1. Частные виды матриц. Умножение матриц, свойства

• Название: 1. Частные виды матриц. Умножение матриц, свойства
• Дата: 31.03.2018
• Размер: 296.98 Kb.
• Имя файла: 2.docx
• Тип: Документы; #39954
• страница: 2 из 3

Определение 1.

Минор матрицы называется базисным , если он неравен 0, и окаймляющие его миноры либо все равны 0, либо совсем отсутствуют.

Теорема о базисном миноре.

Столбцы матрицы, пересекающие главный минор линейно независимы; Всякий столбец через них линейно выражается.

Определение 2.

Всякая максимальная линейно независимая система решений однородной системы уравнений (1), называется фундаментальной системой решений (ФСР).

Теорема:

Если ранг r , матрицы из коэффициентов системы линейных однородных уравнений (1), меньше m, то всякая ФСР системы (1) состоит из n-r решений.

Пример №1.

Дана однородная система линейных алгебраических уравнений

.

Найти ФСР и общее решение системы.

1.Составим матрицу системы.

2. Легко показать, что ранг матрицы A=2, значит ФСР состоит из трех решений (5-2=3).

3. В матрице A возьмем базисный минор (минор второго порядка):

.

4. Отбрасываем последние уравнения системы , а неизвестные ,

считаем «свободными» и переносим их в правую часть уравнений.

Получим:

. (2)

5. Ищем первое базисное решение X , для этого положим , тогда получим систему:

(3)

Определителем матрицы системы является базисный минор, он отличен от 0, значит система (3) имеет единственное решение:.

Таким образом

= .

6. Полагая в системе (2), находимто есть, вторым базисным решением является столбец:

.

7. Полагая: , получаем -

.

8. Итак, ФСР получена; построенная таким образом ФСР называется нормальной.

9. Столбцы образующие ФСР линейно независимы, так как свободные неизвестные были выброшены так, что выделенный минор третьего порядка отличен от 0;



10.Теперь выпишем общее решение исходной однородной системы линейных алгебраических уравнений.

,

.

21. Линейное пространство

Линейным пространством над полем действительных чисел называется множество L, на котором определены операции сложения и умножения на произвольное действительное число так, что выполнены требования (они называются аксиомами линейного пространства):





Так, что выполнены требования (аксиомы линейного пространства)








22. Линейные преобразования координат.

   Будем говорить, что на множестве векторов R задано преобразование А, если каждому вектору хR по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор АхR.

Определение 9.1. Преобразование А называется линейным, если для любых векторов хи у и для любого действительного числа λ выполняются равенства:

               А(х + у)=Ах + Ау,   А(λх) = λ Ах.                                                           (9.1)
Определение 9.2.  Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор хв самого себя. 

Тождественное преобразование обозначается Е:  Ех = х.

   Рассмотрим трехмерное пространство с базисом е₁, е₂, е₃, в котором задано линейное преобразование А. Применив его к базисным векторам, мы получим векторы Ае₁, Ае₂, Ае₃, принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса:

                    Ае₁ = а₁₁ е₁ + а₂₁е₂ +а₃₁е₃,

                    Ае₂ = а₁₂ е₁ + а₂₂е₂ + а₃₂е₃,                                                                     (9.2)

                    Ае₃ = а₁₃е₁ + а₂₃е₂ + а₃₃е₃    .

Матрица     называется матрицей линейного преобразования А в базисе е₁, е₂, е_3 . Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах (9.2) преобразования базиса.
Замечание. Очевидно, что матрицей тождественного преобразования является единичная матрица Е.
Для произвольного вектора х =х₁е₁ + х₂е₂ + х₃е₃ результатом применения к нему линейного преобразования А будет вектор Ах, который можно разложить по векторам того же базиса:Ах =х`<sub>1</sub>е<sub>1</sub> + х`₂е₂ + х`<sub>3</sub>е<sub>3</sub>, где координаты x`_i можно найти по формулам:

х`₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃,

x`₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃,                                                                                     (9.3)

x`₃ = a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃.

Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А.     Преобразование матрицы линейного преобразования

при переходе к новому базису.
Рассмотрим линейное преобразование А и два базиса в трехмерном пространстве: е₁, е₂, е₃и е₁, е₂, е_3.  Пусть матрица С задает формулы перехода от базиса {e_k} к базису {e_k}. Если в первом из этих базисов выбранное линейное преобразование задается матрицей А, а во втором – матрицей А, то можно найти связь между этими матрицами, а именно:

А = С^-1АС                                                                (9.4)

Действительно,  , тогда А. С другой стороны, результаты применения одного и того же линейного преобразования А в базисе {e_k}, т.е. , и в базисе {e_k}: соответственно  - связаны матрицей С: , откуда следует, что СА=АС. Умножая обе части этого равенства слева на С^-1, получим  С^-1СА  = = С^-1АС, что доказывает справедливость формулы (9.4).





23. Собственный вектор и собственное значение матрицы.

Определение: Ненулевой вектор x называется собственным вектором A, если существует действительное число t такое, что A(x) = tx.

