Практическое занятие №1-2. Занятие 1 Цель занятия Освоить приемы непосредственного вычисления вероятностей

• Название: Занятие 1 Цель занятия Освоить приемы непосредственного вычисления вероятностей
• Дата: 29.10.2021
• Размер: 317 Kb.
• Имя файла: Практическое занятие №1-2.doc
• Тип: Занятие; #258662
• страница: 1 из 3

1. ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ
Практическое занятие № 1
Цель занятия: Освоить приемы непосредственного вычисления

вероятностей
1.1. Классическая вероятностная модель
Каждый эксперимент заканчивается каким- то определенным результатом, который не всегда можно предугадать заранее. Для того чтобы формально описать некоторый эксперимент, следует указать все возможные варианты результатов, которыми этот эксперимент может закончиться. В теории вероятностей такие результаты называются исходами. Множество Ω всех возможных исходов эксперимента называется пространством элементарных исходов. Предполагается, что эксперимент может закончиться только одним элементарным исходом. В наиболее простом случае все эти исходы можно перечислить:

.

Такое пространство элементарных исходов называется дискретным. Простейшим пространством элементарных исходов является такое пространство, в котором все указанные исходы рассматриваемого эксперимента:

1) равновозможны;

2) взаимно несовместны (т.е. в результате эксперимента может произойти один и только один из указанных исходов);

3) все исходы образуют полную группу событий (т.е. никакие другие исходы, кроме перечисленных, не могут произойти).

Такое пространство конечно и называется пространством равновозможных исходов или симметричным пространством. Например, в случае бросании игральной кости может выпасть любое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поэтому пространство элементарных исходов Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

В дискретном пространстве вероятность каждого элементарного исхода считается заданной и обозначается P(ω_i) или p_i, причем всегда p_i≥ 0, ∑p_i =1. Таким образом, сумма (конечная или бесконечная) вероятностей всех элементарных исходов равна единице. Элементарные исходы называют элементарными событиями.

Вероятностью события A называется сумма вероятностей всех элементарных исходов, входящих в A, т.е. . Из этого определения вероятности события следует, что всегда

.

В случае равновозможных исходов вероятность элементарного события A определяется формулой

,

где n = Ω – число элементов во множестве Ω, которое обычно называется общим числом исходов, m = A– число элементов во множестве A, называется числом благоприятствующих исходов.

Таким образом, формула P(A) = m/n используется лишь для подсчета вероятностей событий в опытах, обладающих симметрией возможных исходов.

Событие , состоящее из всех элементарных исходов, не входящих в A, называется противоположным событием событию A. Оно происходит только тогда, когда событие A не произошло. Очевидно, что . Это равенство используется для вычисления вероятности события A в случае, когда вероятность противоположного события известна или легко может быть найдена, тогда .

Таким образом, для вычисления вероятности в каждой задаче важно определить, в чем состоит эксперимент, затем правильно построить соответствующее пространство элементарных событий и выделить в нем требуемое событие A. Затем, используя методы комбинаторики, подсчитать число элементов в Ω и A.
1.2. Элементы комбинаторного анализа
Одной из задач комбинаторики является подсчет числа элементов конечных множеств, заданных каким-либо дескриптивным условием. Рассмотрим типовые ситуации. Пусть имеется m групп A₁,A₂,…, A_m, причем i-я группа содержит n_i элементов. Тогда справедливы следующие правила.
1.2.1. Основные правила комбинаторики
Правило умножения. Общее число N способов, которыми можно получить упорядоченную совокупность (a₁,a₂,… ,a_m), т.е. выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке, равно

N = n₁·n₂· … · n_m.

Пример 1.1. В группе 30 студентов, нужно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов такого выбора?

Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 студентов, заместителем - любой из оставшихся 29, а профоргом - любой из оставшихся 28 студентов, т.е. n₁= 30, n₂ = 29, n₃ = 28. Согласно правилу умножения общее число способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно

N = n₁·n₂ ·n₃ = 30·29·28 = 24360.

