математика. 1. Квадратичная форма f (x) xTAx, где x (x1, xn) t неотрицательно определенная, если для любого ненулевого столбца х выполняется неравенство

• Название: 1. Квадратичная форма f (x) xTAx, где x (x1, xn) t неотрицательно определенная, если для любого ненулевого столбца х выполняется неравенство
• Дата: 22.05.2022
• Размер: 26.29 Kb.
• Имя файла: математика.docx
• Тип: Документы; #543647

1. Квадратичная форма f (x) = x^TAx, где x = (x₁, ..., x_n) ^T неотрицательно определенная, если для любого ненулевого столбца х выполняется неравенство
• f (x) >= 0

2. Множество собственных векторов, отвечающих собственному значению l линейного оператора А: L ® L, является в L
• линейным подпространством

3. Квадратная матрица К называется невырожденной, если ее определитель удовлетворяет условно
• det K ¹ 0

4. Пусть l₁, l₂, ..., l_n — собственные значения линейного оператора А, тогда собственными значениями оператора А² будут:
• l₁², l₂², ..., l_n²

5. Отображение А: R² ® R², заданное выражением Ах = (х² — у, у), является:
• нелинейным

6. Подмножество данного линейного пространства, замкнутое относительно линейных операций, введенных в данном линейном пространстве, является:
• линейным подпространством

7. Все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора
• действительные

8. Отображение А: R² ® R², заданное выражением Аа = (х+у, х-у), где а={х, у} является:
• линейным

9. В линейном пространстве С_{[a, b]} функций, непрерывных на отрезке [a, b], линейно независимой является система функций:
• 1, sin x, cos x

10. Матрица линейного оператора А, действующего в некотором линейном пространстве, является в данном базисе диагональной тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются ...
• собственными для А

11. Максимальное число линейно независимых вектор-столбцов (строк) называется:
• рангом матрицы

12. Если в матрице число строк равно числу ее столбцов, то такая матрица называется:
• квадратной

13. Если в матрице все элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы — нулевые, то такая матрица называется:
• единичной

14. Если А и В — два линейных оператора, действующих в евклидовом пространстве Е, то оператор (АВ) *, сопряженный произведению этих операторов, равен:
• В*А*

15. Если собственные значения линейного оператора А: L ® L попарно различны, тогда система соответствующих им собственных векторов
• линейно независимая

16. Если существуют произведения АВ и ВА, причем АВ = ВА, то матрицы А и В называют:
• перестановочными

17. Если характеристическое уравнение квадратной матрицы порядка n имеет n попарно различных действительных корней, то эта матрица подобна некоторой матрице
• диагональной

18. Если характеристическое уравнение линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве, имеет n попарно различных действительных корней, то существует базис, в котором матрица этого оператора является ...
• диагональной

19. Совокупность m · n действительных чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, где m — число строк, n — число столбцов таблицы, называется:
• прямоугольной матрицей

20. Отображение А: L ® L называют линейным оператором, если выполнено условие
• А (aх + bу) = aА (х) + bА (у)

21. Отображение А: R¹ ® R¹, заданное выражением Ах = sin х, является:
• нелинейным

22. Матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе из его собственных векторов является:
• диагональной

23. В линейном пространстве К₃[x] многочленов переменной х степени не выше третьей элемент х² + 7х + 9х³ + 3 имеет в базисе 1, х, х², х³ координаты:
• 3, 7, 1, 9

24. В линейном пространстве К₃[x] многочленов переменной х степени не выше третьей элемент 3х² + 8х + 4х³ + 5 имеет в базисе 1, х, х², х³ координаты:
• 5, 8, 3, 4

25. В линейном пространстве К₃[x] многочленов переменной х степени не выше третьей элемент 5х² + 2х + 4х³ + 3 имеет в базисе 1, х, х², х³ координаты:
• 3, 2, 5, 4

26. В евклидовом пространстве при переходе из одного ортонормированного базиса в другой с матрицей перехода U формулу преобразования матрицы линейного оператора можно записать в виде:
• А₁ = U^ТАU

27. Из перечисленных матриц, можно перемножить:
• А₄₃
• В₃₅

28. Квадратичная форма канонического вида не имеет в своей записи
• попарных произведений переменных

29. В линейном пространстве V₂ любые два коллинеарных вектора:
• линейно зависимы

30. Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен:
• произведению определителей этих матриц

31. Если А = (а_ij) _nn квадратная матрица, то побочную диагональ образуют элементы
• а_1n, а_2n-1, ..., а_n1

32. Квадратные матрицы А и В порядка n называют подобными, если существует такая невырожденная матрица Р, что ...
• Р^-1АР = В

