2. Дифференциальные уравнения описывающие элементы электротехнических систем. 5

• Название: 2. Дифференциальные уравнения описывающие элементы электротехнических систем. 5
• Дата: 14.12.2021
• Размер: 86.45 Kb.
• Имя файла: Otchet (2).docx
• Тип: Реферат; #303841

_{Содержание}

1.ВВЕДЕНИЕ 2

2.Дифференциальные уравнения описывающие элементы электротехнических систем.  5

3.Общие сведения о преобразовании Лапласа: оригинал и изображение 7

4.Теорема (Достаточные условия существования) 9

5. Свойства преобразования Лапласа 10

6. Передаточная функция линейной стационарной системы 12

7. Применение преобразования Лапласа 14

8. Механика и электрические цепи 16

Заключение 18

Список литературы 19

1.ВВЕДЕНИЕ

Любая система управления представляет собой совокупность нескольких устройств, в которых происходят явления различной физической природы. Одна и та же система может включать в себя, например, механические, электрические, пневматические и гидравлические элементы.

В настоящее время при разработке АСУ ТП и АСУП большое внимание уделяется системам оптимального управления. В этих системах целью управления является обеспечение наилучшего (максимального или минимального) значения критерия оптимального управления (критерия оптимальности). В качестве критерия оптимального управления могут быть выбраны различные технические или экономические показатели, например время перехода из одного состояния в другое, среднее отклонение какой-либо регулируемой величины от заданного значения в определенный промежуток времени, производительность объекта, показатели качества продукции, затраты сырья или энергии, себестоимость продукции

Рассмотрим элементы, в которых процессы преобразования энергии строго ориентированы, то есть энергия и воздействия передаются только в определенном направлении, обладают детектирующим свойством. Это означает, что выходная величина элемента не влияет на входную.

Обычно свойством однонаправленности обладают те элементы системы, которые передают информационные воздействия. К таким элементам относятся измерители и преобразователи сигналов.

Первым этапом при исследовании или конструировании системы управления является составление математического описания ее элементов и системы в целом.

Составление математического описания конструктивного элемента системы управления состоит из следующих последовательно выполняемых процедур: принятие определенных допущений, выбор входных и выходных переменных, выбор системы отсчета для каждой переменной, применение физического принципа, отражающего в математической форме закономерности преобразования энергии или вещества.

Система автоматического управления называется стационарной, если сдвиг произвольного входного сигнала x(t) на любое время t0 сопровождается таким же сдвигом выходного сигнала y(f)

Классификация математических моделей. Поскольку многие современные ТП очень сложные, для создания САУ необходимо располагать математическим описанием процессов, происходящих как в самой системе, так и в ее элементах.
Под математическим описанием (математической моделью) подразумевается совокупность уравнений и граничных условий, описывающих зависимость выходных величин от входных в установившемся и переходном режимах. В связи с этим различают математические модели двух классов:
установившегося режима (статическая модель)] переходного режима (динамическая модель).
Динамические модели имеют вид уравнений, описывающих изменение во времени выходных величин систем (элементов) в зависимости от изменения входных. Эти уравнения, как правило, записывают в дифференциальной форме. Их частный случай — дифференциальные уравнения нулевого порядка (алгебраические уравнения) — описывают установившийся режим.
Таким образом, в общем случае математической моделью системы (элемента) с т входными {xt,x2,...,xm =А'} и п выходными координатами {у,у2,—,у„ =У} называют совокупность уравнений Y =F(X;a), однозначно описывающих поведение величины у при заданных векторах X и а, где а — характеристика системы (элемента).
Математическая модель может быть получена аналитическим или экспериментальным методом. В последнем случае она может быть детерминированной (выходная величина однозначно определяется входной) или статистической (входные воздействия носят случайный характер).
Дифференциальные уравнения простых объектов автоматизации можно составить, используя закономерность происходящих в них физических явлений. Такими закономерностями могут быть закон сохранения вещества (объект регулирования уровня, давления), закон сохранения энергии (объект регулирования температурой), законы электротехники и т. д. Уравнения статических и переходных режимов составляют на базе уравнений балансов вещества или энергии.
При составлении дифференциальных уравнений сложного объекта (системы) он (она) должен быть расчленен на ряд простейших элементов, соединенных последовательно. Для каждого из этих элементов составляют математическую модель статики или динамики, а затем получают дифференциальное уравнение объекта (системы), исключая промежуточные величины. В большинстве случаев уравнения элементов нелинейны, и поэтому дифференциальное уравнение системы, как правило, тоже нелинейно и подлежит линеаризации.
С целью упрощения задачи при аналитическом методе построения математической модели допускают определенные упрощения (пренебрегают распределенностью параметров, исключают некоторые возмущающие воздействия и т.д.).
В качестве примера рассмотрим процесс вентиляции животноводческого помещения объемом Vс содержанием диоксида углерода Со (%) при производительности а (м'/мин). Входная величина объекта — производительность вентиляторов, выходная — концентрация диоксида углерода в помещении. Обозначим содержание диоксида углерода в воздухе в момент времени Г через х(%). Составим за промежуток времени dr (мин), прошедший от момента г, баланс диоксида углерода, содержащегося в помещении. За это время вентиляторы доставили в помещение количество воздуха, равное 0,01 С0 adt. Следовательно, всего за период dr количество диоксида углерода (м3) в воздухе уменьшилось на dV= = (0,01x-0,01C0)ad/.

