1. События и операции над ними. Относительные частоты и их свойства Событием

Название	1. События и операции над ними. Относительные частоты и их свойства Событием
Дата	25.06.2019
Размер	195.59 Kb.
Формат файла
Имя файла	Shpory_tvims.docx
Тип	Документы #82959

1. События и операции над ними. Относительные частоты и их свойства Событием называется произвольное подмножество А пространства элементарных исходов Ω. Те элементарные исходы, из которых состоит событие А, называются благоприятствующими событию А. Все пространство элементарных исходов Ω, если взять в качестве события, называют достоверным событием, поскольку оно происходит в любом эксперименте (всегда). Пустое множество называется невозможным событием, поскольку оно никогда не происходит. Все остальные события, кроме Ω и , называются случайными. Операции над событиями: 1) Суммой событий А и В называется объединение этих множеств АB. –событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В. 2) Произведением событий А и В называется пересечение множеств А и В, т.е. АВ. Обозначается как АВ. АВ–событие, когда А и В происходят одновременно. 3) Разностью событий А и В называется разность множеств А\В. А\В–событие, которое происходит <=>, когда происходит А и не происходит В. 4) События А и В называются несовместимыми, если . Если А и В несовместимы, то будем обозначать . 5) Говорят, что событие А влечет событие В, если А является подмножеством В. 6) Событие Ā=Ω\A называется противоположным к событию А. Пусть А—некоторое событие (), N(A)—число тех экспериментов, в которых произошло событие А. Тогда число называется относительной частотой события А. Свойства относительных частот: 1) Относительная частота произвольного события А. . 2) Относительная частота достоверного события равна 1. 3) (Аддитивность) Относительная частота суммы несовместимых событий	2. Аксиомы ТВ. Дискретные пространства элементарных исходов. Классическое определение вероятности. Аксиомы теории вероятностей. Пусть Ω—пространство элементарных исходов. Предположим, что F—некоторый класс подмножеств Ω. Событие—это подмножество Ω, принадлежащее классу F. Любому ставится в соответствие действительное число P(A), называемое вероятностью А, так что при этом выполняется аксиомы: 1. 2., 3.(счетной аддитивности) Если и , то . Дискретные пространства элементарных исходов. Бесконечное множество называется счетным, если элементы этого множества можно занумеровать числами натурального ряда (натуральными числами). Все другие бесконечные множества называются несчетными. Примером несчетного множества может служить [а,b], счетного N. Пространство элементарных исходов называется дискретным, если оно конечно или счетно. Вероятностью события А называется число .Сделаем следующие предположения: Пространство элементарных исходов —конечно. Все элементарные исходы равновозможны (равновероятны), т.е. . Если пространство элементарных исходов конечно, а все элементарные исходы равновероятны, то вероятностью события А называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих событию А к общему числу элементарных исходов: . Это классическое определение вероятности.	3. Элементы комбинаторики. Число выборок Лемма 1. Из m элементов а1,…,аm первой группы и n элементов b1,…,bn второй группы можно составить ровно m∙n упорядоченных пар вида (аi, bj), содержащих по одному элементу из каждой группы. Лемма 2. Из n1 элементов первой группы a1, а2,…, аn1,n2 элементов второй группы b1, b2,…,bn2,n3 элементов k-ой группы x1,x2,…,xnk можно составить ровно n1∙ n2∙…∙nk различных упорядоченных комбинаций вида , содержащих по одному элементу из каждой группы. Все выборки можно классифицировать по 2 признакам: 1) упорядоченные и неупорядоченные, 2) с возвращением и без возращения. Упорядоченная выборка с возвращением ). Каждый элемент выборки может принимать n значений, т.е. число выборок . Упорядоченная выборка без возвращения . Упорядоченная выборка без возвращения называется размещением. Число размещений . Перестановкой из k элементов называется совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке. Pk-число перестановок из k элементов. , поскольку 0!=1. Произвольное k-элементное подмножество множества n элементов называется сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетание—это неупорядоченная выборка объема k из n элементов. Обозначается число всех сочетаний из n элементов по k элементов через.. , где .
