ВТА и Численные Ряды. 3 Семестр. 1. Определение двойного интегр и его основ свойства. Теорема о среднем. Классы интегрир функций двух переменных. Пусть произвольная функция f(X,y) определена всюду на замкнутой квадрируемой области D.
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
1. Определение двойного интегр. и его основ. свойства. Теорема о среднем. Классы интегрир. функций двух переменных. Пусть произвольная функция f(x,y) определена всюду на замкнутой квадрируемой области D. Те. фигура, ограниченная простой замкнутой кривой и эта фигура имеет площадь. Разобьем область D при помощи конечного числа спрямляемых кривых на n частичных областей Di. Площадь области Di обозначим через Di. Свойства частичных областей Di : Каждая точка области D будет принадлежать хотя бы одной из областей Di 2) Каждая из областей Di квадрируема(имеет площадь) Примем, что области Di и Dj (i j) могут иметь общими только граничные точки. Разбиение области D(T(Di)) будем называть правильным(допустимым). В каждой области Di выберем точку p i ( i , i ) и составим интегральную сумму i=1 n f(p i )* D i (1) Определение 1. Диаметром области D называется точная верхняя грань расстояний межлу любыми 2-мя точками этой области i =diamD i 0. =sup{ i }. Определение 2. Число I называют пределом интегральной суммы) при 0, если для любого 0, найдется ( ) 0 такое что для любого и независимо от выбора точек p i в D i : | -I| . Если данный предел конечен, то функция интегрируема по Риману, а предел называется двойным интегралом в области D: I= D F(p)dD= D f(x,y)dxdy. Свойства 1. Аддитивность D f(x,y)dxdy= D1 f(x,y)dxdy+ D2 f(x,y)dxdy. D 1 ,D 2 - связные, ноне имеющие общих точек по области D. Линейные 2. D [ f(x,y)+ g(x,y)]dxdy= D fdxdy+ D gdxdy, если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в D, аи любые вещественные числа. 3. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в D, то произведение f*g также интегрируемо в этой области. 4. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в D и всюду f(x,y) g(x,y) , то D f(x,y)dxdy D g(x,y)dxdy. 5. Если f(x,y) интегрируема, то |f(x,y)| тоже интегрируема, причем | D f(x,y)dxdy| D |f(x,y)|dxdy. (обратное неверно) 6. Геометрическое D 1 dxdy = D , где D- площадь области D. i i=1 n f(p i )* D i = D i = D – формула нахождения площади плоскостей. Теорема (о среднем Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в D и g(x,y) 0 ( 0) всюду в D, M и m – точные верхняя и нижняя грани f(x,y) в D, то найдется число : m M, что D f(x,y)*g(x,y)dxdy= D g(x,y)dxdy. Классы интегрируемых функций Теорема Всякая непрерывная в области D функция f(x,y) интегрируема в этой области. Док-во: т.к. функция непрерывна в замкнутой обл, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна в этой области. Тогда по определению для любого 0, найдется 0: для любого T( ); w i : i=1 D i = D. Те выполняется достаточное условие интегрируемости. Теорема2:Если функция f(x,y) ограничена в области D и имеет в этой области разрывы лишь в конечном числе спрямляемых кривых, то f интегрируема в этой области.