Попов - весь практикум по геометрии. Практикум по решению стереометрических задач приведены решения 52 задачи задач с ответами даны для самостоятельного решения
 Скачать 15.31 Mb.
|
|
§ 1.2. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости 15 1. Произведем предварительные вычисления а) 2 2 2 2 a a 3 2 a 3 CKB : KC CB KB a OC KC 4 2 3 по свойству медиан правильного треугольника ABC). b) 2 2 2 2 3a a 6 MOC : MO MC OC a 9 3 c) Пусть 1 PP — перпендикуляр к плоскости (ABC), те. 1 PP || OM; 1 ( PP B 1 1 1 1 BOM) OP : P B 1: 3 KN : N B 1: 3 и NO : NK 1: Отсюда получаем, что 1 1 a KN KB 4 ирис. Кроме того, 1 3 3 a 6 a 6 PP OM 4 4 3 Рис. 1.14 2. Выберем систему координат так, как указано на рис. 1.13. Относительно выбранной системы координат имеем K(o;o;o;), C(o; a 3 ; 2 a a 3 a 6 o), P ; ; , 8 8 4 a a 3 a 6 a 3 KP ; ; ; KC o; ;o . 8 8 4 2 3. Пусть точка F — проекция точки P напрямую (рис. 1.15). Тогда KC 3a 3a KF орт.пр KP 8 a 3 KC 16 2 C A K O B N 1 P 1 N 1 3 Глава I 16 2 2 2 a 3a 6a 2 7a KP KP 64 64 16 Рис. 1.15 7. Из прямоугольного треугольника KFP находим расстояние от точки P до прямой KC: 2 2 2 2 28a 3a 5a h PF KP KF 64 64 Ответ Задача 1.4. Точка O — центроид грани 1 1 CC D D куба 1 1 1 1 ABCDA B C D Считая ребро куба равным а, найдите расстояние от точки D до прямой , проходящей через вершину B 1 параллельно прямой BO рис. Рис. 1.16 l z B 1 M D 1 A x B y a O C 1 C a a D P K F C h § 1.2. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости 17 ○ 1. По условию || (BO) и BO || (BO). Следовательно, def BO p — направляющий вектор прямой . Выберем декартову систему координат так, как указано на рис. 1.16. и найдем координаты следующих точек и векторов в этой системе координат 1 B (a;o;a), D (o; a ; o ), B(a; o; o), a a O ;a; , 2 2 1 B D ( a; a; a ), def a a BO ;a; p. 2 2 2. Пусть DM — это перпендикуляр к прямой l , тогда 2 1 1 p 1 2 2 2 B D p a a 6 B M орт.пр B D p 3 a a a 4 4 2 2 2 1 1 B D B D a a a a По теореме Пифагора из 1 B находим 2 2 1 1 a 21 DM B D B Ответ a 21 Задача 1.5. Основание пирамиды MABC является правильный треугольник, ее боковое ребро MC перпендикулярно плоскости основания, и MC = AB. Считая AB = a, найдите расстояние от точки P MA до плоскости , проходящей через точку A перпендикулярно ребру MB, если MP : PA 1: рис. 1.17). ○ 1. В выбранной системе координат (см. рис. 1.17) находим координаты следующих точек и векторов a B ;o;o ; A 2 a ; 2 a 3 a o;o , M o; ;a , P ; 2 8 3 3a ; 8 3 a 4 def BM n a ; 2 a 3 ;a 2 — нормальный вектор плоскости (из условия. Глава I 18 Рис. 1.17 2. Найдем уравнение плоскости по точке A и нормальному вектору n : a a a 3y : x az 0 2x 2 3y 4z a 0 2 2 Расстояние от точки P до плоскости найдем по формуле (16) (§ 1.2): 2a 3 3a 3 2 3 4 a a 8 8 4 9a 9 2a P; 16 4 12 16 2 Ответ 9 Задача 1.6. В правильной пирамиде MABCD высота MO в два раз больше стороны основания. Считая AB = a, найдите расстояние от точки M до плоскости, проходящей через прямую AD перпендикулярно плоскости MBC (рис. 1.18). ○ 1. В системе координат, указанной на рис. 1.18, найдем координаты следующих точек и векторов a a a a M(o;o;2a), P o; ;o , B ; ;o , N o; ;o , 2 2 2 2 a a a a a MB ; ; 2a ; PB ; o; o , NA PB ; o; o , NM o; ; 2a . 