4. Размещения, перестановки, сочетания. Свойства сочетаний Упорядоченная выборка без возвращения называется размещением. Число размещений . Перестановкой из k элементов называется совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке. P_k- число перестановок из k элементов. . Произвольное k-элементное подмножество множества n элементов называется сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетание—это неупорядоченная выборка объема k из n элементов. Обозначается число всех сочетаний из n элементов по k элементов через . . , где . Свойства сочетаний: 1. . 2. . 3. . 4. .	5. Геометрические вероятности. —геометрическая вероятность на прямой. —геометрическая вероятность на плоскости. —геометрическая вероятность в пространстве. Недостатком классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Для устранения этого недостатка и вводят геометрические вероятности.	6. Свойства вероятности Свойство 1. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. P. P Свойство 2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. P. P Свойство 3. Для любого события A:0≤P(A)≤1. P(A)=, т. к. 0≤ то 0≤≤1 и следовательно 0≤P(A)≤1. Свойство 4. Если события А и В несовместимы, то вероятность суммы равна сумме вероятностей: P(A+B)=P(A)+P(B) P(A+B)= Свойство 5. (обобщенная теорема сложения вероятностей) P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB). P(A B)= Свойство 6. (теорема сложения k слагаемых) Если события попарно несовместимы, то P()= P()+ P()+…+ P(). Свойство 7. Если AB (A влечет B), то P(A)≤P(B). B=A+(B\A), тогда P(B)=P(A)+P(B\A)≥P(A). Свойство 8. Если AB, то P(B\A)=P(B)-P(A). B=A+(B\A). Следовательно, P(B)=P(A)+P(B\A). Тогда P(B\A)=P(B)-P(A). Свойство 9. P()=1-P(A). =\A, P()=P(\A)=P()-P(A)=1-P(A). Свойство 10. Если события , ,…,образуют полную группу, то P()+P()+…+P()=1. Т.к. + +…+=, то по свойству 6: P()+P()+…+P()=P()=1.
7. Условная вероятность. Независимость, независимость в совокупности Условной вероятностью события B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение ... Теорема (умножение вероятностей):Теорема (обобщенная теорема умножения): События А и В называются независимыми, если . События А и В независимы тогда и только тогда, когда P(B/A)=P(B). События А₁,А₂,…,А_n называются независимыми (или независимыми в совокупности), если (для i≠j; i,j{1,2,3,…,n})–попарная независимость событий;	8. Формулы полной вероятности и Байеса Формула полной вероятности – Если события образуют полную группу, то вероятность появления события A, которое может произойти совместно с любым из событий полной группы, равна: Замечание: При применении формулы полной вероятности, события называют гипотезами. Формула Байеса – Пусть события образуют полную группу. A – некоторое событие, которое может произойти совместно с любым из событий, образующих полную группу, причем то вероятность появления события A, которое может произойти совместно с любым из событий полной группы, причем , тогда условные вероятности событий полной группы при условии наступления события A находятся по формуле Байеса:	9. Испытания Бернулли. Формула Бернулли. Предположим, что в результате испытания возможны два исхода: «У» и «Н», которые мы называем успехом и неудачей. , , p+q=1. Предположим, что мы производим независимо друг от друга n таких испытаний. Последовательность n испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, а в каждом из них возможны два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию. Элементарным исходом будет являться: (w₁,w₂,…,w_n), . Всего таких исходов 2ⁿ. . (1) Формула (1) показывает, что события независимы. —формула Бернулли.