РИС. Док-во: следует из множество точек разрыва имеет площадь. Сведение двойного интеграла к повторному. Теорема 1 (случай прямоугольной области Пусть функция f(x,y) задана в прямоугольной области D=[a,b]*[c,d] ив этой области существует D f(x,y)dxdy. Пусть для каждого x из [a,b] существует одномерный интеграл I(x)= c d f(x,y)dy, тогда существует повторный интеграл a b I(x)dx= a b dx c d f(x,y)dy и справедливо равенство a b dx c d Доказательство. Разобьем прямоугольник D с помощью точек a=x 0 x 1 … x n =b, c=y 0 y 1 … y p =d на n*p частичных прямоугольников D ik =[x i-1 ,x i ]*[y k-1 ,y k ] положим x=x i -x i-1 , y=y k -y k-1 . M ik и m ik – точные грани f(x,y) на этом прямоугольнике, тогда m ik f(x,y) M ik . Пусть i [x i-1 ,x i ]- произвольная точка, тогда m ik f( i ,y) M ik . Проинтегрируем его по y на [y k-1 ,y k ]. m ik y k yk-1 yk f( i ,y)dy M ik y Просуммируем по всем k от 1 до p, умножим на x i и проссумируем по i от 1 до n. i=1 n k=1 p m ik y k x i i=1 n I( i )* x i i=1 n k=1 p M ik y k x i . Пусть наиб диаметр частичной области стремится к 0, тогда левые и правые части будут стремится к двойному интегралу D f(x,y)dxdy, значит существует предел и средней части неравенства, который равен такому же интегралу. По определению этот интеграл равен a b I(x)dx= a b dx c d f(x,y)dy= a b ( c d f(x,y)dy)dx. Замечание в теореме x и y можно менять местами. Теорема 2 (случай произвольной области Пусть выполнены условия 1. Обл D – ограничена, замкнута и любая прямая, параллельная оси OY, пересекает границу области не более чем в х точках (точки пересечения. 2. Для f(x,y) существует D f(x,y)dxdy и для любого х из области D существует однократный интеграл y1(x) y2(x) f(x,y)dy. Тогда существует повторный интеграл a b dx f1(x) f2(x) f(x,y)dy, где a и b- наименьшая и наибольшая абсциссы в области D. При этом справедливо D f(x,y)dxdy = a b dx f1(x) f2(x) f(x,y)dy (1) Доказательство Обозначим через R прямоугольник со сторонами параллельными координатным осям, содержащий в себе область D, а через F(x,y) функцию, совпадающую св точках обл D, и равную нулю в остальных точках прямоугольника R. Для F(x,y) выполняются все условия теоремы, значит справедлива формула R f(x,y)dxdy = a b dx с. Пусть [a,b] - проекция обл на ось OX. т.к. вне обл F(x,y)=0, то формула переходит в формулу) Замечание Если область не удовлетворяет условиям теоремы, то данную область можно разделить на подобласти, где условия выполняются. 3. Тройной интеграл, сведение его к повторному. Пусть функция f(x,y,z) определена всюду в замкнутой кубируемой области V. Разобьем область V наконечное число R замкнутых частичных областей Vi. Каждая из этих областей Vi будет кубируема. Обозначим обьем этой области через Vi. Полученное разбиение обозначим через T(Vi). Свойства T(Vi): каждая точка области V будет принадлежать хотябы одной из областей Vi, включая границы, все области Vi будут кубируемы (иметь обьем) и любая из областей Vi и Vj (i j) могут иметь общими только граничные точки. В каждой частичной области Vi выберем точку p i = (x i ,y i ,z i ). Определение 1. Число i=1 n f(p i )* V i называют интегральной суммой функции f(x,y,z), соответствующей разбиению T(Vi) области V на частичные подобласти V i и данному выбору промежуточных точек p Определение 2. Число I называют пределом интегральных сумм при 0, если для любого 0, найдется 0 такое что для любого и независимо от выбора точек p i в V i : | - I Определение 3. Функция f(x,y,z) называется интегрируемой