Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая
 Скачать 1.33 Mb.
|
|
▢ Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие с то роны этих углов являются дополнительными полупрямыми. С ▢ умма смежных углов равна 180 . Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются допо лнительными полупрямыми сторон другого. ▢ Вертикальные углы равны. Угол, равный 90 , называется прямым углом. Прямые, пересекающиеся под прям ым углом, называются перпендикулярными. Ч ▢ ерез каждую точку прямой можно провести и притом только одну, перпендикулярную прямую. ▢ Угол, меньший 90 , называется острым. Угол больший 90 , называется тупым. П ▢ ризнаки равенства треугольников. - по двум сторонам и углу между ними; - по стороне и двум прилегающим к ней углам; - по трем сторонам. ▢ Треугольник называют равнобедренным, если у него две стороны равны. ▢ Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. ▢ Биссектрисой треугольника называют отрезок прямой, заключенной между вер ш иной и точкой ее пересечения с противоположной стороной, которая делит угол поп олам. ▢ Высотатреугольника – это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины т ре угольника на противоположную сторону, или на ее продолжение. Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Остальные две стороны, называются катетами. С ▢ войства сторон и углов прямоугольного треугольника: - углы, противолежащие катетам – острые; - гипотенуза больше любого из катетов; - сумма катетов больше гипотенузы. ▢ Признаки равенства прямоугольных треугольников: - по катету и острому углу; - по двум катетам; - по гипотенузе и катету; - по гипотенузе и острому углу. С ▢ войства равнобедренного треугольника: - в равнобедренном треугольнике углы при основании равны; - если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный; - в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является би ссектрисой и высотой; - если в треугольнике медиана и биссектриса (или высота и биссектриса, или медиана и высота), проведенная из какой-либо вершины, совпадают, то такой тре угольник равнобедренный. ▢ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона. ( ▢ Неравенство треугольника). У каждого треугольника сумма двух сторон больше третьей стороны. ▢ Внешним углом треугольника ABC при вершине A называется угол, смежный у глу треугольника при вершине A. ПЛАНИМЕТРИЯ БЕЗ ФИГУР | ЧЕК-ЛИСТ PĀRTA ▢ Сумма внутренних углов треугольника: - сумма любых двух углов треугольника меньше 180 ; - в каждом треугольнике два угла острые; - внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним; - сумма углов треугольника равна 180 ; - внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. - сум ма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 . ▢ Отрезок, соединяющий середины боковых сторон треугольника называется средней линией треугольника. ▢ Средняя линия треугольника обладает свойством – она параллельна основанию треугольника и равна ее половине. ▢ Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющей ее концы. С ▢ войства серединного перпендикуляра отрезка: - точка лежащая на серединном перпендикуляре одинаково удалена от концов от резка; - любая точка, одинаково удаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре. С ▢ войства биссектрисы угла: - любая точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от сторон угла; - любая точка, одинаково удаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе угла. ▢ Существование окружности, описанной около треугольника: - все три серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности. Описанная около треугольника окружность всегда существует и она единственна; - центром описанной окружности прямоугольного треугольника является середина гипотенузы. С ▢ уществование вписанной в треугольник окружности: - все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности. Вписанная в треугольник окружность всегд а существует и она единственна. П ▢ ризнаки параллельности прямых. ▢ Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых: - две прямые, параллельные третьей - параллельны; - если при пересечении двух прямых третьей, внутренние (внешние) накрест лежащие углы равны, или внутренние (внешние) односторонние углы в сумме равны 180 , то эти прямые параллельны; - если параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние и внешние накрест лежащие углы равны, и внутренние и внешние односторонние углы в сумме равны 180 ; - две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой – параллельны; - прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и второй. ▢ Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки. ▢ Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности. ▢ Диаметр – хорда, проходящая через центр. ▢ Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. ▢ Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности. ▢ Вписанный угол – угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность. PĀRTA Т ▢ еоремы, относящиеся к окружности: - радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной; - диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей; - квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть; - центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается; - вп исанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, или дополняет его половину до 180 ; - касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны; - произведение секущей на ее внешнюю часть – величина постоянная; Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные сто роны попарно параллельны. П ▢ ризнаки параллелограмма. Свойства параллелограмма: - противоположные стороны равны; - противоположные углы равны; - диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам; - сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон; - если в выпуклом четырехугольнике противоположные стороны равны, то такой четырехугольник – параллелограмм; - если в выпуклом четырехугольнике противоположные углы равны, то такой четырехугольник – параллелограмм; - если в выпуклом четырехугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам, то такой четырехугольник – параллелограмм; - середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Параллелограмм, все стороны которого равны, называется ромбом. Д ▢ ополнительные свойства и признаки ромба: - диагонали ромба взаимно перпендикулярны; - диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов; - если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, или являются биссектрисами соответствующих углов, то этот параллелограмм – ромб. ▢ Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником. Д ▢ ополнительные свойства и признаки прямоугольника: - диагонали прямоугольника равны; - если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм – прямоугольник; - середины сторон прямоугольника – вершины ромба; - середины сторон ромба – вершины прямоугольника. ▢ Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом. Д ▢ ополнительные свойства и признаки квадрата: - диагонали квадрата равны и перпендикулярны; - если диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны, то такой четырехугольник – квадрат. ▢ Четырехугольник, две стороны которого параллельны, называется трапецией. От резок, соединяющий середины боковых сторон трапеции называется средней линией трапеции. С ▢ войства трапеции: - в равнобокой трапеции углы при основании равны; - отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции. С ▢ редняя линия трапеции обладает свойством – она параллельна основаниям тр апеции и равна их полусумме. П ▢ ризнаки подобия треугольников: - по двум углам; - по двум пропорциональным сторонам и углу между ними; - по трем пропорциональным сторонам. PĀRTA П ▢ ризнаки подобия прямоугольных треугольников: - по острому углу; - по пропорциональным катетам; - по пропорциональным катету и гипотенузе. С ▢ оотношения в многоугольниках: - все правильные многоугольники подобны друг другу; - сумма углов любого выпуклого многоугольника равна 180 (n-2); - сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному у кажд ой вершины, равна 360 . - периметры подобных многоугольников относятся, как их сходственные стороны, и это отношение равно коэффициенту подобия; - площади подобных многоугольников относятся, как квадраты их сходственных сторон, и это отношение равно квадрату коэффициента подобия; Важ нейшие теоремы планиметрии: Т ▢ еорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, от секают на одной стороне равные отрезки, то эти прямые отсекают на другой сторон е также равные отрезки. Т ▢ еорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: Т ▢ еорема косинусов. В любом треугольнике, квадрат стороны равен сумме ква дратов двух других сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними: Т ▢ еорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов: , где - радиус окружности, описанной около этого треугольника. ▢ Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Т ▢ ри прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. П ▢ лощадь параллелограмма равна произведению одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону (или произведению сторон на синус угла между ним и). П ▢ лощадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опу щенную на эту сторону (или половине произведения сторон на синус угла между ними). П ▢ лощадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. 37. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. П ▢ лощадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. Б ▢ иссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум др угим его сторонам. В ▢ прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, делит треу гольник на два равновеликих треугольника. П ▢ лощадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату ее высоты: С ▢ умма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180 . Ч ▢ етырехугольник можно описать вокруг окружности, если суммы длин проти воположных сторон равны. PĀRTA |