11. Теорема Пуассона Теорема(Пуассона): Пусть производятся n-независимых испытаний в каждом из которых событие А наступает с вероятностью p, тогда если число испытаний неограниченно возрастает, а вероятность стремится к 0 причем n=p=const , то вероятность того, что событие А появится к раз, в n независимых испытаниях находится по формуле: – формула Пуассона Доказательство: По формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно k раз в n независимых испытаниях , где q=1-p. Теоремой удобно использовать, когда p->0, a=np≤10.	12. Локальная и интегральная теоремы Муавра Лапласа. Локальная теорема Лапласа Если вероятность p появления случайного события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит ровно m раз, приближённо равна: , где Интегральная теорема Лапласа Если вероятность p появления случайного события A в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит не менее и не более раз (от до раз включительно), приближённо равна: Кроме того, функция Лапласа нечётна: Ф(-х)=-Ф(х), и данное свойство активно эксплуатируется в задачах.	13. Случайные величины. Функция распределения и её свойства. Случайной величиной Х наз. ф-ция X(w), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множестве действительных чисел R. Функцией распределения случайной величины Х наз. функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случ. величина Х примет значение, меньшее некоторого фиксированного числа х. . . Свойства функции распределения. 1)Функция распределения F(x)–неубывающая функция, т.е. для таких что x₁2 . 2)Для любых Замечание. Если функция распределения F(x) непрерывная, то свойство выполняется и при замене знаков ≤ и < на < и ≤. 3), . , . 4)Функция F(x) непрерывна слева. (т.е. ). 5)Вероятность того, что значение случайной величины Х больше некоторого числа х, вычисляется по формуле. .
14. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Биномиальное, геометрическое и распределение Пуассона. Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное число значений, т.е. Ωх—конечно или счетно. Законом распределения дискретной случайной величины Х называется совокупность пар чисел вида (х_i, р_i), где x_i—возможные значения случайной величины, а p_i—вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения, т.е. , причем . Говорят, что дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p), если она может принимать целые неотрицательные значения с вероятностями Говорят, что случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром р (0<р<1), если она принимает натуральные значения с вероятностями , где q=1-p.	Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Обозначают математическое ожидание случайной величины Х через MX или М(Х). Если случайная величина Х принимает конечное число значений, то . Если случайная величина Х принимает счетное число значений, то , причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Математическое ожидание дискретной случайной величины—это неслучайная величина (т.е. число, постоянная). Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события. Свойства математического ожидания: 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C)=C. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=CM(X). Математическое ожидание случайной величины СХ	16. Дисперсия дискретной случайной величины и её свойства. Дисперсией случайной величины называется число . Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания. Дисперсия постоянной величины С равна 0. DC=0. . Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: . Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
17. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии числа появлений события в независимых испытаниях. Начальные и центральные моменты. Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события Х в каждом испытании: . Дисперсией случайной величины называется число . Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число . Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании:. Начальным моментом порядка к случайным величинам Х называют мат.ожид. случ. величины Х^k: . В частности, , . Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-МХ)^k. . В частности , .	18. Непрерывные случайные величины. Свойства плотности распределения. Говорят, что случайная величина Х имеет плотность вероятности или плотность распределения вероятностей , если существует функция p(x) такая, что функция распределения Случайная величина называется непрерывной, если она имеет плотность распределения. . Свойства плотности распределения. . Плотность распределения—неотрицательная функция: . Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до +∞ равен единице: . Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение из множества В, равна интегралу по множеству В от плотности распределения.	22. Дискретный и непрерывный случайный вектор. Свойства плотности распределения случайного вектора. Случайный вектор называется дискретным, если все его компоненты-дискретные случайные величины. Случайный вектор ξ=( называется непрерывным, если существует неотрицательная функция p(x)= , называется плотностью распределения случайных величин такая что функция распределения Свойства плотности распределения случайного вектора. Свойство 1. Свойство 2. . Теорема 1. Пусть ξ=() – непрерывный случайный вектор. Тогда случайные величины – непрерывны, причем , . Теорема 2. Пусть случайная величина Х непрерывна с плотностью , а случайная величина , где — монотонная дифференцируемая функция, тогда случайная величина Y—непрерывная и имеет плотность .
23. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Ковариация, коэффициент корреляции и его свойства. Асимметрия и эксцесс. Ковариацией между случайными величинами Х и Y называется число. Для непрерывных случайных величин X и Y используют формулу Коэффициентом корреляции между случайными величинами Х и Y называется число . Свойства корреляции. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы, т.е. . Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы случайные величины Х и Y были связанны линейной зависимостью. Если случайные величины независимы, то они некоррелированы, т.е. r=0. Две случайные величины Х и Y называют коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля. Случайные величины Х и Y называют некоррелированными если их коэффициент корреляции равен 0. Коэффициентом асимметрии случайной величины Х называется число Эксцессом случайной величины Х называется число. Характеризует сглаженность кривой распределения по отношению к кривой нормального распределения.