1. Частные виды матриц. Умножение матриц, свойства

• Название: 1. Частные виды матриц. Умножение матриц, свойства
• Дата: 31.03.2018
• Размер: 296.98 Kb.
• Имя файла: 2.docx
• Тип: Документы; #39954
• страница: 1 из 3

1.Частные виды матриц. Умножение матриц, свойства. Числовой матрицей размера m*n наз-ся прямоугольная чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Виды матриц:

1. прямоугольные размера m*n

2. Матрица-строка (вектор-строка), размера 1*n,

3. Матрица-столбец (вектор-столбец) размера m*1.

4. квадратичная матрица порядка n- это матрица, у которой число строк равняется числу столбцов m=n. Кол-во строк и столбцов определяет порядок матрицы.

5.верхняя и нижняя треугольные матрицы. В верхней треуг.матрице все элементы, состоящие ниже главной диагонали, равны нулю.

6. диагональная и скалярная матрица( в диаг. Матрице ненулевым являются только элементы, состоящие на главной диагонали).

7. единичная матрица-это матрица, диагонали которой равны единице.

8. Симметричная матрица- это матрица,элементы которой расположены симметрично относительно главной диагонали, одинаковы. Симметричная матрица совпадает с транспонированной матрицей.

Линейные операции над матрицами: Сложение (для того чтобы сложить или вычесть две матрицы, нужно сложить или вычесть их соответствующие элементы, т.е. элементы, стоящие на одинаковых местах обеих матрицах).Умножение (для того, чтобы умножить или разделить матрицу на отличное от нуля число, нужно умножить или разделить на это число все элементы этой матрицы).Линейная комбинация матриц ( матрица С наз-ся линейной комбинаций матриц А и В , если выполняется равенство: С=αА+βВ, где альфа и бета- коэф.лин.комб).Св-ва лин.комб.: 1. А+В=В+А(перемест.закон),2. (А+В)+С=А+(В+С)(сочет.закон),3.(αβ)А= α(βА).4. (α+β)А= αА+βА.5. α(А+В)= αА+ αВ.

6.(-1)А=А(-1)—А.

2.Определение матрицы. Линейные операции с матрицами.

Матрица –это таблица, заполненная числами. Матрица обозначается : А;В;С (заглавные буквы латинского алфавита)Числовой матрицей размера (m*n) наз-ся прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:

, где i- первый индекс, показывающий номер строки (номер ур-ия в системе), а j-второй индекс указывает на номер столбца( номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент). Строки и столбцы в матрицы наз-ся её рядами.

Линейные операции над матрицами:

1.Сложение (вычитание) матриц. Для того, чтобы сложить (вычесть) две матрицы, нужно сложить (вычесть) их соответствующие элементы(т.е. элементы, стоящие на одинаковых местах обеих матрицах). Складывать и вычитать можно только матрицы одного размера.

2. Умножение матрицы на число. Для того, чтобы умножить (разделить) матрицу на отличное от нуля число, нужно умножить (разделить) на это число все элементы этой матрицы.

3. Линейная комбинация матриц. Матрица С наз-ся линейной комбинацией матриц А и В, если выполняется равенство: , где α и β – коэффициенты линейной комбинации.

Cв-ва линейных операций

1.А+В=В+А переместительный закон.2.(А+В)+С=А+(В+С) сочетательный закон. 3. (αβ)А=α(βА) 4. (α+β)А= 5. 6. (-1)А = А(-1) = -А.

3.Определители.Правила вычисления.

Определителем или детерминантом квадратной матрицы порядка n называется число, вычисляемое из элементов этой матрицы по определенному правилу. Определитель обозначается символами А или detA. Строки и столбцы определителя наз-ся его рядами.

Вычисление определителей.

1.Определитель матрицы 1-го порядка равен самому элементу этой матрицы.

2.Определитель матрицы 2-го порядка. Определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

3.Определитель матрицы 3-го порядка. *Вычисление определителя можно проводить по элементам любого порядка. (т.е. разложение по элементам n-ой строки или разложение по элементам n-го столбца). *вычисление можно выполнить с помощью различных линейных операций, а именно: умножить элементы какого-либо ряда на число и сложить с соответствующими элементами другого ряда так, чтобы при этом какой-либо элемент стал равен 0.

