Практическое занятие №1-2. Занятие 1 Цель занятия Освоить приемы непосредственного вычисления вероятностей

• Название: Занятие 1 Цель занятия Освоить приемы непосредственного вычисления вероятностей
• Дата: 29.10.2021
• Размер: 317 Kb.
• Имя файла: Практическое занятие №1-2.doc
• Тип: Занятие; #258662
• страница: 3 из 3

Пример 2.6. В условиях предыдущего примера найти вероят­ность хотя бы одного попадания.

Решение. Можно было бы событие С = {хотя бы одно попа­дание} представить в виде суммы трех вариантов: С₁= {ровно од­но попадание}; С₂ = {ровно два попадания} и С₃= {все три попа­дания} и найти вероятность каждого из них подобно тому, как это было сделано выше.

Но гораздо проще будет от события С перейти к противополож­ному событию: = ={ни одного попадания}.

Событие есть произведение трех независимых событий: С= {промах при первом выстреле} · {промах при втором вы­стреле} · {промах при третьем выстреле}.

По правилу умножения для независимых событий имеем

Р( ) = (1- p₁)(1- p₂)(1- p₃),

откуда P(C) = 1 - P( )= 1 - (1 - p₁)(1 - p₂)(1 - p₃).

Почему в данном примере оказалось выгодным перейти к про­тивоположному событию ? Потому что оно представляет собой только один вариант (все три промаха) вместо трех вариантов C₁, C₂, C₃.

В связи с этим можно сформулировать одну практическую ре­комендацию: если в данной задаче противоположное событие А распадается на меньшее число вариантов, чем интересующее нас А, то имеет смысл при вычислении вероятности переходить к про­тивоположному событию.

Пример 2.7. Из колоды карт, содержащей 32 листа, вынимает­ся наугад 4 карты. Найти вероятность того, что среди них будет хо­тя бы один туз.

Решение. При нахождении вероятности события А = {хотя бы один туз} явно выгоднее перейти к противоположному собы­тию

А ={ни одного туза} = A₁·A₂·A₃·A₄ ,

где A₁= {первая карта не туз},

A₂ = {вторая карта не туз},

A₃= {третья карта не туз},

A₄ = {четвертая карта не туз}.

События A₁ , A₂ , A₃ , A₄зависимы. По правилу умножения веро­ятностей имеем P( ) = P(A₁) · P(A₂ |A₁) · P(A₃ |A₁·A₂)· P(A₄ |A₁·A₂·A₃).

Тузов в колоде 4; не тузов 32 - 4 = 28. Учитывая это, имеем

P( ) = (28/32) · (27/31) · (26/30) ·(25/29) ≈ 0,568, откуда

P(A) = 1- P( ) ≈ 0,432.

Пример 2.8. В шкафу находится девять однотипных приборов. В начале опыта они все новые (ни разу не бывшие в эксплуата­ции). Для временной эксплуатации берут наугад три прибора; по­сле эксплуатации их возвращают в шкаф. На вид прибор, бывший в эксплуатации, ничем не отличается от нового. Такого рода опе­рация производится три раза. Найти вероятность того, что в ре­зультате трехкратного выбора и эксплуатации в шкафу останется хотя бы один новый прибор.

Решение. От события А = {хотя бы один новый прибор} вы­годнее перейти к противоположному: = {ни одного нового при­бора}. Событие может произойти одним-единственным способом: и первый раз, и второй, и третий из шкафа будут взяты новые приборы. Первый раз это обеспечено; поэтому

, откуда

Р( A) =1 - 0,0028 ≈ 0,997.

Итак, событие А имеет высокую вероятность 0,997 и может, по­жалуй, считаться практически достоверным (предсказывая его, будем ошибаться примерно в 0,3 % случаев).

Пример 2.9. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью r(независимо от других) является дефектным. Для контроля из продукции завода выбирается наугад п изделий. При осмотре дефект, если он существует, обнаруживается с вероятно­стью р . Найти вероятности следующих событий:

А = {ни в одном из изделий не обнаружено дефекта};

В = {среди п изделий ровно в двух обнаружен дефект};

С ={среди п изделий не менее чем в двух обнаружен дефект}.