2.Дифференциальные уравнения описывающие элементы электротехнических систем. 

Одной из областей, в которой применение дифференциальных уравнений оказывается наиболее эффективным, является теория электрических цепей. Электрическая цепь представляет собой сеть (если угодно, конечный граф), состоящую из узлов, между которыми включены элементы цепи. Простейшими (и одновременно, важнейшими) элементами электрических цепей являются сопротивления, индуктивности и емкости. Каждый из этих элементов представляет собой двухполюсник, т. е. каждый из них имеет два полюса (вывода, контакта), которыми они присоединяются к узлам цепи. Стандартные их обозначения приведены на рис. 1.


Рисунок 1

Распределение электрических зарядов в цепи в каждый момент времени в каждом узле создает (электрический) потенциал. Если двухполюсник включен между узлами a и b цепи (такой двухполюсник мы в дальнейшем будем обозначать ab) с потенциалами u_a(t) и u_b(t), то на нем возникает разность потенциалов (падение напряжения) u_ab(t) = u_b(t) – u_b(t). Эта разность потенциалов вызывает движение зарядов через двухполюсник, называемое током. Интенсивность этого движения называется силой тока и обозначается i_ab(t). Ясно, что u_ab(t) = –u_ba(t) и i_ab(t) = –i_ba(t). Разность потенциалов на двухполюснике и сила тока, протекающего через него, не являются независимыми. Они связаны физическими законами, которые с достаточной точностью математически выражаются равенствами (законами функционирования): для сопротивления (индекс _ab ниже опускается)

u = Ri

(1)

(это равенство называют законом Ома), для индуктивностей

u = Li′

(2)

(штрих здесь и ниже означает дифференцирование по t) и для емкостей

i = Cu′.

(2)

Числа R, L и C обозначают (положительные) величины, характеризующие физические свойства соответствующего двухполюсника и также называются сопротивлением, индуктивностью и емкостью.

3.Общие сведения о преобразовании Лапласа: оригинал и изображение

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f(t) действительного переменного t, удовлетворяющая следующим условиям:

1) f(t)=0, если t 0;
2) функция f(t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;
3) с возрастанием t модуль функции f(t) растет не быстрее некоторой показательной функции, т. е. существуют числа M 0 и 0 такие, что для всех t имеем:

|f(t)| (1)
Изображением функции-оригинала по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного p=s+i , определяемая равенством

F(p)= (1)
при Re p . Условие 3 обеспечивает существование интеграла (2).
Преобразование (2), ставящее в соответствие оригиналу f(t) его изображение F(p), называется преобразованием Лапласа. При этом пишут f(t) F(p)

Теорема о существовании изображения:

Пусть функция f (t) является функцией ограниченного роста с показателем роста s0. Тогда в правой полуплоскости Re p > s0 существует изображение F(p) = + R∞ 0 f (t) e −ptdt, причем F(p) — аналитическая функция.
1.Найти изображение для f (t) = η(t). Условие 1) выполнено по определению функции Хэвисайда. Условие 2) выполнено при M = 1, s0 = 0. F(p) = Z +∞ 0 η(t) · e −ptdt = Z +∞ 0 e −ptdt = 1 p (Rep > 0). Получили, что η(t) : 1 p . В таблицах обычно записывают 1 : 1 p , имея в виду, что на самом деле мы работаем не с f (t) = 1, а с f (t) = η(t).

2.Найти изображение для f (t) = e t . Условие 1) будет выполнено, если доопределить f (t) с помощью функции Хэвисайда. Условие 2) выполнено при M = 1, s0 = 1. Z +∞ 0 e t · e −ptdt = Z +∞ 0 e t(1−p) dt = 1 −(p − 1)e −(p−1)t +∞ 0 = 1 p − 1 (Rep > 1). Аналогично можно получить изображение для f (t) = e λt , λ ∈ C: Z +∞ 0 e λt · e −ptdt = 1 p − λ (Rep > s0).

4.Теорема (Достаточные условия существования)

Если f - непрерывная функция на часть для t> 0 и экспоненциального порядка c, то существует преобразование Лапласа для s> c.
Важно подчеркнуть, что это условие достаточности, то есть это может быть случай, когда существует функция, которая не удовлетворяет этим условиям, и даже тогда существует ее преобразование Лапласа..
Примером этого является функция f (t) = t-1/2 который не является непрерывным по частям при t ≥ 0, но существует его преобразование Лапласа.

