1. Постановка задачи 3 Теоретические сведения 3

• Название: 1. Постановка задачи 3 Теоретические сведения 3
• Дата: 21.04.2022
• Размер: 145.67 Kb.
• Имя файла: 4366532.docx
• Тип: Литература; #489491

Оглавление

1.Постановка задачи 3

2.Теоретические сведения 3

3.Преобразование исходных данных для построения модели Оукена 5

4.Построение модели Оукена 7

5.Анализ полученной модели 9

Заключение 13

Литература 14

1.Постановка задачи

На основании статистических данных об уровне безработицы и ВВП в РФ за 2001-2018 годы построить модель Оукена. Построение модели необходимо осуществить посредством решения системы нормальных уравнений и явный вид её решения при оценивании методом наименьших квадратов (МНК) линейной модели парной регрессии.

Исходные данные:

Год	Уровень безработицы,%	ВВП России по годам, млрд. руб.
2001	8,8	89436
2002	8,5	108305
2003	7,8	132082
2004	7,9	170272
2005	7,1	216098
2006	7,3	269172
2007	6,7	332475
2008	5,7	412768
2009	7,1	388072
2010	8,3	463085
2011	6,2	601140
2012	6,3	681034
2013	5,5	729857
2014	5,2	790300
2015	5,6	830874
2016	5,5	856161
2017	5,2	918432
2018	4,8	1038617

Данные взяты с сайта https://gks.ru/bgd/regl/b20_11/Main.htm

2.Теоретические сведения

Предположим, что в ходе регрессионного анализа была установлена линейная взаимосвязь между исследуемыми переменными х и у, которая описывается моделью регрессии вида:



В результате оценивания данной эконометрической модели определяются оценки неизвестных коэффициентов. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).

Метод наименьших квадратов позволяет получить такие оценки параметров β₀и β₁, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетных (теоретических) y˜ минимальна:



В процессе минимизации функции неизвестными являются только значения коэффициентов β₀ и β₁, потому что значения результативной и факторной переменных известны из наблюдений. Для определения минимума функции двух переменных вычисляются частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравниваются к нулю. Результатом данной процедуры будет стационарная система уравнений:



Если разделить обе части каждого уравнения системы на , раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим систему нормальных уравнений для функции регрессии вида  :



Если решить данную систему нормальных уравнений, то мы получим искомые оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии β₀ и β₁:



где

 – среднее значение зависимой переменной;

 – среднее значение независимой переменной;

– среднее арифметическое значение произведения зависимой и независимой переменных;

– дисперсия независимой переменной;

 – ковариация между зависимой и независимой переменными.

Таким образом, явный вид решения системы нормальных уравнений может быть записан следующим образом:

3.Преобразование исходных данных для построения модели Оукена

Основные четыре этапа построения эконометрических моделей:

• 
  построение спецификации эконометрической модели;
  
• 
  сбор статистической информации об объекте-оригинале в виде конкретных значений экзогенных и эндогенных переменных, включённых в спецификацию модели;
  
• 
  оценка неизвестных параметров модели (настройка модели);
  
• 
  проверка адекватности оценённой модели (проверка соответствия настроенной модели объекту-оригиналу).
  

Для построения эконометрической модели Оукена необходимо.

1) Построим спецификацию модели Оукена - эмпирической зависимости между темпом роста безработицы и снижением реального ВНП по сравнению с потенциально возможным. Будем считать, что темп прироста реального ВВП зависит от изменения уровня безработицы. Тогда модель можно представить в виде:



где – темпы прироста реального ВВП, – изменения уровня безработицы, сигма – среднее квадратичное отклонение случайного остатка регрессии, равно константе; матожидание случайного остатка равно нулю.

Преобразуем данные для построения модели.

