Попов - весь практикум по геометрии. Практикум по решению стереометрических задач приведены решения 52 задачи задач с ответами даны для самостоятельного решения
 Скачать 15.31 Mb.
|
|
3.48. Даны точки , , , , D C B A не лежащие на одной прямой. Точки и N — середины отрезков AB и CD соответственно, точка O — середина отрезка MN ( M не совпадает с N ). Докажите, что для любой точки S выполняется равенство SO SD SC SB SA 4 3.49. Дан параллелепипед 1 1 1 1 D C B ABCDA . Докажите, что его диагональ проходит через точки пересечения медиан треугольников и 1 и делится этими точками натри равных отрезка Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелепипеда 8 7 6 5 4 3 2 1 A A A A A A A A ; 4 3 2 1 , , , M M M M — центры масс граней 5 6 2 1 A A A A , 7 6 3 2 A A A A , 7 8 4 3 A A A A , 4 3 2 1 A A A A . Докажите, что четырехугольник 4 3 2 параллелограмм Дан тетраэдр ABCD , в основании которого лежит равносторонний. Найдите площадь, где O — точка пересечения медиан ABC 3.52. На ребрах DA CD BC AB , , , тетраэдра ABCD взяты точки , K , , L M N так, что p MC DM KB AK : : , q ND AN LC BL : : . Докажите, что отрезки KM и LN пересекаются водной точке O , причем q OM KO : , p OL NO : Глава III 122 3.53. Дана правильная треугольная пирамида SABC . Длина ребра 4 SA , точка SC D , причем 3 DC ; расстояние от точки A до прямой BD равно 2. Найдите объем пирамиды Дан куб 1 1 1 со стороной, равной 1. Точка M — точка пересечения медиана точка O — точка пересечения диагоналей куба. Найдите длину прямой OM . 3.55. Дан правильный тетраэдр SABC со стороной, равной a , точка F — центроид тетраэдра. Найдите объем пирамиды FABC и длины ребер FB FC FA , , 3.56. Дан куб 1 1 1 со стороной, равной m 1 , M AA , N A B K A D MNK — правильный со стороной, равной m 2 Диагональ куба пересекает MNK в точке S . Найдите длину AS 3.57. Дан правильный додекаэдр, радиус описанной сферы которого равен R . Вычислите сумму квадратов длин всех его ребер и его диагоналей. 3.58. Дана правильная шестиугольная призма 1 1 1 1 1 со стороной основания, равной a , высотой, равной a 2 . S — середина FB , T — середина 1 1 E F , BE N FF M , 1 , 1 , M N FF MN ST , 1 , , FF c FB b FE a . Выразите через c b a , , 3.59. Дана четырехугольная пирамида SABCD , координаты вершин которой ) 2 , 1 , 3 ( ), 2 , 2 , 0 ( ), 2 , 0 , 0 ( ), 0 , 2 , 0 ( ), 0 , 2 , 2 ( S D C B A . Найдите центр тяжести этой пирамиды. 3.60. Дан правильный тетраэдр ABCD . Точка E лежит на продолжении ребра AD 1 O — центроид тетраэдра EBCD . Найдите, в каком отношении вершина D делит отрезок AE , если D O H O 1 1 , где H — центр ABD 3.61. Дана треугольная призма 1 1 1 C B ABCA Q — точка пересечения медиан 1 1 1 C B A , P — точка пересечения диагоналей 1 1 B BCC 1 1 1 , , AA c AB b AC a . Выразите через c b a , , 3.62. В плоскости лежат точки C B A , , , которые составляют равносторонний треугольник со стороной 5 см. Рассматривается точка S вне плоскости , такая, что 12 , 7 , 5 SC SB SA . Найдите расстояние от точки S до центра тяжести ABC Упражнения 123 3.63. Даны две произвольные пирамиды в пространстве ABCD и 1 1 1 1 D C B A . Точки F и 1 F — центроиды этих пирамид. Докажите, что ) ( 4 1 1 1 1 1 1 DD CC BB AA FF 3.64. Основанием пирамиды SABCD является равнобедренная трапеция. Точки M иле- жат на сторонах AB и CD соответственно таким образом, что 3 : 1 : MB AM , 3 : 1 : ND CN . Найдите площадь SMN 3.65. Дана правильная пирамида OABC , ребра которой равны Точка OB D и делит ее пополам, CD M так, что 5 : 1 : MC DM , а точка AO N так, что 5 : 1 : NO AN . Найдите длину NM . 