4. Определить высших порядков. Метод вычисления определителей высших порядков состоит в последовательном понижении порядка определителя вплоть до второго. При этом необходимо сочетать разложение определителей по элементам какого-либо ряда с предварительным занулением всех его элементов, кроме одного.

4. Свойства определителей

1. Определитель матрицы не изменится при ее транспонировании.det А = det��T. Транспонирование - перемена ролями строк и столбцов матрицы. Это свойство говорит о равноправности строк и столбцов матрицы. Определители этих матриц равны, так как столбцы матрицы ���� являются строками матрицы А.

2. Если переставить в определителе матрицы два параллельных ряда, то определитель сменит знак на противоположный.

3. Множитель, общий элементам какого-либо ряда, можно вынести за знак определителя:Или обратное: чтобы умножить определитель на число, нужно умножить на это число элементы одного из рядов определителя.

4. Определитель матрицы равен нулю, если все элементы какого- либо ряда равны нулю

5. Определитель матрицы равен нулю, если матрица содержит два одинаковых ряда

6. Определитель матрицы равен нулю, если матрица содержит два ряда, элементы которых пропорциональны

7. Определитель матрицы равен нулю, если в матрице есть ряд, элементы которого представляют собой линейную комбинацию соответствующих элементов других рядов.

8. Если все элементы какого-либо ряда определителя представить в виде суммы двух слагаемых, то определитель можно записать в виде суммы двух определителей.

9. Определитель матрицы не изменится, если все элементы какого- либо ряда умножить на отличное от нуля число и прибавить к соответствующим элементам другого ряда.

10. Основное правило вычисления определителей.

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения.

Это правило называется разложением определителя по элементам какого-либо ряда.

11. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.
5. Определение минора и алгебраического дополнения.Определение: Минором элемента ������ определителя порядка n называется определитель порядка (n-1) полученный из элементов данного после вычеркивания из него строки с номером i и столбца с номером j, на пересечении которых стоит этот элемент.Минор - ������ . Строка на столбец.Определение: Алгебраическим дополнением элемента ������ матрицы А порядка n называется минор этого элемента ������ взятый со знаком (−1)��+�� .������=(−1)��+��∗������.
6. Ранг матрицы. Операции над матрицами не меняющие ранг.

Ранг матрицы А – максимальное количество линейно независимых строк матрицы, наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы. Обозначается Rang A = R.Матрицы, получаемые друг от друга путем элементарных преобразований, называются эквивалентными и имеют одинаковый ранг. Элементарные преобразования первого рода:1. Перестановка строк матрицы.2. Умножение какой-либо строки на число λ.3. Прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженные на число λ.Элементарные преобразования второго рода - это те же действия со столбцами матрицы.
7.Вычисление ранга матрицы. Для нахождения ранга матрицу приводят к треугольному виду, при этом используются те же приемы, что и при вычислении определителей высокого порядка. Выявляемые при этом линейно зависимые строки вычеркиваются, а по количеству оставшихся линейно независимых строк судят о ранге.

8.Теорема о базисном миноре. Следствия.

Столбцы матрицы А, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через остальные столбцы из базисного минора В матрице  размеров  минор -го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры -ro порядка равны нулю или их вообще не существует.

Следствие. Если все столбцы матрицы  линейно выражаются через  столбцов , которые образуют линейно независимую систему, то ранг матрицы  . ≠0 , а также ≠0

9-Обратная матрица, вычисление, приложение.

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если АА^-1=А^-1А=E.

Теорема.
Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. определитель не должен быть = 0 (|A|≠0)


Замечание:

Алгебраические дополнения для строчек матрицы А записываются в столбцы транспонированной матрицы. С помощью обратной матрицы решаются матричные уравнения. Например:

При |A|≠0 AX=B (умножаем слева на ) -> (АХ)=В -> (А)Х=В -> ЕХ=В -> Х=В

Свойства:

А=

(А^-1)^-1 = А(А^t)

10) Теорема о существовании обратной матрицы.