по Риману в V, если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при 0. Этот предел I называют тройным интегралом в области V: I= v f(p)dV= v f(x,y,z)dxdydz. Классы интегрируемых функций. Всякая непрерывная в замкнутой области V функция f(x,y,z) интегрируема в этой области. Если функция f(x,y,z) ограничена в области V и имеет в 3. этой области разрывы лишь в конечном числе поверхности объёма=0, то функция интегрируема в этой области. Вычисление тройного интеграла Пусть V проектируется на плоскость XY в область D. v f(x,y,z)dxdydz= e h dz D f(x,y,z)dxdy= e h dz a b dx c d Пусть f (x,y,z) непрерывна в V и пусть поверхностьть S, ограничивающая V пересекается не более чем в х точках любой прямой, параллельной одной из координатных осей v f(x,y,z)dxdydz= a b dx 1(x) 2(x) dy 1(x,y) 2(x,y) f(x,y,z)dz.(2) Здесь 1. Тело V проектируется на плоскость XY в область D. 2. Линии касания поверхности S и цилиндр поверхности, которая проектирует тело V на XY, разбивает S на 2 части, которые опредяются функциями z 1 = 1 (x,y), z 2 = 2 (x,y). 3. Спроектируем кривую, ограничивающую D на плоскость XY. Точки a ив которых прямые, параллельные Y, разбивают область на 2 части y 1 = 1 (x), y 2 = 2 (x). a и b - пределы интегрирования по x. Далее доказательство формулы (2) аналогично двойному интегралу.(вопрос 2 теор2)РИС. 4. Замена переменных в двойном интеграле. Пример случай полярных координат. Пусть задано регулярное отображение переменных (U,V)- >(x,y), задающееся системой уравнений {x=x(U,V); y=y(U,V)} (1) и пусть это отображение переводит некоторую замкнутую область G с кусочно-гладким контуром L’ в область D с кусочно-гладким контуром L. Задание пары значений (U,V) G однозначно определяют некую точку (x,y) D и обратно. Таким образом числа U,V можно рассматривать как координаты точек области D. Таким образом система уравнений (1) вводит на плоскости (x,y) новые (криволинейные) координаты. Теорема Если отображение {x=x(U,V); y=y(U,V) переводит замкнутую область G в замкнутую область D, то если существует D f(x,y)dxdy, то имеет место формула D f(x,y)dxdy= G [f(x(U,V), y(U,V))*|D(x,y)/D(U,V)|]dUdV. Доказательство Разобьем фигуру G на n частичных областей G i . В каждой области D i фигуры D выберем точку P i (x i ,y i ). Составим интегральную сумму n = i=1 n [f(x i ,y i )] D i = i=1 n f(P i ) D i . Пусть Q i =(U i ,V i ) есть образ точки P i при обратном преобразовании {U=U(x,y); V=V(x,y). 4. З n = i [f(x i (U,V),y i (U,V))] D i G i / G i При этом для =[ U 2 + V 2 ] 1/2 диаметр области G i прибудет выполняться | D i / G i -|I(U i ,V i )||< (2). При этом найдется такое разбиение Т, что будет выполняться это равенство. Раскрывая (2) представим D i / G i =|I(U i ,V i )| + i , где i < . Тогда n = i [f(x i (U,V),y i (U,V))]|I(U i ,V i )| G i + i [f(x i (U,V),y i (U,V))] i G i = 1 + 2 . Оценим 2 : т.