33. Матрицы А_b и А_е линейного оператора А: L ® L, записанные в базисах b и е линейного пространства L, для которых матрица перехода равна U, связаны друг с другом соотношением
• А_е = U^-1 А_b U

34. Матрица тождественного оператора независимо от выбора базиса в линейном пространстве является единичной
• квадратной матрицей

35. Отображение А: R² ® R², заданное выражением Ах = (-у, -х), где а={х, у} является:
• линейным

36. Элемент матрицы Грама определяется формулой
• g_ij = (е_i, е_j)

37. Отображение А: R² ® R², заданное выражением Ах = (хсos a, ysin a), где а — некоторый фиксированный угол, является:
• линейным

38. В линейном арифметическом пространстве система векторов е₁ = (1, 0, ..., 0), е₂ = (0, 1, 0, ..., 0), ..., е_n = (0, 0, ..., 1) является:
• линейно независимой

39. В евклидовом пространстве матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является:
• ортогональной

40. При транспонировании матрицы ее определитель
• не меняется

41. Нормированное пространство — это линейное пространство, в котором задана норма ...
• вектора

42. Если в какой-нибудь строке матрицы прибавить другую ее строку, умноженную на число, то определитель этой матрицы
• не меняется

43. Матрицей линейного оператора, обратного оператору А, действующему в линейном пространстве L и имеющему в некотором базисе матрицу А, будет в том же базисе матрица
• А^-1

44. Размер матрицы С = А₁₂ · В₂₃ равен:
• С₁₃

45. В линейном пространстве С_{[-2, 2]} функций, непрерывных на отрезке [-2, 2], линейно независимой является система функций:
• 1, x-1, (x-1) ², (x-1) ³

46. Матрица В называется обратной для матрицы А (квадратная порядка n), если выполняется условие
• АВ = ВА = Е

47. Квадратную матрицу Q называют ортогональной, если она удовлетворяет условию Q^ТQ = А, где матрица А
• единичная

48. Если матрица А₅₄, то из перечисленных матриц, транспонированными к А могут являться:
• N₄₅
• С₄₅

49. Если матрицы А и В подобны В = Р^-1АР, то ...
• det A = det B

50. Квадратичная форма f (x) = x^TAx, где x = (x₁, ..., x_n) ^T положительно определенная, если для любого ненулевого столбца х выполняется неравенство
• f (x) > 0

51. Матрица, транспонированная к ортогональной матрице, является матрицей
• ортогональной

52. В линейном пространстве С_{[-1, 1]} функций, непрерывных на отрезке [-1, 1], линейно независимой является система функций:
• 1, x, x²

53. Число собственных значений симметрической матрицы порядка n с учетом их кратности k равно числу
• n

54. Матрицей оператора А*: Е ® Е, сопряженного к оператору А: Е ® Е, является матрица
• А^Т

55. Пусть А: L ® L — линейный оператор. Тогда столбец у координат вектора у = А (х) в заданном базисе b линейного пространства L выражается через столбец координат вектора х и матрицу А линейного оператора формулой
• у = Ах

56. Матрица, обратная к ортогональной, является матрицей
• ортогональной

57. Пусть в произвольном линейном пространстве даны два вектора с₁ и с₂ и пусть векторы а = 2с₁ + 3с₂, е = с₁ + 5с₂, у = 3с₁ — 2с₂. Тогда система векторов а, е, у:
• линейно зависима

58. Пусть в произвольном линейном пространстве даны два вектора с₁ и с₂ и пусть векторы а = 5с₁ + 3с₂, е = -с₁ + 2с₂, у = 7с₁ — 3с₂. Тогда система векторов а, е, у:
• линейно зависима

59. Из перечисленных матриц, можно перемножить:
• К₃₁
• С₁₅

60. Из перечисленных матриц, можно перемножить между собой:
• L₁₃
• К₁₁

61. Если А = (а_ij) _nn квадратная матрица, то главную диагональ образуют элементы
• а₁₁, а₂₂, ..., а_nn

62. Любая симметрическая матрица М порядка n подобна некоторой
• диагональной

63. Характеристическим уравнением матрицы А называется уравнение
• det (A -lЕ) = 0

64. Линейный оператор А*: Е ® Е называется сопряженным к линейному оператору А: Е® Е, если для любых векторов х, у Î Е верно равенство
• (Ах, у) = (х, А*у)

65. Если матрица линейного оператора в некотором ортогональном базисе ортогональна, то этот оператор
• ортогональный

66. При умножении всех элементов некоторой строки матрицы на число определитель исходной матрицы
• умножается на это число

67. Векторы (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) из пространства V₃
• ортогональны

68. Для того чтобы квадратичная форма f (х) = x^TAx от n переменных была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы для угловых миноров матрицы А выполнялись неравенства:
• D₁ > 0, D₂ > 0, D₃ > 0, ..., D_n > 0