Действительное число t называется собственным значением или собственным числом оператора A, если существует ненулевой вектор x такой, что выполнено равенство . При наличии равенства мы будем называть x собственным вектором, относящимся к собственному значению t, а t — собственным значением, относящимся к собственному вектору x.

24. Векторы, линейные операции над векторами.

. Вектором именуется направленный отрезок прямой, который характеризуется направлением и длиной

Одна точка такого отрезка является началом, а другая граничная тока — концом вектор. Вектор обозначается или , где является началом вектора, а— концом. Длина вектора (также называемый его модулем) обозначается какили .

Нуль-вектором именуется вектор, в котором конец совпадает с его началом.

 

О: Коллинеарными именуются векторы, которые расположены на параллельных (к примеру, на одной) прямых, а компланарными называются векторы, которые находятся в параллельных плоскостях.

О: Равными являются векторы, которые: 1) коллинеарны; 2) направлены одинаково ( то есть сонаправлены — ); 3) обладают равными модулями.

Таким образом, существует возможность переноса вектора параллельно самому себе, при перемещении началав любую прочую точку. Векторы подобного типа именуются свободными.

Линейные операции, выполняемые над векторами: сложение, вычитание и умножение на число.

Суммойисовмещён с началом векторас концом вектора



Свойства сложения векторов:

1⁰. Переместительный закон (коммутативность):



Доказательство выводится из рисунка 2.2, б. На этом же рисунке показано правило параллелограмма при сложении векторовибудет вектор, который совпадает с диагональю параллелограмма, берущей начало из общего начала векторов.

2⁰. Сочетательный закон:



Доказательство выводится из рис. 2.3. На этом же рисунке дано правило сложения нескольких векторов, в случае когда начало следующего вектора совмещается с концом предыдущего. Сумма представляет собой вектор, который соединяет начало первого вектора с концом последнего слагаемого вектора.

Вычитание векторов

Разностьюивекторовиявляется вектор, для которого справедливо. Исходя из определения имеем правило построения вектора, когда начала обоих векторовсовмещены: необходимо совместить конец вычитаемого векторас концом уменьшаемого вектора



Умножение вектора на число. Произведением векторана число и направлен в ту же сторону если() и противоположную сторону если() .Свойства умножения вектора на число:

1⁰. Сочетательное свойство (ассоциативность):

.

2⁰. Распределительное свойство (дистрибутивность):



Свойства легко проверяются геометрически.

25. Базис — упорядоченный набор векторов в векторном пространстве.

Любой вектор в одномерном, двумерном и трёхмерном пространствах можно разложить на один, два или три базисных вектора соответственно.

В пространстве за базис можно взять любые 3 неколлинеарных вектора.



Альфа, Бета и Гамма – координаты данного вектора d в система в системе координат с базисами a, b и c.
26. Расположение точки P на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел (x,y) или тремя числами (x,y,z)

В полярной системе координат, применяемой на плоскости, положение точки P определяется её расстоянием до начала координат r = |OP| и углом «φи» её радиус-вектора к оси Ox

Аффинная система координат — прямолинейная система координат в аффинном пространстве. На плоскости задается точкой начала координат О и двумя упорядоченными не коллинеарными векторами, которые представляют собой аффинный базис. Осями координат в данном случае называются прямые, проходящие через точку начала координат параллельно векторам базиса, которые, в свою очередь, задают положительное направление осей. В трехмерном пространстве, соответственно, аффинная система координат задается тройкой линейно независимых векторов и точкой начала координат. Для определения координат некоторой точки М вычисляются коэффициенты разложения вектора ОМ по векторам базиса
27. Линейная зависимость векторов

Линейной  комбинацией  векторов   с  коэффициентами  называется вектор 

Линейная комбинация векторов образуется из них с помощью операций умножения на число и сложения, следовательно, она также является вектором.

 Числа  называются коэффициентами разложения.

Если линейная комбинация равна нулю, при этом среди чисел есть хотя бы одно, не равное нулю, то система векторов называется линейно зависимой.

Если линейная комбинация равна нулю только тогда, когда все числа равны нулю, то система векторов

называется линейно независимой.

Теорема 1.1. Система векторов  линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Теорема 1.2. Если среди векторов  имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Теорема 1.3. Если часть векторов системы векторов  является линейно зависимой, то и все векторы системы линейно зависимы.

28. Проекции вектора, свойства.

Проекции вектора на ось – это вектор, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора.

Числовая проекция вектора на ось – это число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между этим вектором и вектором, определяющим направление оси.

Чтобы построить проекцию вектора AB на ось L нужно из точек A и B опустить перпендикуляры на направленную прямую L - основания этих перпендикуляров дадут начало и конец искомой проекции Пр l¯AB

В этих обозначениях определение числовой проекции вектора  на прямую, направленную как вектор , примет вид , где  - длина вектора ,  - угол между векторами  и .

Итак, мы имеем первую формулу для вычисления числовой проекции вектора: . Эта формула применяется, когда известны длина вектора  и угол между векторами  и .
29)Скалярное произведение векторов

Геометрическая интерпретация.  a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + ... + an · bn.