3.66. Основанием пирамиды SABCD является квадрат со стороной a . Точка AD K так, что 2 : 3 : KD AK . Точка SB M так, что 2 : 3 : MB SM . Найдите KM , если высота пирамиды равна a 3.67. Основанием правильной пирамиды SABCDEF служит шестиугольник со стороной 3 a , боковое ребро пирамиды равно 5. Точка K делит сторону AB в отношении 3 : 1 , а точка N в таком же отношении делит апофему SED . Найдите KN . 3.68. Все ребра правильной шестиугольной призмы 1 1 1 1 1 имеют длину a ; точка 1 BC K так, что 1 : BK KC 3 : 2 , точка 1 CD M так, что 2 : 3 : 1 MD CM . Определите длину KM 3.69. Все ребра правильной пирамиды SABC имеют длину a . Точка M лежит на пересечении медиана точка N лежит на пересечении медиан 1 1 1 C B A , полученного в результате пересечения пирамиды с плоскостью, параллельной основанию ABC и делящего боковые ребра пирамиды в следующем отношении 1 1 1 1 : : SA A A SB B B 1 1 : 1 : 3 SC C C . Найдите длину отрезка NM . 3.70. Дан правильный тетраэдр MABC , ребра которого равны m ; точка N делит ребро AM в отношении 1 : 2 : NM AN . Найдите длину отрезка HN , где H — основание высоты тетраэдра, проведенной к плоскости ABC. 3.71. Дан куб 1 1 1 1 D C B ABCDA , длина ребра которого равна 1 . На ребрах и взяты точки и соответственно, причем 1 : BK B K 1: 3 , 1 PD DP . Плоскость, проведенная через точки P K A , , , пересекает диагонали ив точках и соответственно. Найдите длину отрезка MT Глава III 124 3.72. Сторона правильной четырехугольной призмы 1 1 1 имеет длину 2a, а боковое ребро равно a . Отрезки и параллельны плоскости B B AA 1 1 , 1 AD M , 1 : 2 : 1 MD AM , 1 DB N . Найдите длину отрезка MN . Найдите длину наибольшего отрезка, параллельного плоскости B B AA 1 1 3.73. Дана прямоугольная призма 1 1 1 1 D C B ABCDA , в основании которой лежит равнобедренная трапеция ABCD . Точка M делит ребро AB в отношении 3 : 2 : MB AM , точка N делит CD в отношении 2 : 3 : ND CN . Найдите площадь сечения, проходящего через MN параллельно высоте пирамиды, если h AA b AD a BC 1 , , 3.74. Сторона основания правильной пирамиды MABC равна a . Отношение высоты пирамиды к медиане ее основания равно 3 : 2 . На ребрах MB и AC взяты точки P и Q соответственно таким образом, что 3 : 1 : PB MP , 3 : 1 : QC AQ . Найдите расстояние от точки P до Q 3.75. Дан тетраэдр SABC . На ребре взята точка так, что 3 : 2 : MB AM , точка N делит SC в том же отношении. На SA выбрана точка K так, что MN CK . Найдите отношение KS AK : , если a AB . 3.76. Плоскость пересекает боковые ребра DC DB DA , , треугольной пирамиды DABC соответственно в точках M L K , , . Пусть KB AL P , LC BM Q , AM CK R . Докажите, что ( ) ABC ( ) ( ) PQR ABC 3.77. Дана пирамида SABC . Точки и Q — середины ребер CB и соответственно, а точка O— точка пересечения медиан Точка лежит на отрезке M S так, что 2 : 1 : M M SM , а точка N лежит на ребре SA так, что 1 : 3 : NA SN . Найдите, в каком отношении прямая, проходящая через точку и точку пересечения SO и MN , делит отрезок SQ 3.78. Ребра четырехугольной пирамиды SABC равны a . В ее основании лежит равнобедренная трапеция. Точки Q P N M , , , принадлежат плоскости, которая отсекает от ребер пирамиды отрезки SB SN 3 2 , SC SP 3 1 , SD SQ 5 1 . Найдите, в каком отношении точка делит грань SA . 