Попов - весь практикум по геометрии. Практикум по решению стереометрических задач приведены решения 52 задачи задач с ответами даны для самостоятельного решения
 Скачать 15.31 Mb.
|
|
§ 3.2. Второе основное векторное соотношение 89 Рис. Введем аффинный базис 1 2 3 e ,e ,e — тройку некомпланарных единичных векторов (см. рис. 3.10), где 1 3 2 3 1 2 e e , e e , e ,e 60 . Разложим последовательно векторы 1 1 BC , B D, NM по базису 1 2 3 e ,e ,e : 1 2 3 1 1 2 3 (BC me me , B D me me me ) 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 1 NM me me me me me me me me . 5 5 5 Следовательно, 2 2 2 2 1 2 3 3 1 NM NM NM me me me 5 5 2 2 2 2 2 2 9 1 3 1 m m m 2 m 2m NM 2m m 2. 25 25 5 2 Ответ m Задача. Сторона основания ABCD правильной призмы 1 1 1 1 D C B ABCDA имеет длину а , боковое ребро — длину а. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали 1 AD грани и диагонали D B 1 призмы, параллельные плоскости B B AA 1 1 . Один из этих отрезков проведен через точку M диагонали 1 AD такую, что 3 : 2 : 1 AD AM B C 1 N M B 1 D 3 2 3 2 A D B B 1 M A 1 N D 1 C C 1 60° 3 m 3 1 2 3 2 2 Глава III 90 1. Найти длину этого отрезка. 2. Найти наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков рис. 3.11). Рис. 3.11 1. Рассмотрим плоскость, проходящую через точку M параллельно плоскостям граней 1 1 A ABB , 1 1 D DCC . Первая плоскость пересекает отрезок в точке и делит отрезки и D B 1 , соединяющие вторую и третью плоскости в одинаковом соотношении. Значит, 1 1 : : 2 :1. B N ND AM По второму основному векторному соотношению имеем 1 1 2 1 3 3 M N D Введем прямоугольный базис ) , , ( k j i . Разложим 1 D D и по базису Таким образом, получаем 2 1 2 1 ( ) (2 ) 3 3 3 3 M N a k a j a k a j a Найдем длину MN : 2 2 4 5 9 9 3 a a MN MN a § 3.2. Второе основное векторное соотношение 91 2. Пусть p MA DM : 1 , тогда 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ( 1) 1 1 1 p a ap MN D D AB k j p p p p ap ap a p k j k p p p 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 ( 1) (5 2 1) ( 1) ( 1) ( 1) a p a p a p p MN p p p (4) Очевидно, MN будет иметь наименьшее значение притом значении, при котором его достигает функция 2 2 5 2 1 ( 1) p p y p , это будет при 1 Найденное значение подставим в выражение (4), получим 2 Ответ 5 2 1. ; 2. 3 Задача. Длина ребра куба 1 1 1 1 D C B ABCDA равна 4 a . Концы отрезка MN , параллельного плоскости ) ( 1 1 D D AA , лежат на диагоналях боковых граней Си соответственно. Один из концов отрезка (точка M ) делит диагональ D C 1 в отношении 4 : 1 : 1 1 D C M C . Найти длину отрезка MN (рис. 3.12). Построим искомый отрезок MN : MN || ) ( 1 В силу обобщенной теоремы Фалеса (из построения 1 1 1 1 1 1 3 C M CM BN BN MD DM N По второму основному векторному отношению получаем 1 1 1 3 4 4 MN A D BC (5) Глава III 92 Рис. 3.12 Введем ортонормированный базисе ее, где 1 3 2 Разложим векторы поэтому базису 1 2 3 A D a e a e , 3 1 2 BC a e a Полученные разложения подставим в выражение (5): 2 3 2 3 2 3 1 1 3 3 1 4 4 4 4 2 M N a e a e a e a e a e a e Известно, что 2 2 2 2 2 2 1 5 5 5 4 2 5. 4 4 2 2 Ответ Задача. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . 1 , AB e 2 , AC e 3 ; AD e , P BD , L AC причем : 2 :1; BP PD : 1 : 2. AL LC Найти скалярное произведение векторов LP ирис. Второе основное векторное соотношение 93 Рис. 3.13 По второму основному векторному соотношению 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 1 2 ( ) , 3 3 3 3 3 3 3 L P C B A D e e e e e e 3 2 2 3 C Теперь найдем скалярное произведение данных векторов 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 1 2 1 ( )( ) cos 60 3 3 3 3 1 1 1 2 2 cos 60 cos 60 cos 60 3 3 3 3 3 LP CD e e e e e a a a a a a 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 ( ) (1 ) 6 6 3 6 6 3 2 Ответ 1 2 a CD LP § 3.3. Третье основное векторное соотношение Теорема. Пусть S — произвольная точка пространства такая, что ) ( ABC S . Для произвольной точки M плоскости ) ( ABC выполняется соотношение , SM SA SB SC (1) где 1 • Глава III 94 Возможны следующие случаи. 1. Точка М — внутренняя точка ∆ АВС (рис. 3.14). Рис. 3.14 Пусть точка F делит BC в отношении, , : : n m FB CF а точка M делит AF в отношении Рассматривая ) (SCB , по первому основному векторному соотношению находим m n SF SB SC m n m n (2) Теперь рассмотрим плоскость SAF . Вновь применяя первое векторное соотношение, имеем p q SM SF SA p q p q (3) Подставим (2) в равенство (3): ( )( ) ( )( ) p pm pn SM SA SB SC p q p q m n p q m Отсюда , , ( )( ) ( )( ) q pm pn p q p q m n p q m и, следовательно, 1 ) )( ( ) ( n m q p n pm n m q § 3.3. Третье основное векторное соотношение 95 2. Точка М лежит на одной из сторон АВС. Пусть для определенности АС М (рис. 3.15). Положим n m МС АМ : : , тогда по первому векторному соотношению 0 m n SM SC SA SB m n m и 0 1. m n m n m n 3. Точка M ∆ АВС (рис. 3.16). Пусть , : : n m FC AF а : M F F B : p q . С одной стороны, рассматривая плоскость SAC , по первому основному векторному соотношению имеем m n SF SC SA m n m n (4) С другой стороны, рассматривая плоскость SMB, по формуле (2) находим p q SF SB SM p q p q (5) Из равенств (4), (5) следует ( ) ( ) ( ) ( ) q p m SM SB SC p q p q m n n n p q SA SM SA m n m n q p m p q SB SC q m n Сумма коэффициентов этого равенства ( ) ( ) 1. ( ) ( ) n p q p m p q m n q q m n Задача В правильной призме 1 1 1 С В АВСА длина стороны основания равна а, длина бокового ребра равна а. Точки Рис. Рис. 3.16 Глава III 96 и F — середины ребер 1 1 B A и BC соответственно. Отрезок MN с концами на прямых AC и 1 BB пересекает прямую DF и перпендикулярен к ней. Найти длину этого отрезка. Выберем аффинный базис следующим образом 1 , ВА а ВВ , в ВС с (риса) Пусть l BB BN к СА СМ 1 : , : , тогда к СА MA 1 : По условию 0. MN FD MN FD (6) Выразим векторы MN и FD через базисные векторы : , , c b a 1 1 ( 1) , 1 1 2 2 MN BN BM lb ka k c FD FB BB B D c b a (7) Рис. 3.17 Подставим разложения (7) векторов MN ив равенство (5) и учтем, что 2 В результате получим 8 4 0. l k (8) § 3.3. Третье основное векторное соотношение 97 Прямые FD NM, пересекаются, и, следовательно, точки , F , M , N D лежат водной плоскости. Значит, можно применить третье основное векторное соотношение 1 1 ( ) ( ) 2 2 1 ( ) , 2 2 BM BF BN BD c lb b a a l b c (9) где С другой стороны, по первому основному векторному соотношению a k c (10) Из равенств (9) ив силу однозначности разложения вектора по базису получим 2(1 ), , 2 2 0, , 2 . 