69. Из перечисленных матриц, можно перемножить между собой:
• А₂₅
• С₅₄

70. В линейном пространстве К₂[x] многочленов переменной х степени не выше второй элемент 2х² + 3х + 4 имеет в базисе 1, х, х² координаты:
• 4, 3, 2

71. Два вектора в евклидовом пространстве ортогональны, если их скалярное произведение равно:
• 0

72. Для любых векторов х, у евклидова пространства Е справедливо неравенство Коши — Буняковского
• (х, у) <= (х, х) (у, у)

73. В линейном пространстве К₂[x] многочленов переменной х степени не выше второй элемент 6х² + 9х + 2 имеет в базисе 1, х, х² координаты:
• 2, 9, 6

74. Отображение А: R² ® R², заданное выражением Ах = (-хsin a, ycos a ), где а — некоторый фиксированный угол, является:
• линейным

75. Любая ортогональная система ненулевых векторов
• линейно независима

76. Для того чтобы квадратичная форма f (х) = x^TAx от n переменных была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства для угловых миноров матрицы А:
• -D₁ > 0, D₂ > 0, -D₃ > 0, ..., (-1) ⁿ D_n > 0

77. Линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е, называют ортогональным оператором, если он сохраняет в Е
• скалярное произведение

78. Ненулевой вектор х в линейном пространстве L называют собственным вектором линейного оператора А: L ® L, если для некоторого действительного числа l выполняется соотношение
• Ах = lх

79. Любую квадратическую форму можно привести к каноническому виду преобразованием
• ортогональным

80. Если оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е, переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то этот оператор
• ортогональный

81. Если система векторов линейно независима, то ее матрица Грама
• невырожденная

82. Если две строки матрицы равны, то ее определитель
• det = 0

83. Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям
• ортогональны

84. В линейном пространстве любой вектор можно разложить по данному базису:
• единственным образом

85. В линейном пространстве V₃ любые три компланарных вектора:
• линейно зависимы

6. Метод приведения матриц к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований 1-го и 2-го типа называют методом
• Гаусса

87. Отображение А: R² ® R², заданное выражением Аа = (1/х, у), является:
• нелинейным

88. Система векторов е₁ = (1, 0, -1); е₂ = (1, 0, 1); е₃ = (0, 1, 0) в евклидовом арифметическом пространстве R³ образует базис
• ортогональный

89. В линейном пространстве С_{[0, 2p]} функций, непрерывных на отрезке [0, 2p], линейно независимой является система функций:
• 1, sin x, sin² x

90. В линейном пространстве К₃[x] многочленов переменной х степени не выше третьей элемент 3х² + 2х + 4х³ + 2 имеет в базисе 1, х, х², х³ координаты:
• 2, 2, 3, 4

91. Обратной к ортогональной матрице Q является матрица
• Q^Т

92. В линейном пространстве К₂[x] многочленов переменной х степени не выше второй элемент 7х² + 9х + 5 имеет в базисе 1, х, х² координаты:
• 5, 9, 7

93. При перестановке двух строк матрицы определитель
• меняет знак

94. Если линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е, сохраняет евклидову норму, то этот оператор
• ортогональный

95. Если линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е, ортогональный, то он переводит ортонормированный базис в:
• ортонормированный

96. В линейном пространстве К₂[x] многочленов переменной х степени не выше второй элемент 3х² + 5х + 4 имеет в базисе 1, х, х² координаты:
• 4, 5, 3

97. Система уравнений, у которой не существует решения, называется:
• несовместной

98. Если матрица А является симметрической, то все корни ее характеристического уравнения
• действительные

99. Произведение двух ортогональных матриц одного порядка является матрицей
• ортогональной

100. Матрица А имеет порядок m x n, а В — k x d. Чтобы их перемножить, необходимо чтобы ...
• n = k

101. Число собственных значений самосопряженного оператора, действующего в n-мерном евклидовом пространстве, равно с учетом их кратности k числу
• n

102. Ранг квадратичной формы равен числу коэффициентов в ее каноническом виде
• отличных от нуля

103. Если А и В — два линейных оператора, действующих в евклидовом пространстве Е, то оператор (А + В) *, сопряженный сумме этих операторов, равен:
• А* + В*

104. Матрица самосопряженного оператора в любом ортонормированном базисе является:
• симметрической

105. Размер матрицы К = М₂₄ · N₄₂ равен:
• К₂₂

106. Линейный оператор А: Е ® Е называют самосопряженным, если ...
• А* = А

107. Если в квадратной матрице все ее элементы, стоящие ниже или выше главной диагонали равны нулю, то эта матрица называется:
• треугольной

108. Для того, чтобы действительное число l являлось собственным значением линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем уравнения
• det (A-lЕ) = 0