тпэфм практические задания. ТПЭФМ_Практическое занятие 1_между лекциями 8 и 9. Занятие посвящено исследованию функций на экстремум и выпуклость и нахождение её асимптот
 Скачать 299 Kb.
|
|
Практическое занятие посвящено исследованию функций на экстремум и выпуклость и нахождение её асимптот. Экстремум функции Если  внутри некоторого промежутка, то функция возрастает на этом промежутке, если  – то убывает.Необходимое условие экстремума функции  в точке  :  или  не существует. Точки, в которых оно выполнено, называются критическими или стационарными. Они должны входить в область определения функции.Если  при переходе через точку  меняет знак с “+” на “−”, то − точка максимума, а если с “−” на “+”, то − точка минимума.Пусть . Тогда, если  , то − точка минимума, если  , то − точка максимума.Пример. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции: 1.  .Решение. Первый способ. Функция определена на всей числовой оси,  существует при всех значениях  . Находим критические точки из условия :  . Для проверки знаков можно выбрать  . Нанесём критические точки  и  на числовую ось. Функция возрастает на  и  , и убывает на  . Точка максимума  , точка минимума  .Учитывая, что  , получим схематичный график: Второй способ:  значит при  функция имеет минимум,  , значит при функция имеет максимум.Выпуклость функции и точки перегиба Достаточные условия выпуклости функции :Если  внутри некоторого промежутка, то функция выпукла вниз на этом промежутке, если  − то выпукла вверх. Точкой перегибаназывается точка графика, разделяющая интервалы с разной выпуклостью. В окрестности этой точки кривая лежит по разные стороны от касательной, т.е. перегибается через касательную. Необходимое условие перегиба в точке  :  .Достаточное условие перегиба в точке :  меняет знак при переходе через точку  , в которой она равна нулю или не существует.Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции  .Решение. ООФ:  .  . при  и  .  Точки перегиба: и .Функция выпукла вверх при  и  . Функция выпукла вниз при  .Её график имеет вид: Асимптоты графика функции Асимптотой графика функции называют прямую, расстояние до которой от лежащей на кривой точки стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат. 1. Вертикальной асимптотой графика функции называют прямую  , если либо  , либо  , либо  . Популярная представительница вертикальной асимптоты определяет саму ось ординат.Вертикальные асимптоты функции следует искать в точках разрыва II рода (чаще всего это точки, где знаменатель функции равен нулю) или на концах области определения функции. Из вышесказанного следует очевидный факт: на интервале непрерывности функции вертикальные асимптоты отсутствуют. 2. Наклонной называют прямую  , если  определена при достаточно больших  и существуют конечные пределы  и  . Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то наклонных асимптот нет. В частном случае при  получаем горизонтальную асимптоту  , если существует конечный предел  .Пример. Найти асимптоты графика функции  .Решение. Поскольку знаменатель положителен, то функция непрерывна на всей числовой прямой, вертикальные асимптоты отсутствуют. Проверим наличие наклонных асимптот:  . Первый предел конечен. В ходе вычисления второго предела для устранения неопределённости  приводим выражение к общему знаменателю: Второй предел тоже конечен, следовательно, у графика рассматриваемой функции существует наклонная асимптота  . В нашем случае имеем  . Таким образом, при  график функции бесконечно близко приближается к прямой : Он пересекает свою наклонную асимптоту в начале координат, и такие точки пересечения вполне допустимы – важно, чтобы «всё было нормально» на бесконечности. |