к. f ограничена нате на D, то | 2 | * i D i = M D. Lim| 2 |->0 при ->0. Ввиду непрерывности функции (1) max{diam(D i )}->0. Отсюда следует, что lim i=1 n [f(x i ,y i )] D i = lim i=1 n [f(x i (U,V),y i (U,V))]|J(U i ,V i )| G i < . РИС. Полярные координаты Задаются полярным радиусом r, выходящим изначала координат в точку M(x,y) и имеющим с осью x угол . Таким образом на плоскости (x,y) регулярное отображение {x=rcos ;y=rsin и обратное ему {r=[x 2 +y 2 ] 1/2 ; =arctg(y/x). Якобиан отображения J(r, )=D(x,y)/D(r, )=| x/ r, x/ ; y/ r, y/ |=|cos , -rsin ; sin , rcos |=r. 5. Замена переменных в тройном интеграле. Примеры случай цилиндрических и сферических координат. Пусть задано регулярное отображение переменных (U,V,W)->(x,y,z), задающееся системой уравнений {x=x(U,V,W); y=y(U,V,W); z=z(U,V,W)} (1) и пусть это отображение переводит некоторую замкнутую пространственную замкнутую область G в замкнутую область D. Регулярное отображение является взаимообратным: {U=U(x,y,z); V=V(x,y,z); W=W(x,y,z)}(2), [D(U,V,W)/D(x,y,z)]*[D(x,y,z)/D(U,V,W)] =1. Задание пары значений (U,V,W) G однозначно определяют некую точку (x,y,z) D и обратно. Таким образом числа U,V,W можно рассматривать как координаты точек области D. Таким образом система уравнений (1) вводит на плоскости (x,y) новые (криволинейные) координаты. Теорема Если отображение {x=x(U,V,W); y=y(U,V,W); z=z(U,V,W) переводит замкнутую область G в замкнутую область D, то если существует D f(x,y,z)dxdydz, то имеет место формула D f(x,y,z)dxdydz= G [f(x(U,V,W), y(U,V,W), z(U,V,W))*|D(x,y,z)/D(U,V,W)|]dUdVdW. D= G |д(x,y,z)/д(U,V,W)| dUdVdW Доказательство Доказательство аналогично двойному интегралу билет Цилиндрические координаты Задаются радиус- вектором r, выходящим изначала координат плоскости (x,y) в проекцию M(x,y) точки M(x,y,z), имеющим с осью x угол и координатой z. Таким образом в пространстве (x,y,z) задается регулярное отображение {x=rcos ;y=rsin ; z=z} и обратное ему {r=[x 2 +y 2 ] 1/2 ; =arctg(y/x); z=z}. Якобиан отображения J(r, ,z)=D(x,y,z)/D(r, ,z)=|x r ’,x ’,x z ’; y r ’,y ’,y z ’; z r ’,z ’,z z ’|=|cos , -rsin , 0; sin , rcos ,0; 0,0,1|=r. Сферические координаты. Задаются радиус-вектором r, выходящим изначала координат в точку M(x,y,z), причем в плоскости (x,y) проекция радиус-вектора указывает проекцию M(x,y) точки M(x,y,z), а z-ая координата задается тем же радиусом, отстающим от осина угол . Таким образом в пространстве (x,y,z) задается регулярное отображение {x=rcos sin ; y=rsin sin ; z=zcos } и обратное ему {r=[x 2 +y 2 +z 2 ] 1/2 ; =arctg(y/x); =arctg([x 2 +y 2 ] 1/2 /z). Пределы изменения углов 0, , + >r 0. Якобиан отображения J( , ,r)=D(x,y,z)/D( , ,r)=|x ’,x ’,x r ’; y ’,y ’,y r ’; z ’,z ’,z r ’|= |-rsin sin , rcos cos , sin sin ; rsin cos , rcos sin , sin sin ; 0, -rsin , cos |= -r 2 sin 6. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически ив явном виде. Пусть z=f(x,y) - гладкая поверхность, задаваемая функцией S класса С. Пусть M i =(x i ,y i ,z i ), z i =f(x i ,y i ) - точки поверхности. Уравнение нормали к поверхности в этой точке (x-x i )/f x '(x i ,y i )=(y-y i )/f y '(x i ,y i )=(z-z i )/(-1). Направляющий косинус нормали cos i =1/[1+(f x '(x i ,y i )) 2 +(f y '(x i ,y i )) 2 ] 1/2 . ( острый угол) Пусть область проекция S на плоскость О. Площадь поверхности S называется число S, получаемое как Область D разобьем правильным разбиением на n частичных областей D i . В каждой области D i выберем произвольно точку D i (x i ,y i ) В этой точке восстанавливаем перпендикуляр к О и получаем точку M i =(x i ,y i ,f(x i ,y Проведем касательную плоскость к поверхности в точке M i . Через Si обозначим площадь куска касательной плоскости, вырезаемой