Свойства скалярного произведения векторов

1)Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:a · a ≥ 0

2)Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:a · a = 0   <=>   a = 0

3)Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:a · a = |a|²

4)Операция скалярного умножения коммуникативна:a · b = b · a

5)Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны: a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

6)(αa) · b = α(a · b)

7)Операция скалярного умножения дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

30)Векторное произведение векторов

Векторное произведение двух векторов a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b =

= i(aybz - azby) - j(axbz - azbx) + k(axby - aybx)

Свойства векторного произведения векторов

Геометрический смысл векторного произведения.

 Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:S_парал = [a × b]

Геометрический смысл векторного произведения.

 Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

SΔ =	1	|a × b|
	2

• 
  Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
  
• 
  Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
  
• 
  a × b = -b × a
  
• 
  (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
  
• 
  (a + b) × c = a × c + b × c
  

31Смешанное произведение Викторов

Смешанным произведением векторов a, b и c называется число, равное скалярному произведению вектора a→ на векторное произведение векторов b и c.

Геометрический смысл:

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на трех векторах(не комланарных (V=0)).

Свойства:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке перемножаемых векторов (т.е. a встает на место b, b встает на место c, c встает на место а и т.д.((a,b,c) переходит в (c,a,b)(они равны))

2. Смешанное произведение меняет знак при перестановке двух векторов

3. Смешанное произведение равно нулю, если векторы компланарны (если два вектора равны, то произведение также равно нулю)

Если три смешанное произведение трех векторов положительно их называют Правая тройка векторов, если отрицательная, то левая тройка векторов.

Вычисление:

Смешанное произведение кратко можно записать в виде определителя 3 – го порядка, строки которого являются координаты перемножаемых векторов

Приложение смешанного произведения

1. Объемы параллелепипеда(1) и пирамиды(2):

V1=(a,b,c) ;

V2=(a,b,c) .


2. Линейная независимость трех векторов:

Если смешанное произведение не равно нулю, то совокупность векторов является линейно независимой и образует базис в пространстве (т.е.некомланарны) и наоборот, если смешанное произведение равно нулю, то совокупность векторов не является линейно независимой и не образует базис в пространстве (т.е. комланарны).

32 Условия коллинеарности, компланарности и перпендикулярности векторов

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что a = n · b

2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны(). Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Условия компланарности векторов

1.Векторы компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

2.Векторы компланарны если они линейно зависимы (коллинеарны).

Условие перпендикулярности векторов
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю().

33.Прямая и линия на плоскости, ее общее ур-ие и его исследование.Уравнением линии (или кривой) на плоскости называется такое уравнение c двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на линии

A(x – x0) + B(y – y0) = 0 называ-
ют уравнением прямой, проходящей через точку M0(x0;y0) перпендикулярно вектору N̄ = {A; B} (в векторной и коорди-
натной форме соответственно).

Уравнения (r̄ , N̄) + C = 0 и Ax + By + C = 0 называют общим уравнением прямой на плоскости (в векторной и координатной форме соответственно).

Исследование

Если в уравнении Ax+By+C = 0 все коэффициенты A,B и C отличны от нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – уравнение называют неполным.

A и B – ненулевые, а C = 0, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax+By = 0. Такая прямая проходит через начало координат O(0;0). Пусть в общем уравнении прямой C = 0 и один из коэф-
фициентов A или B тоже нулевой, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax = 0 или By = 0.

Эти уравнения можно записать в виде

x = 0 (уравнения координатной оси Oy)

и y = 0 (уравнения координатной оси Ox).

34.Вывести параметрическое и каноническое ур-ие прямой на плоскости.

Вектор, параллельный прямой, называют направляющимвектором этой прямой.

Уравнение r̄ = r̄ + t  S и систему уравнений

называют параметрическими уравнениями прямой (в векторной и координатной форме соответственно).
Каноническое уравнение прямой на плоскости

Вектор s не параллелен ни одной из координатных осей (т.е. m  0 и n  0).

Уравнение называют каноническим уравнением прямой на плоскости.

35 Общее уравнение плоскости, вывод, исследование

Всякая поверхность в пространстве задается в декартовых координатах как функция f(x, y, z)=0

Всякая поверхность первого порядка – плоскость, отсюда:

Ax+By+Cz+D=0 Общее уравнение плоскости

N{A; B; C} Нормальный вектор плоскости

36 Уравнение плоскости через три точки, вывод

Дано: 3 точки M1(x1,y1,z1); M2(x2,y2,z2); M3(x3,y3,z3)

1 способ

Уравнение A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0 – плоскость, проходящая через точку M1(x1,y1,z1)

Находим коэффициенты A, B, C из условия N={A, B, C}

N перпендикулярен двум векторам М1М2 и М1М3

2 способ




Берем случайную точку в плоскости M(x, y, z)

Векторы М1М2, М1М3, М1М должны быть компланарны, поэтому

Скалярное произведение рано 0

М1М2 * М1М3 * М1М=0



Раскрываем определитель, получаем уравнение плоскости.