1 ; 2 k к k l l k k Из условия 1 2 2 ) 1 ( 2 1 l k k k следует 2 0 l k . (11) c) Решим систему, составленную из уравнений (8) и (11): 2 , 2 0, 3 8 4 0 Тогда из соотношения (7) находим c b a MN 3 1 3 4 3 Отсюда следует 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 16 ( ) 16 3 3 3 9 9 16 4 128 8 2 8 9 9 9 Ответ 2 3 MN a Глава III 98 Задача Секущая плоскость проходит через вершину А основания треугольной пирамиды SABC и делит пополам медиану SL грани SAB , а медиану SK грани SAC пересекает в точке D такой, что SD DK 2 . В каком отношении эта плоскость делит ребра грани SBC . Выберем базис c SC b SB a SA , , (рис. 3.18). Пусть , , SM xb SN yc (12) где M и N — точки пересечения секущей плоскости с ребрами SB и SC соответственно. Найдем x ив равенствах (12). Представим разложение вектора SM по базису , , a b c , используя третье основное векторное соотношение. Действительно, имеем , 1. SM SA SF SD (13) Рис. 3.18 Подставим разложения векторов , SF SD в (13) и, учитывая 1 , получим окончательно 1 1 ( ) (1 )( ) 4 6 5 1 1 1 ( ) 6 4 6 4 6 SM a a b a c a b c (14) § 3.3. Третье основное векторное соотношение 99 Из равенств (12) и (14) на основе единственности разложения вектора по базису получим систему 5 1 1 1 0, , 6 12 6 3 4 , , 4 3 1 1 (1 ) 0 Кроме того 1 1 1 ( ), ( ). 2 4 3 6 SF SL a b SD SK a Итак, 2 : 1 : 3 1 3 Аналогично находим y . По третьему основному векторному соотношению) Из равенств (12) и (15) следует 5 1 1 1 0, , 6 12 6 5 1 0 0, 4 1 1 (1 ) 5 Отсюда получаем SC SN 4 1 и, значит, Ответ Задача Дан куб 1 1 1 1 D С В АВСDА с ребром, равным a . Точка K — середина ребра 1 AA , M — центроид грани ) ( 1 CDD . Отрезок FH с концами на 1 1 C B и AD пересекает KM и перпендикулярен ей. Найти длину FH (рис. 3.19). Глава III 100 1. Центроид M — точка пересечения диагоналей и C D 1 1 1 C M MD D M MC . 2. Выберем базис следующим образом с AA в AВ а AD 1 , , Пусть ) 1 ( : : 1 1 l l FC F B , Выразим и через базис c b a , , : 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 KM KA A D D M c a b c a b , 1 1 1 1 ( ) FH FB B A A A AH a m l b Рис. 3.19 По условию 0 FH KM FH KM 1 ( )( ( ) ) 0 2 a b a m l b c 2 2 1 ( ) 0 2 m l a b 2 2 1 ( ) 0 2 m l a a 1 0. 2 m l (16) Прямые КМ и FH пересекаются, то естьточки H F M K , , , принадлежат одной плоскости. Можно применить третье основное векторное соотношение c a b В 1 С 1 А 1 D 1 F l 1 – l МС. Третье основное векторное соотношение 101 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( (1 ) ( ), 2 2 2 D H D K D F D M a c b l a b c (17) где С другой стороны, 1 (1 )( ). D H m c m a c (18) Из (17) ив силу однозначности разложения вектора по базису 2 2 4 , (1 ) 1, 1 1 1 0, , 2 2 1 1 2. 1 Отсюда 1 ) 2 1 4 2 2 ( 2 1 2 1 4 2 2 1 4 2 2 l l m l l m l l m 2 2 4 1 2 2 4 ( 2) 1 1 2 1 m l m l l l 2 0 2 0. 1 m l m l l (19) Из (16) и (19) следует 3 1 2 , , 0, 4 2 1 5 2 0 2 0 2 4 m l l m l l l m l m c b a FH 2 Находим длину FH : 2 2 2 2 2 2 2 4 9 4 1 ) 2 1 ( a a a a c b a FH FH 2 Ответ 2 Задача 3.16. В правильной пирамиде АВСD длина бокового ребра равна аи плоские углы при вершине равны, образованные ребрами пирамиды равны 60 . Точки M и N — середины Глава III 102 ребер AB и DC соответственно. Отрезок PQ с концами на прямых AD и BC пересекает прямую MN и перпендикулярен к ней. Найти длину рис. 3.20). Рис. 3.20 Введем базис c b a , , , как указано на рисунке. Пусть Обозначим , k BC BQ l DA DP 1 1 1 1 1 ( ) ; 2 2 2 2 2 (1 ) . MN MA AD DN a b a c c a b PQ PD DQ l a k b k c Так как MN PQ 0 MN PQ 0. l k MN PQ точки , , , P Q M N принадлежат одной плоскости. Применяя третье основное векторное соотношение, находим 1 , 2 DQ DP DB DN l a b c 1. c a b |