Занятие 6 Тема Векторное произведение
 Скачать 186.86 Kb.
|
|
1 Практическое занятие 6 Тема: Векторное произведение !!! Перед практическим занятием следует подготовить (уметь произнести) и записать в тетрадь ответы на следующие вопросы: 1. Понятие левой и правой тройки векторов. 2. Дайте определение векторного произведения геометрических векторов a и b. 3. Свойства векторного произведения. 4. Геометрический смысл ?[a, b]?. 5. Формула вычисления векторного произведения, если известны декартовы ко- ординаты векторов. Этап 1. Подготовка к занятию. При подготовке к занятию следует вы- учить Теорию Определение. Векторным произведением двух неколлинеарных векторов a и b [ a,b] или a Ч b относительно правой системы координат называется третий вектор c, который: 1. ортогонален каждому из векторов a и b, т.е. c–a и c–b; 2. имеет длину, равную произведению длин векторов a и b на синус угла между ними, т.е. ?c? = ?a? ? ?b? ? sin(a€,b), (0 < a€,b < ?); 3. векторы a, b, c образуют правую тройку. Если векторы либо коллинеарны, либо хотя бы один из них нулевой, то пола- гаем [a,b] = 0. Замечание . Обратите внимание, что при обсуждении векторного произведения говорят об упорядоченной паре векторов. Например, [a,b] соответсвует пара a, b. Произведению [b,a] соответсвует пара b, a (смотрите рисунки ниже). Понятие правой тройки встречалось нам при построении правой декартовой системой координат, где базисные векторы i, j, k попарно ортогональны и обра- зуют правую тройку. При формулировке понятия векторного произведения [a,b] считаем, что угол между векторами a и b произволен, но ограничен промежутком [ 0, ?) 2 В общем случае понятие правой тройки формулируется для произвольно рас- положенных векторов a, b, c. Пусть дана упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c, отложенных от одной точки. Говорят, что эти векторы образу- ют правую тройку , если наблюдая с конца вектора c, мы видим что движение от вектора a к вектору b в кратчайшем направлении происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой - A A A A U 3 c b a O Правая тройка a, b, c - A A A A U 3 c a b O Левая тройка a, b, c Замечание . Обратите внимание, что при обсуждении правой (левой) тройки, говорят об упорядоченной тройке векторов a, b, c. Меняя векторы местами, по- лучаем другую тройку. Например, на первом рисунке векторы b, a, c образуют левую тройку (наблюдая с конца вектора c, мы видим что движение от вектора b к вектору a в кратчайшем направлении происходит по часовой стрелке). В определении векторного произведения [a,b] сказано, что вектор c ортогона- лен каждому из векторов a и b. Если отложить от одной точки векторы a и b, то они зададут плоскость, для которой вектор c = [a,b] является вектором нормали (c перпендикулярен плоскости). На рисунке справа векторы a и b изображены на плоскости (в проекции). Знак ? соответствует вектору c и показывает, что век- тор c направлен перпендикулярно плоскости рисунка на читателя, так что видно "остриј стрелки". Получается, что читатель смотрит на плоскость с конца векто- ра c. При этом кратчайший поворот (на угол меньше ?/2) от вектора a к вектору b происходит против часовой стрелки. Если вектор направлен перпендикулярно плоскости рисунка от читателя, то в проекции его обозначают символом ?. 