Решение. Вероятность того, что в одном наугад взятом изде­лии обнаружен дефект, равна rр (r — вероятность того, что де­фект есть, р — условная вероятность того, что дефект будет обна­ружен при условии, что он есть); вероятность того, что дефект не обнаружен, равна 1- rр. По правилу умножения для независи­мых событий P(A) = (1- rp)ⁿ.

Найдем вероятность события В. Оно распадается на столько ва­риантов, сколькими способами можно из п изделий выбрать два, в которых обнаружен дефект, т.е. на вариантов.

Вероятность каждого из них равна (rр)²(1 - rр)^n-2 ; эти варианты несовместны; по правилу сложения

.

Чтобы найти вероятность события С , перейдем к противопо­ложному событию:

= {менее чем в двух изделиях обнаружен дефект}, которое распадается на два варианта:

= {ни в одном изделии не обнаружено дефекта},

= {ровно в одном изделии обнаружен дефект}.

.

По правилу умножения .

По правилам умножения и сложения:

.

Отсюда

,

.

По правилу умножения для независимых событий P(A) = pⁿ

Пример 2.10. По каналу связи передается 5 сообщений. Каж­дое из них (независимо от других) с вероятностью 0,2 искажается. Найти вероятности следующих событий:

А = {все сообщения будут переданы без искажений};

В = {все сообщения будут искажены};

С = {не менее двух сообщений будет искажено}.

Решение. Вероятность того, что отдельное сообщение будет передано без искажений, равна 1- 0,2 = 0,8.

По правилу умножения вероятностей для независимых собы­тий

Р(А)= 0,8⁵ = 0,328 ; Р(B) = 0,2⁵ ≈ 0,00032

(событие Bможно считать практически невозможным). Чтобы най­ти Ρ (С) , перейдем к противоположному событию:

= (менее двух сообщений будет искажено) = + ,

где =(ни одно сообщение не будет искажено),

= (ровно одно сообщение будет искажено).

Так как = А, Р( ) ≈ 0,328.

Событие распадается на 5 несовместных вариантов (искаже­но может быть любое из 5 сообщений); вероятность каждого вари­анта по правилу умножения равна 0,2 · 0,8⁴; отсюда

Р( ) ≈ 5·0,2·0,8⁴ ≈ 0,410,

P( ≈ 0,328 + 0,410 = 0,738,

Р(С) ≈1 - 0,738 = 0,262.
Контрольные вопросы
1. Чему равна вероятность суммы двух совместных событий?

2. Сформулируйте теорему сложения вероятностей несовместных событий.

3. Что называют условной вероятностью?

4. Как записывается теорема умножения вероятностей на случай n событий?

5. Сформулируйте правило умножения вероятностей для независимых событий.

2.3. Задачи для самостоятельного решения

2.1. Рабочий обслуживает три независимо работающих станка. Событие

А_i={i-й станок в течение часа потребует налад­ки}, P(A_i) = 0,2; i= 1, 2, 3. Выразить события, если наладки потребу­ют: а) ровно два станка; б) не более двух станков; в) хотя бы один станок. Найти вероятность события в).

2.2. Стрелок делает три выстрела, при этом он поража­ет цель с вероятностью 0,6 при одном выстреле. Событие А_i= {i-я пуля попала в цель}, i=1, 2, 3. Выразить события: а) было хотя бы одно попадание; б) ровно одно попадание; в) не менее двух попа­даний. Найти вероятность события в).

2.3.В коробке 4 детали. Мастер извлекает детали до тех пор, пока не обнаружит пригодную. Событие А_i= {i-я извлеченная деталь является годной}, P(A_i) = 0,9

i= 1, 2, 3, 4. Выразить собы­тия, состоящие в том, что мастер сделал: а) ровно одно извлече­ние; б) ровно два извлечения; в) не менее двух извлечений. Найти вероятность события б).

2.4. Пусть А , В , С — три произвольных события. Найти выражение для событий, состоящих в том, что произошли: а) все три события; б) хотя бы одно из событий; в) хотя бы два события; г) два и только два события; д) ровно одно событие; е) ни одно событие не произошло; ж) не более двух событий.