Для того что бы квадратная матрица А имела обратную А-1 необходимо и достаточно, что бы она не была не выраженной . Необходимость матрицы имеет обратную.

А А-1 =Е

Теорема о единственности обратной матрицы.

Если матрица А имеет обратную , то эта обратная матрица единственная.

12) Найти общее решение и какое–нибудь частное решение системы Решение выполняем с помощью калькулятора. Выпишем расширенную и основную матрицы: Приведем матрицу к треугольному виду. Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.

Получив соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4,x5, то есть нашли общее решение: x3 = 0 x2 = 1 - 3x4 + 6x5 x1 = - 1 + 3x4 - 8x5 Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.
13) Теорема Кронекера-Капелли Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

14) Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений - вывод формулы. Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица A-1. Умножим обе части матричного уравнения A*X=B слева на A-1 .Имеем A-1*A*X=A-1*B. Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как (A-1*A)*X=A-1*B, а по определению обратной матрицы A-1*A=Е (E – единичная матрица порядка n на n), поэтому (A-1*A)*X=A-1*B --> Е*X= A-1*B --> X= A-1*B . Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле X= A-1*B . . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы A-1.Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу A-1 только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными можно решать матричным методом только тогда, когда определитель основной матрицы системы отличен от нуля.^-1=(A^-1)^t =|A|^-1=1\|A|

15. Методом Крамера можно решать системы с одинаковым числом n-уравнений и неизвестных и отличным от нуля определителем системы. В этом случае система имеет единственное решение. Неизвестные находятся по формуле:



– определитель неизвестного , полученный при замене столбца с номером в определителе системы на столбец свободных членов, ∆ - определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных.

16. Метод Гаусса (Метод последовательного исключения\ переменных).

Суть метода Гаусса состоит в том, что путем последовательного исключения неизвестных система уравнений превращается в ступенчатую (треугольную или трапециевидную), эквивалентную систему уравнений. На практике принято все действия приводить не над системой, а над строками расширенной матрицы.
17)Общее решение систем линейных ур-ий. Бесконечное множество решений системы коротко записывают в виде так называемого общего решения системы.

Нахождение общего решения:

1)Путем элементарных преобразований приводим систему к ступенчатому виду

2)Выбираем общий минор (в миноре- базисные неизвестные. Остальные- свободные)

3) выражаем базисные через свободные

4) Подставляем вместо базисных полученные выражения

5) Получаем общее решение.
18)Решение неопределенных систем линейных ур-ий

1)Выписываем расширенную матрицу

2) Путем элементарных преобразований приводим систему к ступенчатому виду

3) Удостоверяемся что система совместна (RangA=RangA(расширенной))

4) Выбираем базисный минор (в миноре- независимые неизвестные. Остальные- зависимые)

5) Находим общее решение. Подставляем вместо зависимых переменных произвольные числа =>получаем частное решение

6) Находим фундаментальное решение
19) .Однородные системы уравнений (2 теоремы)

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае.

Теорема. 1.Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Теорема.2(свойство свободных переменных).Если свободным переменным системы придать произвольные значения , тогда:

можно построить решение системы уравнений, у которого значения свободных переменных будут равны соответственно ;

если у решений и системы уравнений значения свободных переменных совпадают, то и сами решения совпадают.

Следствие. Все решения системы получаются так же, как и решение .

Значения для свободных переменных можно выбирать бесконечным числом различных способов, поэтому система уравнений является неопределенной.

Разрешенная система уравнений совместна всегда. Она будет определенной, если число уравнений равно числу неизвестных, и неопределенной, если число уравнений меньше числа неизвестных.
20.фундаментальная система решений систем линейных уравнений :

 множество всех решений системы линейных однородных уравнений образует векторное пространство, и базис этого пространства называется ФСР данной системы. Зная ФСР некоторой системы линейных однородных уравнений, из нее можно сконструировать общее решение системы в виде линейной комбинации решений, входящих в ФСР.