Правило сложения. Если один элемент из группы A_i можно выбрать n_i cпособами и при этом любые две группы A_i и A_jне имеют общих элементов, то выбор одного элемента или из A₁, или из A₂,…, или из A_m можно осуществить N способами

N = n₁+n₂+… + n_m

Пример 1.2. В ящике 100 деталей, из них 30 - первого сорта, 50 - второго, остальные - третьего сорта. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?

Решение. Деталь 1-го сорта может быть извлечена n₁ = 30 способами,

2-го сорта – n₂ = 50 способами. По правилу суммы существует N = n₁+n₂₌

= 30+59 = 80 cпособов извлечения одной детали 1-го или 2-го сорта.
1.2.2. Упорядоченные совокупности (последовательный выбор)
Если эксперимент состоит в том, что из совокупности объемом n последовательно выбирают m элементов и располагают их в порядке выбора, то возможны две ситуации: размещения с повторениями и без повторений.

Размещения без повторений. Если отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в совокупность, то такой выбор называется размещением mэлементов из n, или последовательным выбором без возвращения.

Таким образом, размещения- это упорядоченные совокупности m элементов из n, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов. Число возможных способов размещения вычисляется по формуле

.

Пример 1.3. В расписание одного дня включены 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и их порядком следования, поэтому общее число способов равно

N= A=11!/(11 - 5)! = 7·8·9·10·11 = 55440.

В частном случае, когда выбираются все элементы совокупности, т.е. m= n , размещения называются перестановками.

Перестановки­ ­- это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов. Число всех перестановок множества из n элементов вычисляется по формуле



Пример 1.4. Порядок выступления семи участников конкурса определяется жребием. Сколько вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т. е. является перестановкой из 7 элементов. Их число равно

Р₇= 7! = 1·2·3·4·5·6· 7 = 5040.

Размещения с повторениями. Если каждый отобранный элемент перед от бором следующего возвращается в генеральную совокупность, то такой выбор называется размещением с повторением (или последовательным выбором с возвращением). Поскольку на каждом шаге выборка производится из генеральной совокупности объема n, общее число различных способов, какими можно произвести выборку с возвращением mэлементов из генеральной совокупности объема n, равно

Пример 1.5. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 фильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные премии?

Решение. Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком. Поскольку каждый фильм может получить призы как по одной, так и по нескольким номинациям, одни и те же фильмы могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 10 элементов по 5:


1.2.3. Неупорядоченные совокупности (одновременный выбор)
Сочетания без повторений. Если комбинации из n элементов по mотличаются только составом элементов, то их рассматривают как одновременный неупорядоченный выбор m элементов из генеральной совокупности объема n и называют сочетаниями из n элементов по m.

Сочетания - это неупорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга только составом, вычисляются по формуле

.

Cвойства числа сочетаний можно представить следующим образом:



Пример 1.6. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми участниками должна быть сыграна партия?

Решение. Каждая партия играется двумя участниками из16 и отличается от других только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетания из 16 элементов по 2. Их число равно



Сочетания с повторениями. Если в сочетаниях изnэлементов по m некоторые из элементов или все могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания называются сочетаниями с повторениями изn элементов по mи вычисляются по формуле

.

Пример 1.7. По условию задачи 1.5 определить, cколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены одинаковые призы?

Решение. Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок фильмов в комбинации 5 призов значения не имеет, и число вариантов представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по 5, определяемое по формуле


1.3. Геометрическая вероятность
Рассмотрим n- мерное вещественное пространство Rⁿ. Пусть в какую-то ограниченную область наудачу брошена точка. Слово "наудачу" означает, что в таком эксперименте все точки области Ω "равновозможны". В этом случае вероятность попадания точки в какую-то подобласть определяется формулой

,

где V(A), V(Ω) – n – мерные объемы областей Aи Ω соответственно. Здесь элементарными исходами называются точки множества Ω (которое играет роль пространства элементарных исходов), а благоприятствующими исходами – точки множества A.