Рассчитаем значения , как абсолютные приросты значений временного ряда . Расчеты выполняем по формуле:

2001	8,8
2002	8,5	-0,3
2003	7,8	-0,7
2004	7,9	0,1
2005	7,1	-0,8
2006	7,3	0,2
2007	6,7	-0,6
2008	5,7	-1
2009	7,1	1,4
2010	8,3	1,2
2011	6,2	-2,1
2012	6,3	0,1
2013	5,5	-0,8
2014	5,2	-0,3
2015	5,6	0,4
2016	5,5	-0,1
2017	5,2	-0,3
2018	4,8	-0,4

Рассчитаем значения , как абсолютные приросты значений временного ряда . Расчеты выполняем по формуле:

2001	89436	-
2002	108305	21,10
2003	132082	21,95
2004	170272	28,91
2005	216098	26,91
2006	269172	24,56
2007	332475	23,52
2008	412768	24,15
2009	388072	-5,98
2010	463085	19,33
2011	601140	29,81
2012	681034	13,29
2013	729857	7,17
2014	790300	8,28
2015	830874	5,13
2016	856161	3,04
2017	918432	7,27
2018	1038617	13,09

4.Построение модели Оукена

Преобразованный массив имеет 17 наблюдений и имеет вид:

№
1	-0,3	21,10
2	-0,7	21,95
3	0,1	28,91
4	-0,8	26,91
5	0,2	24,56
6	-0,6	23,52
7	-1	24,15
8	1,4	-5,98
9	1,2	19,33
10	-2,1	29,81
11	0,1	13,29
12	-0,8	7,17
13	-0,3	8,28
14	0,4	5,13
15	-0,1	3,04
16	-0,3	7,27
17	-0,4	13,09

Система нормальных уравнений.



Для расчета параметров регрессии построим таблицу вспомогательных вычислений:

№
1	-0,3	21,1	0,09	445,21	-6,33
2	-0,7	21,95	0,49	481,8025	-15,365
3	0,1	28,91	0,01	835,7881	2,891
4	-0,8	26,91	0,64	724,1481	-21,528
5	0,2	24,56	0,04	603,1936	4,912
6	-0,6	23,52	0,36	553,1904	-14,112
7	-1	24,15	1	583,2225	-24,15
8	1,4	-5,98	1,96	35,7604	-8,372
9	1,2	19,33	1,44	373,6489	23,196
10	-2,1	29,81	4,41	888,6361	-62,601
11	0,1	13,29	0,01	176,6241	1,329
12	-0,8	7,17	0,64	51,4089	-5,736
13	-0,3	8,28	0,09	68,5584	-2,484
14	0,4	5,13	0,16	26,3169	2,052
15	-0,1	3,04	0,01	9,2416	-0,304
16	-0,3	7,27	0,09	52,8529	-2,181
17	-0,4	13,09	0,16	171,3481	-5,236
Сумма__-4__271,53__11,6__6080,9515'>Сумма	-4	271,53	11,6	6080,9515	-134,019
Среднее	-0,2353	15,9724	0,6824	357,7030	-7,8835
σ2	0,6270	102,5870
σ	0,7918	10,1285

Если решить данную систему нормальных уравнений, то мы получим искомые оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии β₀ и β₁:



Таким образом, модель имеет вид:



Параметры полученного уравнения можно интерпретировать следующим образом при увеличении прироста уровня безработицы на 1% темп прироста ВВП снижается на 6,5795%

Проверим правильность построенной модели средствами MS Excel. Используем инструмент «Данные» «Анализ данных» «Регрессия».







Из протокола регрессионного анализа видно, что уравнение регрессии имеет вид:



Следовательно, параметры модели найдены верно.

5.Анализ полученной модели

Построение эконометрической модели подразумевает исследование ее качества. Проанализируем модель на основании данных, полученных при регрессионном анализе средствами MS Excel.

Для определения взаимосвязи данных анализируем значения коэффициента корреляции и детерминации. Их значения получены из протокола регрессионного анализа.



Связь результативного признака темпа прироста ВВП изменением уровня безработицы обратная и заметная

Коэффициент детерминации равен:



26,46% вариации темпа прироста ВВП объясняется вариацией изменения уровня безработицы, остальные 73,54% вариацией других признаков, не включенных в модель.

Качество модели определяем с помощью средней ошибки аппроксимации:



Строим таблицу промежуточных вычислений.

