Попов - весь практикум по геометрии. Практикум по решению стереометрических задач приведены решения 52 задачи задач с ответами даны для самостоятельного решения
 Скачать 15.31 Mb.
|
|
§ 3.4. Четвертое основное векторное соотношение 115 Задача. Дан куб 1 1 1 1 D C B ABCDA со стороной ; m 1 , M AA , N AB AD K . MNK — правильный со стороной, равной m 2 2 . Диагональ куба 1 AC пересекает MNK в точке S . Найти AS (рис. 3.30). Рис. 3.30 Введем ортогональную систему координат z y x A , , , , как показано на рисунке. : MAK MAN NAK M A A K A Рассмотрим MAK , пусть x AN AK . По теореме Пифагора 2 2 2 2 1 2 x x MK m 2 2 1 4 2 m x m x Итак, m AN AK AM 2 1 ) ( 1 MNK AC ( AS — высота пирамиды Так как — правильный, то S — центроид По четвертому основному векторному соотношению 1 ( ). 3 AS AM AN AK 1 {0;0; }, 2 AM m 1 {0; ;0}, 2 AN m 1 { ;0;0}. 2 AK m Глава III 116 Тогда 1 1 1 { ; ; }, 6 6 6 AS m m m 2 2 1 1 1 1 3 3 36 12 2 6 Ответ 6 Упражнения 3.1. На медиане BD равнобедренного треугольника ABC лежит точка K такая, что BK KD 2 . Прямая AK пересекает сторону в точке M . Найдите отношение BM CM : 3.2. ABCD — правильный тетраэдр с ребром 1, точка M — середина ребра AB , точка K лежит на ребре BC, причем Найдите расстояние от точки K до середины отрезка DM 3.3. Через правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания проведена секущая плоскость, которая делит двугранный угол при основании пирамиды пополам. Найдите длину отрезка KR , если KS и SL — апофемы противоположных боковых граней пирамиды и точка R лежит на SL . 3.4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD двугранный угол при основании равен 60 . Точки M и N — середины боковых граней и SC . Найдите угол между прямыми AM и BN. 3.5. Точка N лежит на стороне треугольника ABC, точка M — на луче CA . При этом AC AM и 4 3 NC BN . В каком отношении прямая делит сторону AB ? 3.6. В тетраэдре ABCD двугранные углы при ребрах AB , AC и прямые. Точки E , F , M и K — середины ребер AD , BC, AC и BD соответственно. Найдите длину наибольшего ребра в тетраэдре, если a MK , 6 a EF 3.7. Длина ребра куба 1 1 1 1 D C B ABCDA равна a . Найдите длину отрезка прямой, по которой пересекается плоскость, проходящая через вершины B , D , 1 B , 1 D , и плоскость сечения, проходящего через центр куба и середины ребер AB , BC и 1 CC Упражнения 117 3.8. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник, длина стороны которого равна 2 4 . Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2 . Рассматриваются отрезки скрещивающихся прямых, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая — через точку C и середину ребра. Вычислите длину отрезка PQ , если 2 : 3 : PE PS и 2 : 3 : QD CQ 3.9. Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна a . Точки и Q — середины сторон основания DC и соответственно. Найдите длину отрезка, один конец которого лежит на OK , а другой на ребре DS и при этом делит его в отношении 3 : 2 : SD SM . Угол наклона бокового ребра к основанию равен 3.10. Ребро куба 1 1 1 1 D C B ABCDA имеет длину a . На диагоналях и B A 1 лежат соответственно точки M итак, что 1 1 : D M D A 1 : 1: 3 KB A B . Найдите расстояние от вершины C до прямой MK 3.11. Длина ребра куба С равна a . Точки M , N и K — середины ребер 1 1 C B , BC и AD соответственно. Точка E — центр грани C C DD 1 1 . Отрезок PQ с концами на прямых и MN пересекает прямую EK и перпендикулярен к ней. Найдите дину этого отрезка Дана треугольная пирамида SABC. Точка M — середина ребра AB , а точка N принадлежит ребру MSC , причем прямая MN перпендикулярна ребру SC . Определите отношение SC SN : 3.13. Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна a . Точка F — середина ребра SA, а точка E лежит на SC , причем SC SE 3 2 . Отрезок MN с концами на прямых AB и CK пересекает прямую FE и перпендикулярен к ней. Найдите его длину. В тетраэдре с вершиной в точке D проведен отрезок, один конец которого лежит в точке пересечения медианы и стороны основания, к которой она проведена, а другой конец лежит на медиане тетраэдра и делит ее в отношении q p MO DM : : . Найдите длину KM 3.15. Через концы трех ребер параллелепипеда, выходящих из одной вершины, проведена плоскость. Площадь диагонального сечения, проходящего через эту вершину, равна S . Найдите площадь треугольника, ограниченного боковым ребром параллелепипеда, его диагональю, исходящей изданной вершины, и линией пересечения диагонального сечения с проведенной плоскостью. Глава III 118 3.16. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD имеет длину, плоский угол при вершине равен 60 . Точка E — середина ребра SC , точка F делит ребро SA в отношении : SF SA 1: 3 . Найдите длину отрезка MN , перпендикулярного прямой FE , если точка M лежит на ребре SB , а точка N принадлежит высоте пирамиды SO . 3.17. Точки 1 A , 1 B , 1 D , 1 C , 1 E , 1 F , 1 K и 1 L — середины сторон правильного восьмиугольника ABCDEFKL . Докажите, что центры тяжести квадратов 1 1 1 и 1 1 1 совпадают. 3.18. В прямоугольнике ABCK сторона AB имеет длину a . Точка D лежит вне плоскости прямоугольника так, что AD образует равные углы со сторонами AK и AB . Центр сферы радиуса a 4 , проходящей через точки A , B , C и D , совпадает с центроидом этих точек. Найдите площадь прямоугольника. 3.19. Высота тетраэдра SABC имеет длину h. CF — медиана ABC , SF — медиана ABS . Найдите длину отрезка 2 1 M M , если и 2 M — точки пересечения медиан в ABC и ABS 3.20. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершины любого вписанного восьмиугольника, противоположные вершины которого симметричны относительно центра окружности, есть величина постоянная, независящая от положения точки окружности. 3.21. На ребрах DA , DB и DC треугольной пирамиды ABCD взяты точки M , N , K таким образом, что DA DM 3 1 , DB DN 4 1 , DC DK 5 3 . Точка G — точка пересечения медиан треугольника ABC. В каком отношении плоскость MNK делит отрезок DG ? 3.22. На ребрах AB и CD правильного тетраэдра ABCD взяты соответственно точки M и P таким образом, что : : AM MB DP PC 1:3. Найдите расстояние между точками M и P 3.23. Основанием пирамиды ABFD служит ромб со стороной a , острый угол основания равен 60 . Боковые грани — равнобедренные треугольники с углом при основании 30 . Точка M лежит на отрезке AF , причем : 2 : 3 MF MA ; N — на отрезке KL , причем Точка L — точка пересечения диагоналей основания, а точка K принадлежит отрезку BF , причем BF KF 3 1 . Найдите длину отрезка MN . 3.24. В параллелепипеде 1 1 1 1 D C B ABCDA все его грани — равные ромбы со стороной a и углом 60 . Рассматривается отрезок с концами на диагоналях Си С, параллельный плоскости 1 1 A ABB . Отрезок Упражнения 119 проведен через точку M так, что 4 : 1 : 1 BC BM . Найдите его длину и площадь сечения 1 1 N NMM 3.25. Дан параллелепипед 1 1 1 1 D C B ABCDA . Плоскость пересекает диагональ 1 AC в точке M . Докажите, что 3 : 1 : 1 AC AM 3.26. Около равностороннего треугольника, сторона которого равна a , описана окружность. Докажите, что сумма квадратов расстояний любой точки окружности до вершины треугольника равна 2 2a 3.27. В основании пирамиды OABCD лежит квадрат со стороной Все боковые ребра равны b. Найдите расстояние от центроида основания пирамиды до центроида ее боковой грани. 3.28. На ребрах SA , SB и SC тетраэдра SABC взяты точки D , E , Плоскости, BCD, CAF пересекаются в точке M . Прямая SM пересекает плоскости ABC ив точках P и N . Докажите, что MS PM NS PN 3 3.29. Все плоские углы при вершине M правильной пирамиды MABC прямые. На ребрах ВС и С взяты соответственно точки L и N , такие, что 4 : 1 : : CM CN BC BL и через точки А, N проведена секущая плоскость. Считая боковое ребро пирамиды равным b, найдите расстояние от центроида треугольника O до точки M 3.30. Дана правильная четырехугольная пирамида PABCD. На ребрах и PC взяты точки K и M соответственно, причем 3 : 1 : KP AK , PM CM . Найдите отношение, в котором делится ребро PB плоскостью, проведенной через точки D , K и M 3.31. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна a . Точка E — середина ребра CD, точка F — середина высоты BL грани ABD . Отрезок с концами на прямых AD и BC пересекает прямую EF и перпендикулярен ей. Найдите длину этого отрезка. 3.32. Дан прямоугольный параллелепипед 1 1 1 1 D C B ABCDA 4 1 AA AB , 2 AD 1 1 B A F и делит ее в отношении 1 : 3 , считая от точки 1 B ; BC P и делит ее пополам 1 1 C D M , 1 BB N , Найдите MN . 3.33. В кубе 1 1 1 длина ребра равна a . Точки K и L — середины 1 1 D A и DC соответственно. Отрезок MN с концами на прямых и AD пересекает прямую KL и перпендикулярен к ней. Найдите длину MN . 3.34. Дан куб 1 1 1 со стороной 4 см. Точки M и N лежат на сторонах 1 1 C B и D D 1 соответственно. Точки K и L — середины Глава III 120 сторон D A 1 и DC соответственно. Прямые MN и KL пересекаются под прямым углом. Найдите отношения, в которых точки M и N делят стороны 1 1 C B и D D 1 ; найдите отрезок MN . 3.35. На ребрах DA , DB и DC треугольной пирамиды ABCD взяты точки M , N итак, что DA DM 3 1 , DB DN 4 1 , DC DK 5 3 . G — точка пересечения медиан треугольника ABC. В каком отношении плоскость MNK делит отрезок DG ? 3.36. В правильной треугольной призме 1 длина стороны основания равна m , а длина бокового ребра m 3 . Точка 1 BB N такова, что 5 : 2 : 1 NB N B , а точка M — это точка пересечения диагоналей грани C C AA 1 1 . Отрезок FE с концами на прямых 1 1 B A и CB пересекает прямую MN и перпендикулярен ей. Найдите длину этого отрезка. 3.37. Дана правильная шестиугольная призма с высотой a OO 2 и объемом 3 72 a . Точки F и D — середины соответственно сторон BO и 1 1 A O . Отрезок MN с концами на прямых AB и 1 OO пересекает DF и перпендикулярен к ней. Найдите длины отрезков DF и MN . 3.38. В треугольной пирамиде SABC SK и SL — медианы граней SAB и SAC соответственно. Точки M и D принадлежат этим медианам так, что MK SM , 2 : 1 DL SD . В каком отношении плоскость AMD делит объем пирамиды 3.39. В основании пирамиды OABCD лежит квадрат со стороной Все боковые ребра равны b. Найдите расстояние от центроида основания пирамиды до центроида ее боковой грани. 3.40. Дана сфера, в ее плоскости большого круга расположен квадрат, сторона которого равна a . Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки сферы до вершины квадрата равна 2 4a 3.41. Медианы граней SAB и SAC тетраэдра SABC пересекаются соответственно в точках M и N . Докажите, что BC MN и найдите отношение Дан прямой параллелепипеду которого AC M , AC AM 3 1 . Точка N — точка пересечения диагоналей прямоугольника аффинный базис. Выразите через этот базис. Упражнения 121 3.43. Дан куб. Найдите расстояние от центроида нижней грани до центроида боковой грани, если сторона куба равна a 3.44. В правильной треугольной призме 1 длина стороны основания равна, длина бокового ребра — 2p . На ребре взята точка так, что 1 5 3 AA AF ; точка O — центр противоположной ребру грани C C BB 1 1 . Найдите длину отрезка FO. 3.45. Дан прямоугольный параллелепипед 1 1 1 со сторонами, равными , , . a b c Найдите расстояние от вершины до центро- ида сечения, проходящего через вершины C , 1 B и 1 D 3.46. В правильной треугольной пирамиде SABC , длина бокового ребра SA которой равна 4 , точка D лежит на ребре SC , 3 CD , а расстояние от точки A до прямой BD равно 2 . Найдите объем пирамиды Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке Докажите, что для произвольной точки пространства O справедливо неравенство ) ( 4 1 OD OC OB OA OM |