2 2 2 2 2 A z K M C y B P a a a 2 3 1 Р § 1.2. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости 19 Рис. 1.18 2. Пусть — плоскость, проходящая через прямую AD, и где ( M B C ). Обозначим через m ( x ; y; z ) — нормальный вектор плоскости , тогда m MB, m PB : a a x y 2az 0, m MB 0 x 0, 2 2 m 0; 4;1 . a у 4z m PB 0 x 0 2 3. Так как ( m , ) m || . обозначим через 1 1 1 n (x , y ,z ) — нормальный вектор плоскости : 1 1 1 1 1 1 4y z 0, n m, x 0, a n 0; 1; 4 . z 4y x 0 n NA 2 4. Пусть ( M , ) — расстояние от точки M до плоскости , которое найдем по формуле (8) (§ 1.1). n a 8a NM n 15 17a 2 (M, ) орт.пр NM n 34 Ответ 15 17a 34 z y x O A C P K E N B D 2a m a M a/2 Глава I 20 § 1.3. Расстояние между скрещивающимися прямыми Задача. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный ABC со стороной, равной 2. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и SA = 1. Точки P и Q соответственно середины ребер SB и CB. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми CP и AQ. ○ Построим прямоугольную систему координат так, как указано на рисунке 1.19. Рис. 1.19 ○ й способа) В этой системе координат находим А, В, С ;1;0), S(0;0;1), ( 3; 1; 0), AC (0; 2; 0), AB ( 3; 1; 1), CS ( 3; 1; Отсюда следует, чтоб) Пусть [MN] — общий перпендикуляр прямых CP ирис. По правилу многоугольника сложения векторов M N M C C Q Q N § 1.3. Расстояние между скрещивающимися прямыми 21 Учитывая, что MC ║ 1 3 ; 0; , 2 CP MC x CP x x QN ║ 3 3 ; ; 0 , 2 2 AQ QN y получим 3 3 1 3 1 3 ; ; 2 2 2 2 2 MN x y y x (17) в) По свойству общего перпендикуляра прямых 1 3 0, 0, 2 2 0 12 6 6 0 6 , 2 , 10 13 6 6 3 10 MN AQ x y y MN CP x y x x x y x y y (18) Изв силу соотношений (18), окончательно имеем 3 1 6 ; ; 20 20 Отсюда 1 40 10 3 1 36 20 20 10 MN MN ● ○ й способ. Известно, что скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях. Пусть ( ) CP , а ( ) AQ (рис. 1.20). Тогда расстояние между плоскостями и есть расстояние между скрещивающимися прямыми CP и AQ. а) Вводим систему координат также, как ив пункте 1 аи находим 1 3; 0; , 2 CP 3 3 ; ; 0 , 2 2 AQ 3 1 ; ; 0 . 2 2 CQ Глава I 22 Рис. 1.20 б) Пусть ( ; ; ) n x y z — нормальный вектор плоскостей и . В силу этого имеем 1 3 0, 2 3 , 0, 2 3; 1; 6 . 3 3 3 0 0 3 2 2 x z z x n CP n n в) Берем любые две точки на скрещивающихся прямых, например ( ), ( ) C CP Q AQ , и по формуле (9) вычисляем расстояние между этими прямыми 3 1 0 2 10 2 2 орт.