3.79. На ребрах треугольной пирамиды ABCD взяты точки так, что DA DM 3 1 , DB DN 4 1 , DC DK 5 3 . Точка G — Упражнения точка пересечения медиан ABC . В каком отношении плоскость MNK делит отрезок DG ? 3.80. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD . Плоскость отсекает от боковых ребер SC SB SA , , отрезки 1 , 4 SE SA 3 3 , 5 4 SF SB SG SC . В каком отношении, начиная от вершины, точка SD H делит ребро SD ? Ответы Ответы Глава I 1.1. 1 : 2 . 1.2. 2 : 3. 1.3. 17 :19 . 1.4. : : 2 : 1 1 1 AM MB BN или : 5 : 1 1 AM MB , : 2 : 1 1 BN NC . 1.5. 2 :1 , считая от точки М 1.6. 1 : 5 1.7. 3 : 4 . 1.8. 3 а 1.9. 3 : 7 . 1.10. 2 : 3 . 1.11. 2 : 5 . 1.12. 3 arccos 13 1.13. 10 а 1.14. 11 2 1 cos 3 2 a . 1.15. 3 10 a 1.16. 74 12 . 1.17. 2 5 a 1.18. 2 3 2 3 6 p pq q p q . 1.19. 2 3 9 h 1.20. 1 arccos 3 . 1.21. 2 3 . 1.22. 14 arccos 6 1.23. 3 а 1.24. 9 :17 . 1.25. 1 2 2 3 3 b a . 1.26. 1 arccos 18 . 1.27. 10 arcsin 134 1.28. 11 170 170 . 1.29. 2 7 a . 1.30. 2 : 3 . 1.31. 3 29 arccos 29 . 1.32. 2 2 a 1.33. 5 3 a . 1.34. 6 arcsin 9 . 1.35. 3 . 1.36. 13 3 arccos 54 . 1.37. 1 arcsin 3 1.38. 3 31 arcsin 31 . 1.39. 26 arccos 13 . 1.40. 2 2 arcsin 3 . 1.41. 3 13 13 1.42. 3 5 arccos 10 . 1.43. 5 arccos 20 . 1.44. 22 13 arccos 91 . 1.45. 6 13 13 1.46. 2 5 arcsin 5 . 1.47. 3 3 . 1.48. 2 30 arcsin 15 . 1.49. 5 13 arccos 26 1.50. 7 5 10 . 1.51. 3 . 1.52. 51 arccos 51 . 1.53. 4 17 17 . 1.54. 4 3 3 Ответы 1.55. 3 arccos 9 . 1.56. 15 arccos 30 , 4 . 1.57. 4 65 arccos 65 . 1.58. 10 arccos 10 1.59. 3 . 1.60. 2 2 a . 1.61. 2 21 21 1.62. 90 . 1.63. 2 22 arcsin 11 1.64. 30 1.65. 16 55 101 1.66. 42 arccos 21 1.67. 2 arcsin 6 1.68. 5 41 arccos 41 1.69. 21 7 . 1.70. 19 33 arccos 165 1.71. 3 10 arcsin 10 1.72. 70 arccos 70 1.73. 2. 1.74. 2 22 arccos 11 1.75. 7 arcsin 4 1.76. 105 arccos 35 1.77. 449 61 1.78. 69 arccos 69 1.79. 6 arcsin 3 1.80. 2 29 arccos 29 1.81. 3 4 1.82. 5 33 arccos 33 1.83. 3 arcsin 13 1.84. 2 2 arccos 3 1.85. 1. 1.86. 3 arccos 6 1.87. 4 442 arcsin 221 1.88. 6 arccos 6 1.89. 21 7 1.90. 1 arccos . 4 1.91. 35 arcsin 15 1.92. 3 arccos 6 1.93. 1930 101 1.94. 30 arccos 10 1.95. 2 30 arcsin 15 1.96. 5 41 arccos 41 1.97. 5 21 21 1.98. 5 arccos 10 1.99. 21 arcsin 1021 1.100. 1 arccos Глава II 2.1. 26 13 5 arccos . 2.2. 390 13 a . 2.3. 3 5 a . 2.4. 3 a 2.5. , 65 3 3 2 arcsin 3 2 arcsin . 2.6. 130 130 11 . 2.7. 45 ◦ . 2.8. 91 27 arccos 2.9. 174 16 3 . 2.10. 19 7 29 arccos . 2.11. 60 °. 2.12. 3 . 2.13. 6 23 a Ответы 2.14. 10 1 arccos . 2.15. 3 6 2 . 2.16. v 32 3 4 11 . 2.17. 9 6 2 arccos 2.18. 5 1 arccos . 2.19. 6 2 arccos . 2.21. 12 6 a 3 . 2.22. 4 3 arccos . 2.23. 21 . 2.24 3 6 a . 2.25. 2:1. 2.26. 2. 2.27. 45 °. 2.28. 45 °. 2.29. 3 3 . 2.30. 6 1 2.31. 8 6 a 3 . 2.32. 30 . 2.33. 16 174 3 . 2.34. 3 3 2 . 2.35. 4 3 arccos . 2.36. a 3 2 2.37. 125 18 . 3.38. 8 2 a 5 . 2.39. 18 125 . 2.40. 2 2 a , 45 °. 2.41. a 6 6 . 2.42. 83 86 3 2.43. 5 15 arccos . |