Попов - весь практикум по геометрии. Практикум по решению стереометрических задач приведены решения 52 задачи задач с ответами даны для самостоятельного решения
 Скачать 15.31 Mb.
|
|
§ 2.1. Вычисление длины отрезка 53 Глава МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, РЕШЕНИЕ КОТОРЫХ ОСНОВАНО НА СВОЙСТВАХ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ Метрические задачи — это задачи, связанные с измерением, метрикой и, следовательно, с применением свойств скалярного произведения векторов. При решении метрических задач стереометрии будем применять или только свойства скалярного произведения, или, кроме того, вводить в рассмотрение специальным образом подобранную удобную для решения задачи) прямоугольную декартову систему координат (аффинную систему координат. Векторный аппарат и координатный метод, содержащийся в программе курса аналитической геометрии, являются основным математическим аппаратом для решения многих геометрических задачи прежде всего поэтому, что они не требуют рассмотрения сложных геометрических конфигураций. Эти методы сводят геометрическую задачу к алгебраической, решить которую обычно легче, чем исходную геометрическую. Рассмотрим решение метрических задач с использованием скалярного произведения и его свойств. Приведем план решения задача) Выбираем аффинный (произвольный) базис пространства таким образом, чтобы длины векторов базиса и углы между ними были известны или, по крайне мере, согласно условию задачи, могли быть найдены. б) Составляем таблицу скалярных произведений векторов базиса таблицу умножения) и находим разложения по выбранному базису тех векторов, с помощью которых удается найти искомые расстояния и углы. в) Учитывая таблицу умножения, вычисляем длины рассматриваемых векторов, их скалярные произведения, углы между ними и затем находим искомые расстояния и углы. Рассмотрим теперь на примерах основные типы задач на вычисление расстояний и углов. § 2.1. Вычисление длины отрезка Задача Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 : BA = a, BC = b, BB 1 = c, ABC = , ABB 1 = , CBB 1 = . Найти длины диагоналей параллелепипеда BD 1 и AC 1 . Глава II 54 Риса) Выберем аффинный базис BA a , c BB 1 , Таблица скалярных произведений векторов базиса имеет следующий вид a b c a 2 a cos ab cos ac b cos ab 2 b cos cb c cos ac cos cb с 2 б) По правилу многоугольника сложения векторов находим c b a BD 1 , c b в) Вычислим длины диагоналей параллелепипеда, учитывая таблицу умножения (1). 2 2 2 2 1 1 2 2 2 BD BD (a b c ) a b c 2ab 2ac 2bc a b c 2ab cos 2ac cos 2bc cos ; 2 2 2 2 1 1 2 2 2 AC AC ( a b c ) a b c 2ab 2ac 2bc a b c 2ab cos 2ac cos 2bc cos Ответ 2 2 2 1 BD a b c 2abcos 2ac cos 2bc cos , 2 2 2 1 AC a b c 2abcos 2ac cos 2bc cos . ● C С А D 1 D B 1 γ α γ c a b (1) § 2.2. Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми 55 § 2.2. Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми Задачи этого типа решаются последующей схеме Задача Дано l 1 l 2 ; прямая l 1 задана начальной точкой и направляющим вектором 1 p ; прямая l 2 задана начальной точкой M 2 и направляющим вектором 2 p ; 1 2 M M m . Найти расстояние и угол между прямыми l 1 ирис Косинус угла между прямыми находится по формуле 2 1 2 p p cos Рис. 2.2 Пусть KL — общий перпендикуляр прямых и. Представим KL в виде 2 1 1 1 1 2 KL KM M M ML xp m Неизвестные коэффициенты x, y находятся из условий перпендикулярности вектора KL векторами Глава II 56 Искомое расстояние — длина вектора KL : 2 1 2 KL KL (xp m yp Ответ 1 2 xp m Задача В плоскости ω задан равносторонний ∆ABC со стороной m. На перпендикуляре к плоскости ω в точке А откладывается отрезок AS = m. Найти угол между прямыми АВ и SC, расстояние между прямыми АВ ириса) Выберем аффинный базис a AS, b AB, c AC (рис. 2.3). По условию AS ABC , поэтому a b и Рис. Треугольник ABC — равносторонний и, значит, , 60 c b . Составим таблицу скалярных произведений векторов базиса { a,b,c }: a b c a 2 m 0 0 b 0 2 m 2 1 m 2 c 0 2 1 m 2 2 m бите. векторы AB и SC — направляющие векторы соответствующих прямых. Пусть φ — величина угла между прямыми AB и SC . Угол φ найдем из формулы А С В К L S ω 90 m a b m c (2) § 2.2. Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми 57 AB SC b (c a) cos b c a AB SC (3) Используя таблицу (2), последовательно находим 2 2 2 2 2 b m, c a (c a ) c a m 2, 1 b (c a) bc ba bc m . 2 (4) С учетом (4) из формулы (3) имеем 2 1 m 1 2 2 cos arccos 4 m m 2 2 2 2) Расстояние между скрещивающимися прямыми AB и SC равно длине общего перпендикуляра KL к этим прямым. Из коллинеарности соответствующих векторов AK|| AB, SL || SC следует, что A K x A B , SL y S Поэтому K L K A A S S L xb a y( a c ) (1 y )a xb yc . (5) Учитывая (5), таблицу (2), получаем (1 y)a xb yc b 0, (KL) (AB) KL AB 0, (KL) (SC) KL SC 0 (1 y)a xb yc (c a) 0 2 2 2 2 1 2 xm y m 0, x , y 2x, 2 7 1 2 4y x 4 (1 y)m x m ym 0 y 2 Следовательно, 3 2 4 1 KL a b c (3a 2b 4c ) 7 7 7 7 и 2 2 2 2 2 1 1 m 21 KL KL (3a 2b 4c) 9m 4m 16m 8m 7 7 7 Глава II 58 Ответ 1) 2 arccos 4 ; 2) m 21 KL 7 . ● § 2.3. Расстояние от точки до прямой Задача Дано точка M, прямая l с направляющим вектором p , точка A p , AM m . Найти расстояние от точки M до прямой l рис. 2.4). ○ Приведем схему решения этой задачи, полагая, что векторы p ив условии задачи заданы в том смысле, что известны их разложения в некотором базисе с заданной таблицей умножения. Пусть N — ортогональная проекция точки M напрямую (рис. 2.4). AN ∥ p , A Рис. 2.4 Значит, M N A N A M xp m . Неизвестный коэффициент x находится из условия перпендикулярности векторов MN и p : M N p M N p 0 ( xp m ) p 0 Ответ Искомое расстояние 2 MN (xp Задача. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина SA = 4) точка D лежит на ребре SC, CD = 3, а расстояние от точки А до прямой BD равно 2. Найти объем пирамиды рис. 2.5). A N M m p § 2.3. Расстояние от точки до прямой 59 а) Выберем базис из векторов SA a , SB b , SD c (рис. 2.5). Составим таблицу умножения для векторов базиса { c , b , a }, обозначив через φ плоский угол при вершине пирамиды (угол φ пока неизвестен Рис. 2.5 б) По условию расстояние от точки А до прямой BD равно 2. Вычислив это расстояние с помощью таблицы (6), получим уравнение, позволяющее найти Пусть N — проекция точки А напрямую (рис. 2.5). Выразим через базис { a,b,c }: A N D N D A xD B D A x(b c ) (a c ) a xb (1 x )c C S A O φ c D 3 4 b 2 N a B (6) Глава II 60 Так как AN DB , то AN Теперь используя таблицу (6), вычислим последовательно AN DB 0 ( a xb (1 x)c) (b c) 0 (17x 1) 8(x 1)cos 0. (7) 2 2 2 2 AN ( a xb (1 x)c ) 17x 2x 17 8(x 1) С другой стороны, 2 AN 4 , откуда следует 2 2 17x 2x 13 8(x 1) cos 0 (8) Из равенств (7) и (8) получаем 7 x 9 и Таким образом, таблица (6) полностью определена. в) Вычислим объем пирамиды. Пусть точка О — центроид треугольника ABC (точка пересечения медиан ABC). Тогда 1 1 SO (SA SB SC) (a b 4c) 3 3 и 2 1 1 1 SO SO (a b 4c) 48 96 cos 58 3 3 2 SO — высота пирамиды, так как в правильной пирамиде вершина S проектируется в точку пересечения О медиан треугольника ABC. Вычислим теперь 2 2 AB AB : 2 2 2 9 AB AB b a 2 , и площадь основания (площадь правильного треугольника ABC): 2 ABC AB 3 9 3 S 4 Искомый объем осн 1 9 3 1 3 174 V S SO 58 3 3 8 2 16 .● Ответ: пир 3 174 V 16 § 2.4. Расстояние от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью 61 § 2.4. Расстояние от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью Схема решения этого типа задач такова. Дано плоскость ω с базисом { b , a }; точка А, принадлежащая плоскости ω; точка Мне лежащая в плоскости ω. Найти расстояние от точки М до плоскости и угол между прямой АМ и плоскостью рис. Пусть N — ортогональная проекция точки М на плоскость ω. рис. 2.6). Рис. 2.6 Разложим вектор MN по векторам a,b,m : M N A N A M xa yb Неизвестные коэффициенты х, у находятся из условия перпендикулярности вектора MN к векторами Зная хи у, находим расстояние от точки М до плоскости ω: 2 MN MN (xa yb Если xa yb o , то угол между прямой AM и плоскостью ω равен углу между векторами m и xa yb A N , а если xa yb o , то прямая AM А В N M ω a m b Глава II 62 Задача. Дана треугольная призма 1 1 1 ABCABC . Все плоские углы при вершине А призмы равны по 60°, 1 1 AA , 1 AB , 2 AC . Найти расстояние от точки А до плоскости 1 ( ) BCC . Определить угол между прямой АВ и плоскостью Пусть точка N — ортогональная проекция точки А на плоскость ω. AN — искомое расстояние (рис. 2.7). Риса) Выберем аффинный базис пространства 1 a AA , b AB , c AC и составим таблицу скалярных