6 - A A A A U c b a O Правая тройка a, b, c - A A A A U re c b a O Правая тройка a, b, c ? - A A A A U c a b O Правая тройка a, b, c - A A A A U ? c a b O Правая тройка a, b, c 3 Отложим векторы a, b, c (c = [a,b]) от начала правой декартовой системы ко- ординат O и построим систему координат таким образом, что векторы a, b нахо- дятся в координатной плоскости XOY . Тогда вектор c является вектором нормали плоскости XOY и будет лежать на оси OZ (может быть либо сонаправлен с ортом k , либо противоположно направлен с k). Пусть, кроме того, вектор a находится на оси OX. Тогда для правой тройки a, b , c возможно четыре варианта расположения: b c a€,b в I четверти c ? k и Пр OZ c > 0 ( 0 ? , 90 ? ) во II четверти c ? k и Пр OZ c > 0 ( 90 ? , 180 ? ) в III четверти c ?? k и Пр OZ c < 0 ( 180 ? , 270 ? ) в IV четверти c ?? k и Пр OZ c < 0 ( 270 ? , 360 ? ) Примечание. Здесь угол между векторами a и b отсчитывается от вектора a против часовой стрелки. Свойства векторного произведения. Свойство 1. Модуль векторного произведения равен площади параллелограм- ма, построенного на перемножаемых векторах, как на сторонах. Свойство следует из элементарной геометрии (формула для вычисления пло- щади параллелограмма). Свойство 2. Векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны. Доказательство. Действительно, из a ? 0, b ? 0, ?a??b? sin(a€,b) = 0 следует sin(a€,b) = 0 и a€,b = 0 или a€,b = ?, а значит, a ? b. Достаточность можно доказать, проведя эти рассуждения в обратном порядке. ? Свойство 3. Векторное произведение антикоммутативно, т.е. [a,b] = ?[b,a]. Доказательство. Из определения векторного произведения следует, что век- торы [a,b] и [b,a] будут иметь одинаковые длины. Связки a, b, [a,b] и b, a, [b,a] должны быть правыми, поэтому [a,b] и [b,a] имеют противоположные направле- ния. ? Свойство 4. Скалярный множитель можно вынести за знак векторного произ- ведения, т.е. [?a,b] = ?[a,b]. Доказательство. При ? = 0 и при a ? b равенство очевидно. Рассмотрим случай ? ? 0 . Векторы [?a,b] и ?[a,b] являются равными, если они одинаково ориентиро- ваны и их длины равны. При ? > 0, ?a ?? a, а потому [?a,b] ?? [a,b] и [?a,b] ?? ?[a,b], ?[ ?a,b]? = ??a??b? sin(?a€,b) = ??a??b? sin(a€,b) = ? ?[ab]? = ??[ab]? . Следовательно, при ? > 0 [?a,b] = ?[a,b]. При ? < 0, ?a ?? a, [?a,b] ?? [a,b] и [?a,b] ?? ?[a,b]. 4 - 7 a b ?a Поскольку (?a€,b) = ? ? (a€,b) ?[ ?a,b]? = ??a??b? sin(?a€,b) = ????a??b? sin{? ? (a€,b)} = = ? ???a??b? sin(a€,b) = ??? ?[a,b]? = ??[a,b]?. Таким образом, при ? < 0 также [?a,b] = ?[a,b]. Свойство доказано. ? Аналогично можно доказать, что [a,?b] = ?[a,b]. Свойство 5. Имеет место распределительный закон операции векторного про- изведения относительно операции сложения векторов, т.е. [a + b,c] = [a,c] + [b,c]. Это свойство примем без доказательства. Получим выражение для вычисления векторного произведения через декартовы координаты перемножаемых векторов. Пусть a = x 1 i + y 1 j + z 1 k , b = x 2 i + y 2 j + z 2 k , [a,b] = [x 1 i + y 1 j + z 1 k, x 2 i + y 2 j + z 2 k] Используя свойства 4 и 5 векторного произведения, получим: [ a,b] = x 1 x 2 [ i,i] + x 1 y 2 [ i,j] + x 1 z 2 [ i,k] + y 1 x 2 [ j,i] + y 1 y 2 [ j,j] + + y 1 z 2 [ j,k] + z 1 x 2 [ k,i] + z 1 y 2 [ k,j] + z 1 z 2 [ k,k]. По определению векторного произведения [i,i] = 0, [j,j] = 0, [k,k] = 0. 