Таким образом, V(Ω) - геометрическая мера (длина, площадь или объем) всей области, V(A) - геометрическая мера той части области, попадание в которую благоприятствует данному событию.

Пример 1.8. Точка брошена наудачу на отрезок [0; 2]. Какова вероятность попадания этой точки на интервал [0,5; 1,4]?

Решение. Здесь пространство элементарных исходов весь отрезок Ω [0; 2], а множество благоприятствующих исходов А = [0,5; 1,4], при этом длины этих интервалов равны l(Ω) = 2 и l(A) = 0,9. Поэтому вероятность попадания брошенной точки в указанный интервал равна .

1.4. Примеры решения типовых задач
Пример 1.9. В урне находится 5 шаров, из которых 2 белых и 3 черных. Из урны наугад вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Обозначим А интересующее нас событие: А = {появление белого шара}. Общее число случаев п = 5; из них два благоприятны событию А: т = 2. .

Пример 1.10. В урне 7 шаров: 4 белых и 3 черных. Из нее выни­маются (одновременно или последовательно) два шара. Найти ве­роятность того, что они будут белыми.

Решение. Общее число случаев равно числу спо­собов, какими можно выбрать 2 шара из 7:

,

а число случаев, благоприятных событию В, — это число способов, какими можно выбрать 2 белых шара из 4:



Отсюда .

Пример 1.11. В партии из Kизделий Μ дефектных. Из партии выбирается для контроля kизделий (k< K). Найти вероятность того, что среди них будет ровно т дефектных ( т < k ).

Решение. Общее число случаев n= . Найдем m_D — число случаев, благоприятных событию D = {ровно т дефектных изделий в контрольной партии}.

Найдем число способов, какими из Μ дефектных изде­лий можно выбрать т для контрольной партии; оно равно . Но это еще не все: к каждой комбинации дефектных изделий нужно присоединить комбинацию из k - т доброкачественных; это мож­но сделать способами. Каждая комбинация из т дефектных изделий может сочетаться с каждой комбинацией из (k– т)добро­качественных; число тех и других комбинаций надо перемножить. Поэтому число благоприятных событию Dслучаев равно

; .

Пример 1.12. Некто выбирает наугад 6 клеток «Спортлото» (6 из 49). Найти вероятность того, что он правильно угадает из числа выигравших шести номеров:

А = {ровно три},

В = {ровно четыре},

С = {ровно пять},

D = {все шесть}.

Решение. Нетрудно убедиться, что задача по структуре пол­ностью совпадает с предыдущей, если считать «дефектными» выигравшие номера, а «доброкачественными» - не выигравшие. Принимая K = 49, M= 6, а т — по­следовательно равным 3, 4, 5, 6, получим:



Пример 1.13. Опыт состоит в одновременном (или последова­тельном) бросании двух монет. Найти вероятность события А = {хотя бы на одной монете выпадет герб}.

Решение. Составим схему случаев; для этого назовем монеты: первая и вторая (если они бросаются последовательно, первой будет первая по времени; если одновре­менно, то, например, та, центр которой ляжет севернее). Случаями будут следующие события:

B₁ ={на первой монете герб, на второй герб},

B₂ ={на первой монете решка, на второй решка},

B₃ = {на первой монете герб, на второй решка},

B₄ = {на первой монете решка, на второй герб}.

Найдем P(А). Из четырех случаев событию А благоприятны все, кроме В₂, значит, т_А = 3 и P(A)= 3/4. Событию А₃ = {герб и решка} благоприятны два последних случая В₃и В₄, откуда Р(A₃) = 2/4 = 1/2, т.е. событие А₃вдвое вероятнее каждого из со­бытий А₁и А₂.

Пример 1.14. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Ρешение. Обозначим через А событие — набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует собы­тию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая веро­ятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих со­бытию, к числу всех элементарных исходов: Ρ (А) = 1/10.