2.5. Прибор состоит из трех блоков первого типа и четы­рех блоков второго типа. Событие А_i={исправен i-й блок первого типа}, i = 1, 2, 3, B_j= {исправен j-й блок второго типа}, j = 1,2,3, 4. Прибор работает, если исправны хотя бы один блок первого типа и не менее трех блоков второго типа. Найти выражение для собы­тия С, которое соответствует работающему состоянию прибора.

2.6. В пакетике 4 красных, 5 желтых и 6 зеленых леден­цов. Найти вероятность наудачу вынуть подряд 3 конфеты одного цвета.

2.7. В партии из 20 изделий 4 бракованных. Найти веро­ятность того, что в выборке из 5 изделий не более одного брако­ванного.

2.8. В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вош­ли 6 человек. Для каждого из них равновероятен выход на любом из восьми этажей. Известно, что все шестеро вышли на разных этажах. При этом условии найти вероятность того, что на первых трех этажах вышли два пассажира.

2.9. Трое пассажиров сели в поезд, случайно выбрав лю­бой из шести вагонов. Какова вероятность того, что хотя бы один из них сядет в первый вагон, если известно, что люди сели в раз­ные вагоны?

2.10. В ящике 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу вынимают два шара. Какова вероятность того, что выну­тые шары разного цвета, если известно, что синий шар не вынут?

2.11. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

2.12.Двое равносильных шахматистов играют 4 партии. Найти вероятность того, что победил первый, если известно, что каждый выиграл хотя бы один раз.

2.13. В лифт на цокольном этаже вошли 5 человек. Счи­тая для каждого пассажира равновероятным выход на любом из девяти этажей, найти вероятность того, что двое выйдут на одном этаже, а остальные – на разных.

2.14.Известно, что в пятизначном номере телефона все цифры разные. Какова вероятность при этом условии, что среди них есть ровно одна четная (нуль считаем четной цифрой, теле­фонный номер может начинаться с нуля)?

2.15. Пять человек случайным образом (независимо друг от друга) выбирают любой из 7 вагонов поезда. Известно, что какие-то 2 вагона остались пустыми. При этом условии найти вероятность того, что первый и второй вагоны заняты.

2.16.В урне 5 белых и 10 черных шаров. Извлечены 6 ша­ров (с возвращением). Известно, что среди них есть белые шары. При этом условии найти вероятность того, что среди них также будет не менее двух черных шаров.

2.17.Семь пассажиров случайным образом выбирают один из девяти вагонов поезда. Известно, что они сели в разные вагоны. При этом условии найти вероятность того, что в первых трех вагонах поезда будут ехать два человека.

2.18.Пять шаров распределены по трем ящикам. При условии, что пустых ящиков нет, найти вероятность того, что в первом ящике лежит один шар.

2.19. В четырех группах 100 студентов (по 25 человек в каждой). Для участия в олимпиаде отобрано 5 человек. Какова вероятность того, что среди них окажутся представители всех че­тырех групп?

2.20. Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы на 95 % быть уверенным в том, что хотя бы при одном бросании появится «шестерка»?

2.21. Известно, что в пятизначном номере телефона все цифры разные. Найти вероятность того, что среди них есть циф­ры 1 и 2.

2.22. Прибор состоит из элементов, надежность каж­дого из которых равна

p= 0,98. Выход из строя каждого из элемен­тов равносилен выходу из строя прибора в целом. Не больше како­го числа nэлементов должно быть в приборе для того, чтобы на­дежность прибора не стала меньше, чем 0,9?

2.23. Производится nнезависимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с какой-то вероятностью; для i-го опыта эта вероятность равна р_i= (i = 1, 2, ..., п ). Задан ряд ве­роятностей: p₁ ,p_{2 ,}…., p_n. Найти вероятность R₁ того, что событие А появится хотя бы один раз.

2.24. Управляющие роботом команды искажаются из-за помех в канале связи (надежность канала связи 0,95) и, независимо от этого, из-за неисправности системы управления (надежность системы управления 0,90), причем данные два типа искажений не компенсируют, а лишь усиливают друг друга. Какова вероятность того, что робот не выполнит команды?

2.25. Синоптики Аляски и Чукотки независимо друг от друга предсказывают погоду ("ясно - пасмурно") в Беринговом проливе, ошибаясь с вероятностями 0,1 и 0,3 соответственно. Их предсказания на завтра совпали. Какова вероятность того, что эти предсказания ошибочны?