произведений векторов базиса a b c a 1 2 1 1 b 2 1 1 1 c 1 1 4 1 N 60 ω a b c b C A 1 B A a i 2 60 1 C 1 В (9) § 2.4. Расстояние от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью 63 б) Найдем базис плоскости ) BCC ( 1 , векторы которого выражаются через базис { a,b,c }, пространства. Четырехугольник АА 1 В 1 В — параллелограмм, поэтому 1 1 BB AA a . Векторы 1 BB a , BC c b образуют базис плоскости , поскольку они параллельны плоскости и a ∦( c b ). Пусть B N x(c b ) y a , тогда A N A B B N b x(c b ) y a (10) в) Используя разложение (10) и таблицу умножения (9), находим AN a 0, AN a 0, AN AN AN (c b) 0 AN (c b) 0 1 1 1 x y 0, x , (b x(c b) ya) a 0, 2 2 11 1 6 (b x(c b) ya) (c b) 0 3x y 0 y 2 11 (Таким образом, 6 10 1 AN a b c 11 11 11 и 2 1 2 22 AN AN ( 6a 10b c) 11 Пусть φ — величина угла между прямой АВ и плоскостью ω. Из прямоугольного ANB получим AN 2 22 2 22 sin arcsin AB 11 11 Замечание. Разумеется, можно было воспользоваться разложением 6 1 1 BN a b c 11 11 ив силу таблицы умножения (9) найти 2 1 33 BN BN ( 6a b c) 11 Тогда из прямоугольного AB C находим BN 33 33 cos arccos AB 11 11 Глава II 64 Ответили. Угол между плоскостями Определение. Вектор 0 n называется нормальным вектором плоскости ω, если любая прямая l n || перпендикулярна плоскости ω. Как известно, плоскость ω вполне определяется по точке 0 0 0 0 M (x , y , z ) и нормальному вектору n (A,B,C) : 0 0 0 : A ( x x ) B(y y ) C(z z ) 0 (12) Предварительно решим основную (базовую) задачу. Задача Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки M(1;2;3) , N(2;1;4) и P(0; а) Рассмотрим векторы M N (1; 1;1) и M P ( 1; 3; 2 ) MN ∦ MP , те. точки M, N, P не лежат на одной прямой (неколлинеарные. Из аксиом принадлежности следует, что через три неколлинеарные точки можно провести одну и только одну плоскость б) Пусть вектор n (a;b;c) — искомый нормальный вектор плоскости. Тогда имеем 3 b c, n MN n MN 0, a b c 0, 4 a 3b 2c 0 1 n MP n MP 0 a c. 4 (13) Из системы (13) следует, например, что n ( 1; 3; 4) — нормальный вектор плоскости . Комментарий. Система (13) двух уравнений стремя неизвестными имеет бесконечное множество решений 1 3 ( c; c;c) | c R 4 4 — однопараметрическое семейство решений. Это соответствует тому геометрическому факту, что нормальных векторов плоскости тоже бесконечное множество (однопараметрическое семейство, так как они определены с точностью до скалярного множителя § 2.5. Угол между плоскостями 65 коллинеарны между собой. Выберем из этого множества любое ненулевое решение Например, при 4 c имеем n ( 1; 3; 4 ) . в) Найдем уравнение плоскости по ее нормальному вектору n ( 1;3; 4 ) и любой из заданных точек (M;N;P) . Например, возьмем точку N(2;1;4) . По формуле (12) получаем 1( x 2 ) 3( y 1) 4( z 4 ) 0 x 3 y 4 z 1 7 0 . Ответ x 3 y 4 z 1 7 0 . Замечание Рассмотренный пример показывает (задача 14), как найти нормальный вектор n плоскости , зная а) либо три неколлинеарные точки плоскости ; б) либо базис плоскости , те. два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости : a ∥ ; b ∥ . Приведем схему решения задачи по определению величины угла между двумя пересекающимися плоскостями. Задача и — две пересекающиеся плоскости. Найти величину угла , . а) Прежде всего находим нормальные векторы m и n соответственно плоскостей и б) Величину угла ( , ) , где 0 2 , находим, используя формулу | m n | cos | m | | n Откуда следует, что | m n | arccos | m | | n | (14) Ответ | n | | m | | n m | arccos . Задача В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный ABC со стороной, равной 2. Ребро SA перпендикулярно плоскости оснований и SA = 1. Точки P и Q соответственно середины ребер SB, CB. Плоскость параллельна прямыми. Плоскость параллельна прямыми. Определить величину угла между плоскостями ирис Глава II 66 Риса) Выберем базис векторов пространства a AC , b AB , c рис. 2.8) и составим таблицу скалярных произведений векторов базиса { a,b,c }: a b c a 4 2 0 b 2 4 0 c 0 б) Пусть m — нормальный вектор плоскости . Разложим вектор m по базису { a,b,c }: m xa yb zc (16) По условию ∥ (SC) ; ∥ AB и, значит, SC ∥, AB ∥, В силу этого неизвестные коэффициенты x, y, z в разложении (16) найдем из условий m SC 0, (xa yb zc) (a c) 0, (xa yb zc) b 0. m AB 0 (17) A S 1 В (15) |