Наблюдение	Предсказанное	Остатки	А
1	16,398084	4,701916	0,222840
2	19,029879	2,920121	0,133035
3	13,766290	15,143710	0,523823
4	19,687828	7,222172	0,268382
5	13,108341	11,451659	0,466273
6	18,371930	5,148070	0,218881
7	21,003725	3,146275	0,130281
8	5,212957	-11,192957	-1,871732
9	6,528854	12,801146	0,662242
10	28,241161	1,568839	0,052628
11	13,766290	-0,476290	0,035838
12	19,687828	-12,517828	1,745862
13	16,398084	-8,118084	0,980445
14	11,792444	-6,662444	1,298722
15	15,082187	-12,042187	3,961246
16	16,398084	-9,128084	1,255582
17	17,056033	-3,966033	0,302982
Сумма			10,3873
Среднее			0,6110

Отсюда:



Так как значение средней ошибки аппроксимации больше 7%, точность модели нельзя назвать хорошей, поэтому данное уравнение нецелесообразно использовать для прогноза.

Находим коэффициент эластичности по формуле:



При увеличении изменения уровня безработицы на 1% темп прироста ВВП снижается на 0,0115%

Значимость модели проверим с помощью критерия Фишера:



Фактические значения F– критерия сравниваем с табличным значением при степенями свободы и уровне значимости , .

Так как , то уравнение в целом признается значимым.

Значимость коэффициентов уравнения определяем с помощью t-статистик Стьюдента, значения которых берем из протокола регрессионного анализа.

Сначала находим табличное значение t-статистики Стьюдента при уровне значимости ϒ=0,05 и степенях свободы 17–1–1=15, используя статистическую функцию СТЬЮДРАСПОБР(0,05;15). Получаем .

Сравниваем значения фактических t-статистик с табличным.

константа ₀ значима;

коэффициент ₁ значим;

Заключение

В результате расчетов посредством решения системы нормальных уравнений была получена модель Оукена зависимости темпа прироста ВВП от изменения уровня безработицы.



Возможна экономическая интерпретация параметров модели:

При увеличении прироста уровня безработицы на 1% темп прироста ВВП снижается на 6,5795%

Статистическая значимость уравнения проверена с помощью коэффициента детерминации и критерия Фишера.

Установлено, что в исследуемой ситуации 26,46% общей вариабельности темпа прироста ВВП объясняется вариацией изменения уровня безработицы, остальные 73,54% вариацией других признаков, не включенных в модель.

Установлено также, что параметры модели β₀, β₁ и константа статистически значимы.

Средняя ошибка аппроксимации превышает 10%, следовательно качество модели нельзя назвать удовлетворительным. Для улучшения качество возможно применение ряда мер, выходящих за пределы данного исследования.

Литература

1. 
   Красс, М. С. Математика в экономике. Базовый курс : учебник для бакалавров / М. С. Красс. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2019. — 470 с. 
   
2. 
   Красс, М. С. Математика в экономике: математические методы и модели : учебник для СПО / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов ; под ред. М. С. Красса. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2020. — 541 с.
   
3. 
   Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов в 3 ч. Часть 3 : учебник и практикум для СПО / под ред. Н. Ш. Кремера. — 5-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2019. — 415 с. 
   
4. 
   Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов в 3 ч. Часть 3 : учебник и практикум для СПО / под ред. Н. Ш. Кремера. — 5-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2019. — 415 с. 
   
5. 
   Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов в 3 ч. Часть 1 : учебник и практикум для СПО / под ред. Н. Ш. Кремера. — 5-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2019. — 276 с. 
   
6. 
   Малугин, В. А. Математический анализ для экономистов : учебник и практикум для СПО / В. А. Малугин. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 557 с. 
   
7. 
   Рудык, Б. М. Математический анализ для экономистов : учебник и практикум для академического бакалавриата / Б. М. Рудык, О. В. Татарников. — М. : Издательство Юрайт, 2019. — 356 с.
   
8. 
   Смагин, Б. И. Экономико-математические методы : учебник для академического бакалавриата / Б. И. Смагин. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2019. — 272 с.