пр CQ n 10 3 1 36 40 CQ n d n Ответ Задача 1.8. В основании пирамиды MABC лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Боковая грань MAB перпендикулярна плоскости основания, ив На ребре BM взята точка P — середина этого ребра, а в грани MAC взята точка Q — центроид этой грани. Найдите расстояние между прямыми AB и PQ, если BC = a ирис. Расстояние между скрещивающимися прямыми 23 Риса Так как AM B — равнобедренный ( M A M B ), то a сто по теореме Пифагора имеем 2 2 2a MN 2a 4 a 6 е) CN — медиана равнобедренного CBA, значит, она является ибис- сектрисой ВСА 90 , те. NCA 45 . Отсюда следует, что ANC — равнобедренный, те. a 2 NC NA 2 2. Относительно выбранной системы координат (рис. 1.21) найдем координаты следующих точек и векторов M z P A Q y N B P 1 x C a 45° 30° a a 6 2 a 2 2 45° Глава I 24 a 2 a 2 B o; ;o , A 0; ;0 , BA 0;a 2;0 , 2 2 a 2 a 6 a 6 a 2 P 0; ; ; M 0;0; ; C ;0;0 2 4 Так как Q — центроид грани MAC, то a 2 a 2 a 6 Q ; ; ; 6 6 6 PQ a 2 2 a 6 a 6 ; a 2; , AP 0; a 2; 6 3 12 4 3. Пусть скрещивающиеся прямые PQ и BA лежат соответственно в параллельных плоскостях и (см. рис. 1.22). Рис. 1.22 Расстояние TF d между плоскостями и — есть расстояние между скрещивающимися прямыми PQ и BA. Найдем нормальный вектор n x; y; z плоскостей и : a 2 2 a 6 n PQ n PQ 0 x a 2y z 0 , , , 6 3 12 n BA n BA 0 a 2y 0 y 0 , n 3 x z 2 n 3;0; 2 . α P β A B Q n T F d § 1.3. Расстояние между скрещивающимися прямыми 25 Расстояние TF найдем по формуле n AP n a 6 a 6 a 42 d орт.пр AP n 14 2 3 4 2 Ответ a 42 Задача 1.9. В основании правильной призмы 1 1 1 1 ABCDA B C лежит квадрат со стороной a, а боковое ребро призмы равно b. На ребрах AD, 1 DD и 1 BB взяты соответственно точки P, Q и R — середины этик ребер. Найдите расстояние между прямыми AR ирис. Рис. 1.23 ○ 1. Относительно выбранной системы координат (рис. 1.23) находим координаты векторов и точек 1 A a; o; b , b Q o;o; , 2 A a; o; o , b R а a Q a a B 1 b a B A x y Глава I 26 2. Пусть и — параллельные плоскости, в которых лежат соответственно прямые 1 A Q ирис. Найдем нормальный вектор n x; y; z этих плоскостей 1 1 b b x z ax z 0 n QA n QA 0 2a 2 n b; b; 2a . b b n AR n AR 0 ay z 0 y z 2 2a Расстояние между скрещивающимися прямыми 1 A Q и AR есть расстояние между параллельными плоскостями и . Искомое расстояние найдем по формуле (9) (§ 1.1): n n AQ MN d ( , ) орт.пр AQ n 2 2 2 2 2 2 ab ab 2ab a 2 2b 4a 4a 2b 2a Ответ 2 2 a 2 2a Рис. 1.24 § 1.4. Угол между прямыми Задача. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, боковые ребра которой наклонены к плоскости основания под углом , точка К — середина ребра BS. Найти угол между прямыми AK и SC. A 1 Q d M A R α β N n § 1.4. Угол между прямыми 27 ○ Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 1.25. Риса) Пусть , SC m тогда из прямоугольного треугольника SOC: sin , SO m cos OB OA Относительно выбранной системы координат определим координаты точек A, B, S, C: 0; cos ; 0 , A m 0; cos ; 0 , C m 0; 0; sin , S m cos ; 0; 0 . B б) Угол между прямыми AK и SC найдем, если будем знать векторы AK