина ребра АС правильной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , боковое ребро которой равно стороне ее основания. Найдите угол между плоскостями (BKC 1 ) и (ACB 1 ). 1.77. На ребре МВ правильной пирамиды MABC, высота которой равна стороне основания, взята точка Р — середина этого ребра, а на прямых АВ и ВС взяты соответственно точки Q и R, такие, что BQ : BA = BR : BC = 3 : 2. Считая А, найдите расстояние от точки А до плоскости (PQR). 1.78. На прямой, проходящей через вершины A 1 и C 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , взята точка Р, такая, что 1 1 1 A P : A C = 2 : 1 , а на прямой B 1 D взята точка Q, такая, что 1 1 B Q : B D = 3 : 2 . Найдите угол между прямыми и BP. 1.79. На ребрах BB 1 , DD 1 и AD куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взяты соответственно точки P, Q и R — середины этих ребер. Найдите угол между прямой A 1 D и плоскостью (PQR). 1.80. В основании прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 лежит прямоугольный треугольнику которого AC = BC. Известно также, что AA 1 = AC. На ребрах и AA 1 взяты соответственно точки P и Q — середины этих ребер и через точку C 1 проведена плоскость , параллельная прямыми. Найдите угол, который образует плоскость с плоскостью (ABC). 1.81. В основании пирамиды MABC лежит треугольник с прямым углом при вершине Си. Ребро МА пирамиды перпендикулярно плоскости основания, и MA = AB. Через точку К — середину ребра АС перпендикулярно прямой МВ проведена плоскость . Считая АС, найдите расстояние от точки В до плоскости . 1.82. Боковое ребро призмы ABCA 1 B 1 C 1 равно гипотенузе АВ равнобедренного прямоугольного треугольника АВС, лежащего в основании призмы. На ребрах AB и BB 1 призмы взяты соответственно точки K и L — середины этих ребер, а на прямых CL и C 1 K взяты соответственно точки P и Q, такие, что CP : CL = C Q : C K = 3 : 2 1 1 . Найдите угол между прямыми C 1 P и CQ. 1.83. Высота МО правильной пирамиды MABC равна стороне ее основания. На отрезке ОВ взята точка Р — середина этого отрезка. Найдите угол между прямой МР и плоскостью (MAB). Упражнения 51 1.84. Высота МО правильной пирамиды MABCD равна диагонали основания. Найдите угол, который образует плоскость, проходящая через прямую АВ перпендикулярно плоскости (MCD), с плоскостью (ABC). 1.85. В основании призмы ABCA 1 B 1 C 1 лежит правильный треугольник. Боковое ребро призмы наклонено к плоскости основания под углом, и АВ 1 = СВ 1 . Через вершины A, B 1 и C проведена плоскость . Считая 2 6 AB = , AA =1 1 3 , найдите расстояние от точки A 1 до плоскости На ребрах АВ, АС правильной пирамиды МАВС, все плоские углы при вершине М которой прямые, взяты соответственно точки D, F — середины этих ребер. Найдите угол между прямыми В и MD. 1.87. В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB : AD = 1 : 3. Высота МО пирамиды в два раза больше стороны АВ и проектируется в точку пересечения диагоналей основания. На ребре МВ пирамиды взята точка К — середина этого ребра. Найдите угол, который образует прямая ОК с плоскостью (MBC). 1.88. Высота МО пирамиды MABCD проектируется в точку пересечения диагоналей основания, которым является прямоугольник сот- ношением сторон AB : AD = 1 : 2 и MO = AD. На ребре МС взята точка К — середина этого ребра. Найдите угол между плоскостями (ABC) и (BDK). 1.89. На ребрах AA 1 и C 1 D 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взяты соответственно точки P и Q — середины этих ребер. Считая ребро куба равным 1, найдите расстояние от точки D до плоскости (B 1 PQ). 1.90. В основании пирамиды MABC лежит правильный треугольник АВС, а ее боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, и МВ = АВ. Точка D — середина ребра МС. Найдите угол между прямыми МА и В. 1.91. В правильной пирамиде MABCD AB : MA = 1 : 2. На ребре МА взята точка К — середина этого ребра. Найти угол между прямой DK и плоскостью (MCD). 1.92. На ребре CC 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка К — середина этого ребра. Найдите угол, который образует плоскость (BDK) с плоскостью В основании прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 лежит треугольник с прямым углом при вершине Си отношением катетов BC : AC = 1 : 2. Боковое ребро призмы равно гипотенузе треугольника АВС. На ребре AA 1 призмы взята точка Р — середина этого ребра. Считая ВС = 1, найдите расстояние от точки А до плоскости (BC 1 P). 1.94. В диагональном сечении МАС пирамиды MABCD, основанием которой является ромб, угол при вершине М равен 90 , а в сечении М — 60 . Высота пирамиды проектируется в точку О — точку пересечения диагоналей основания. На ребре МС взята точка К — середина этого ребра. Найдите угол между прямыми AC и DK. Глава I 1.95. Основанием пирамиды MABCD является прямоугольника ее вершина М проектируется в точку О — середину ребра АВ, и AB : AD : MO = 4 : 1 : 1. Найдите угол между прямой MD и плоскостью (MBC). 1.96. В правильной призме 1 1 1 1 ABCDA B C D отношение ребер AB : AA 1 = = 3 : 4. Найдите угол между плоскостями (AB 1 C) и (AB 1 C 1 ). 1.97. Боковые грани призмы ABCA 1 B 1 C 1 — квадраты. На ее ребре CC 1 взята точка Р — середина этого ребра, а на прямых BB 1 и BA взяты соответственно точки Q и R, такие, что 1 BQ : BB = BR : BA = = 3 : 2. Считая А, найдите расстояние от точки О — центра тяжести треугольника АВС до плоскости (PQR). 1.98. В основании пирамиды MABCD лежит параллелограмму которого AB : AD = 1 : 2 и BAD = 60 . Грань МАВ является правильным треугольником, медиана МК которого перпендикулярна плоскости основания. На ребре МА взята точка Е — середина этого ребра. Найдите угол между прямыми МК и DE. 1.99. На ребрах BB 1 , C 1 D 1 и AD куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взяты соответственно точки P, Q и R, такие, что BP : BB 1 = 1 : 2, C 1 Q : C 1 D 1 = 1 : 3 и AR : AD = 3 : 4. Постройте сечение куба плоскостью (PQR) и найдите угол, который образует с этой плоскостью прямая АВ. 1.100. Боковое ребро правильной призмы ABCA 1 B 1 C 1 равно стороне ее основания. Найдите угол между плоскостями (ABC 1 ) и (A 1 BC). |