цилиндром с основанием Di и с образующей, параллельной оси OZ: Si= Di/cos i . Составим интегральную сумму = i=1 n Si= i=1 n [ Di/cos i ]= i=1 n [1+(f x '(x i ,y i )) 2 +(f y '(x i ,y i )) 2 ] 1/2 Di. – интегральная сумма для функции [1+(f x '(x i ,y i )) 2 +(f y '(x i ,y i )) 2 ] 1/2 . пусть характеристика D->0( - >0) тогда S=lim i=1 n [1+(f x '(x i ,y i )) 2 +(f y '(x i ,y i )) 2 ] 1/2 Di. f x ',f y ' непрерывны в D=>[1+(f x '(x i ,y i )) 2 +(f y '(x i ,y i )) 2 ] 1/2 непрерывна в D. S = D [1+(f x '(x,y)) 2 +(f y '(x,y)) 2 ] 1/2 dxdy; S = D [1+(∂z/∂x) 2 +(∂z/∂y) 2 ] 1/2 dxdy; z i =f(x i ,y i ) 7. Определение криволинейного интеграла первого рода, его свойства и вычисление. Пусть на плоскости Ox,y параметрически задана простая незамкнутая спрямляемая кривая кривая L, ограниченная точками A и B и некоторая функция f(x,y), которая определена и непрерывна на множестве L. Параметрическое уравнение кривой L:{x= (t); y= (t); a <... ,t k ] Каждому значению t k соответстсвует точка M k (x k ,y k ), где x k = (t k ) и y k = (t k ). В этом случае разбиению отрезка [a,b] соответствует разбиение кривой L на частичные дуги Выберем на каждой частичной дуге произвольную точку N k =( k , k ); k [t k-1 ,t k ], k = ( k ) и k = ( k ). Пусть l k – длина дуги Составим интегральную сумму = k=1 n f( k , k ) l k (1). Определение 1 (1) при ->0, где =max{ l k }, если такое, что при и независимо от выбора точек N k ( k , k ) выполняется неравенство Определение 2. Если при ->0 конечный предел J интегральных сумм (1), то этот предел называется криволинейным интегралом 1 рода от функции f(x,y) по кривой L обозначение L f(x,y)dl. определение 3. Кривая L:{x= (t); y= (t); a (t) и (t) С [a,b], те. имеют непрерывные производные. Определение 4. Точка M L назыв. особой, если она соответствует значению параметра t: { ’(t)=0; Теорема Если кривая L=AB -гладкая и не содержит особых точек, а функция f(x,y) непрерывна на множестве точек кривой L, то L f(x,y)dl= a b f( (t), (t))[( ’(t)) 2 +( ’(t)) 2 ] 1/2 dt (2). Доказательство. Определенный интеграл в правой части (2) существует, т.к. подынтегральная функция непрерывна. Разобьем отрезок [a,b] на n частичных отрезков и составим интегральную сумму = k=1 n f( k , k ) l k , где l k =t k-1 tk [( ’(t)) 2 +( ’(t)) 2 ] 1/2 dt. Соответственно и интегральная сумма запишется как = k=1 n {[f( ( k ), ( k ))]*t k-1 tk [( ’(t)) 2 +( ’(t)) 2 ] 1/2 dt}, k [t k-1 ,t k ]. Интеграл в правой части можно записать в виде J= k=1 n {t k- 1 tk f( (t), (t))[( ’(t)) 2 +( ’(t)) 2 ] 1/2 dt}. Оценим разность -J. Т.к. функции и непрерывны на [a,b], а f(x,y) непрерывна на L, то по теореме о непрерывности сложной функции, функция f( (t), (t)) будет непрерывна на [a,b]. Пусть =max{ l k }->0, тогда max{[t k-1 ,t k ]}- >0/ то. такое, что при -> разность функций [f( ( k ), ( k ))-f( (t), (t))]< из-за непрерыности. Отсюда при получаем | -J|< * k=1 n {t k- 1 tk [( ’(t)) 2 +( ’(t)) 2 ] 1/2 dt}= * a b [( ’(t)) 2 +( ’(t)) 2 ] 1/2 dt= l, где l – длина L => при ->0 => ->J. Свойства. Непсредственно доказываются следующие свойства 1. L [ f(x,y)+ g(x,y)]dl= L f(x,y)dl+ L g(x,y)dl. 2. AB f(x,y)dl= AC f(x,y)dl+ CB f(x,y)dl, C L=AB. 3. L |f(x,y)|dl | L f(x,y)dl|. Если f(x,y) непрерывна на L, то для M L справедливо равенство L f(x,y)dl=f(M) l |