6 - - 6 O j k i Рис. 1: Если декартов базис (i, j, k) правый (рис. ??), то [i,j] = k, [i,k] = ?j, [j,k] = i, [ k,i] = j , [k,j] = ?i, [j,i] = ?k. Тогда: [ a,b] = x 1 y 2 k ? x 1 z 2 j ? x 2 y 1 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j ? z 1 y 2 i, [ a,b] = (y 1 z 2 ? y 2 z 1 ) i ? (x 1 z 2 ? x 2 z 1 ) j + (x 1 y 2 ? x 2 y 1 ) k. Полученный результат по форме совпадает с разложением определителя третьего порядка. Его можно записать в виде: [ a, b] = R R R R R R R R R R R R R R i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 R R R R R R R R R R R R R R 5 Вычисляют определители такого типа с помощью разложения по элементам первой строки. Этап 2. Подготовка к занятию. При подготовке к занятию следует разо- брать Примеры Пример 1. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(1, ?2, 1) , B(0, ?3, 2) , C(2, 0, 1). Найдите площадь треугольника ABC и длину его высоты AH Решение. Известно, что величина ?[AB, AC]? равна площади параллелограмма, построенного на векторах AB и AC. Поэтому площадь треугольника ABC равна S = 1 2 ? ?[ AB, AC]?. Находим координаты векторов: AB = (0 ? 1, ?3 ? (?2), 2 ? 1) = (?1, ?1, 1), AC = (2 ? 1, 0 ? (?2), 1 ? 1) = (1, 2, 0). Вычисляем векторное произведение с помощью разложения определителя по пер- вому столбцу: [AB, AC] = R R R R R R R R R R R R R R i j k ? 1 ?1 1 1 2 0 R R R R R R R R R R R R R R = = i ? (?1) 1+1 ? ? ? 1 1 2 0 ? + j ? (?1) 1+2 ? ? ? 1 1 1 0 ? + k ? (?1) 1+3 ? ? ? 1 ?1 1 2 ? = ? 2i + j ? k. Тогда ?[AB, AC]? = ? 2 2 + 1 2 + 1 2 = ? 6 и S = ? 6 2 Найдјм длину высоты AH треугольника ABC. Поскольку S = 1 2 ? ? AH? ? ?BC? , то ?AH? = 2S ? BC? . Вычисляем координаты вектора BC и его модуль: BC = (2 ? 0, 0 ? (?3), 1 ? 2) = (2, 3, ?1) , ?BC? = ? 2 2 + 3 2 + 1 2 = ? 4 + 9 + 1 = ? 14 Окончательно, ?AH? = ? 6 ? 14 = ? 3 7 Ответ: S = ? 6 2 , ?AH? = ? 3 7 6 Этап 3. Практическое занятие. Задачи для решения на практическом занятии, уровень "удовлетвори- тельно" Задание 1. Даны векторы а) a = 2j , b = ?3i ; б) a = i + j , b = ?4j ; в) a = 2j + k , b = j ? 2k Найдите вектор c = [a, b] двумя способами: 1) вычислить ?c? и определить направление c; 2) использовать координаты векторов. Изобразите векторы a, b, c на рисунке. Задание 2. Даны векторы a = 3 ? 2 i + 3j , b = i + k. Какой угол образует вектор [ a, b] с осью OZ? Задание 3. Найдите векторное произведение векторов a = i+3j?2k и b = 3i+j?5k. Ответ: (?13, ?1, ?8). Задание 4. Даны векторы a = i + 2j + k, b = 4i + 3j ? 2k, c = ?5i ? 4j ? k. Найдите Пр c [ a, 1 2 b]. Задание 5. Даны координаты точек A(2; 3; 1), B(6; 2; 0), C(4; 2; 1). Найдите пло- щадь параллелограмма ABCD. Задание 6. Даны координаты вершин треугольника A(3; ?4; 0), B(0; ?5; 0), C(0; ?4; 18) . Найдите его площадь. Задание 7. Даны координаты вершин треугольника A(1; 2; 2), B(3; ?2; 2), C(1; ?4; ?1) . Найдите длину его высоты CH. Ответ: 9/ ? 5 Задачи для решения на практическом занятии, уровень "хорошо" и "отлично" Задание 8. Векторы PA = (3; 1; 4) и PB = (3; 1; 1) отложены из общего начала P (?3; 1; 0) . Найдите: а) длину отрезка AB; б) длину высоты OH треугольника OAB (O - начало координат). |