и SC — направляющие векторы этих прямых. Координаты вектора SC вычисляем по координатам точек S, C: 0; cos ; sin SC m m . По теореме о середине отрезка (центроида отрезка) 1 2 AK AS AB Глава I 28 Так как (0; cos ; sin ) AS m m , cos ; cos ; 0 A B m m , то 1 1 cos ; cos ; sin 2 Пусть — величина угла между прямыми AK и SC. Тогда 1 2 2 2 2 cos sin 2 cos cos , 1 2 2 2 cos 4 m m AK SC AK SC AK SC m m m 2 2 1 3cos 1 3cos arccos 2 2 1 4 cos 1 4 cos Ответ 2 1 3cos arccos 2 1 4 Задача. На ребрах ВВ 1 и С куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взяты соответственно точки P и Q такие, что BP: BB 1 = 2 : 3, C 1 D 1 : C 1 Q = 4 : 1. Плоскость, проходящая через точки A, P и Q, пересекает прямые DD 1 и B 1 C 1 соответственно в точках E и F. Найти угол между прямыми EF и A 1 C. ○ При гомотетии величины углов между геометрическими объектами (между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью) не меняются. Поэтому куб можно взять произвольного размера. Так как по условию ребро куба делится точкой P в отношении 2 : 1, точкой Q в отношении 1 : 3, то удобно, например, длину ребра куба взять равную 12 (единицам. а) Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как указано на рисунке 1.26. Относительно выбранной системы координат найдем координаты точек и векторов A 12; 0; 0 , P 0; 0; 8 , Q 3;12;12 , A 12; 0;12 , 1 C 0 ;1 2 ; 0 , A P = -1 2 ; 0 ; 8 , A Q = -9 ; 1 2 ; 1 2 , A C = -1 2 ; 1 2 ; - 1 2 . 1 § 1.4. Угол между прямыми 29 Рис. 1.26 б) Уравнение плоскости APQ определим по ее нормальному вектору n = (x; y; z) и начальной точке. За начальную точку плоскости можно взять любую из точек A, P, Q, анормальный вектор n = (x;y;z) найдем из условий 2 x = z, n AP = 0, -12x + 8z = 0, 3 n = 4; - 3; 6 . -9x +12y +12z = 0 1 n AQ = 0 y = - Уравнение плоскости имеет вид 4 (x - 1 2 ) - 3 (y - 0 ) + 6 (z - 0 ) = 0 4 x - 3 y + 6 z - 4 8 = 0 . (19) в) Вычислим координаты точек E и F. Поскольку точка 1 E DD , , то две ее координаты известны x = 12; y = 12, так как Координату z точки E найдем из условия, что точка E : z = 6. Итак, E(12; 12; 6). Аналогично, F (B 1 C 1 ), а (B 1 C 1 ) (ABB 1 ). Отсюда следует, что x = 0; z = 12. Подставляя координаты точки F в уравнение плоскости (19), получим y = 8. Значит, F(0; 8; 12). Глава I 30 Вектор EF = -12; - 4; 6 и 1 A C — направляющие векторы соответственно прямых EF и A 1 C. Пусть — величина угла между прямыми и A 1 C. Тогда 1 1 EF A C 144 - 48 - 72 3 cos = = = 21 144 +16 + 36 12 3 EF A Отсюда следует, что 3 = Ответ 3 arccos 21 . Задача В основании пирамиды лежит прямоугольник с отношением сторон AB : AD 1 : 3. Высота MO пирамиды равна стороне AD и проектируется в точку O, лежащую на прямой AB такую, что AB : AO 1: 2. На ребрах MB и MC взяты соответственно точки F и E — середины этих ребер. Найдите углы, которые образует прямая OF с прямыми AC ирис. Рис. 1.27 z M F E D C A x y F 1 B 0 3 1 3 |