5. Свойства преобразования Лапласа

Всюду в дальнейшем считаем, что

f(t) F(p), g(t) G(p) (3)
I. Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных и

f(t)+ g(t) F(p)+ G(p) (4)
II. Теорема подобия. Для любого постоянного 0
(5)
III. Дифференцирование оригинала. Если f'(t) есть оригинал, то

f'(t) (6)
Обобщение: если f(t)n раз непрерывно дифференцируема на (0,+ ) и если (t) есть оригинал, то

(t) (7)
IV. Дифференцирование изображения равносильно умножению оригинала на "минус аргумент", т.е
F'(p) (8)

Обобщение:
(9)
V. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на p:

(10)
VI. Интегрирование изображения равносильно делению на t оригинала:

(11)
(предполагаем, что интеграл сходится).
VII. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа \tau
(12)

VIII. Теорема смещения (умножение оригинала на показательную функцию). Для любого комплексного числа

(13)
IX. Теорема умножения (Э. Борель). Произведение двух изображений F(p) и G(p) также является изображением, причем

G(p)* F(p) (14)
Интеграл в правой части (14) называется сверткой функций f(t) и g(t) и обозначается символом


Теорема XI утверждает, что умножение изображений равносильно свертыванию оригиналов, т.е.

(15)

6. Передаточная функция линейной стационарной системы

Переда́точная фу́нкция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи и цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.
В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.
Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета САР сводится к определению ее передаточной функции. При расчете настроек регуляторов широко используются достаточно простые динамические модели промышленных объектов управления. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной для разных систем.

Любая система управления представляет собой совокупность нескольких устройств, в которых происходят явления различной физической природы. Одна и та же система может включать в себя, например, механические, электрические, пневматические и гидравлические элементы.

Рассмотрим элементы, в которых процессы преобразования энергии строго ориентированы, то есть энергия и воздействия передаются только в определенном направлении, обладают детектирующим свойством. Это означает, что выходная величина элемента не влияет на входную.

Обычно свойством однонаправленности обладают те элементы системы, которые передают информационные воздействия. К таким элементам относятся измерители и преобразователи сигналов.

Первым этапом при исследовании или конструировании системы управления является составление математического описания ее элементов и системы в целом.

Составление математического описания конструктивного элемента системы управления состоит из следующих последовательно выполняемых процедур: принятие определенных допущений, выбор входных и выходных переменных, выбор системы отсчета для каждой переменной, применение физического принципа, отражающего в математической форме закономерности преобразования энергии или вещества.

Любая система управления представляет собой совокупность нескольких устройств, в которых происходят явления различной физической природы. Одна и та же система может включать в себя, например, механические, электрические, пневматические и гидравлические элементы.

Эти черты системы взаимодействуют между собой по сложным законам механики, электротехники, гидравлики.

Будем рассматривать элементы, в которых процессы преобразования энергии строго ориентированы, то есть энергия и воздействия передаются только в определенном направлении, обладают детектирующим свойством. Это означает, что выходная величина элемента не влияет на свою входную.

Обычно свойством однонаправленности обладают те элементы системы, которые передают информационные воздействия. К таким элементам относятся измерители и преобразователи сигналов.

Первым этапом при исследовании или конструировании системы управления является составление математического описания ее элементов и системы в целом.

Составление математического описания конструктивного элемента системы управления состоит из следующих последовательно выполняемых процедур: принятие определенных допущений, выбор входных и выходных переменных, выбор системы отсчета для каждой переменной, применение физического принципа, отражающего в математической форме закономерности преобразования энергии или вещетва.

Наиболее распространенной формой описания передаточных свойств систем управления и их элементов являются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Линейные стационарные системы:

Пусть u(t) — входной сигнал линейной стационарной системы, а y(t) — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция W(s) такой системы записывается в виде:



Где - оператор передаточной функции, - преобразования Лапласа для сигналов {\displaystyle u(t)} и {\displaystyle y(t)}соответственно

7. Применение преобразования Лапласа

Дифференциальные уравнения

Основное применение преобразований Лапласа - решение дифференциальных уравнений..
Используя свойство преобразования производной ясно, что

И из n-1 производных, оцененных при t = 0.
Это свойство делает преобразование очень полезным для решения начальных задач, в которых используются дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Следующие примеры показывают, как использовать преобразование Лапласа для решения дифференциальных уравнений.

8. Механика и электрические цепи

Преобразование Лапласа имеет большое значение в физике, в основном имеет применение для механических и электрических цепей.

Простая электрическая схема состоит из следующих элементов



Рисунок 2

Переключатель, батарея или источник, индуктор, резистор и конденсатор. Когда переключатель замкнут, вырабатывается электрический ток, который обозначается как i (t). Заряд конденсатора обозначается через q (t).

По второму закону Кирхгофа напряжение, создаваемое источником E для замкнутой цепи, должно быть равно сумме каждого падения напряжения.

Электрический ток i (t) связан с зарядом q (t) в конденсаторе как i = dq / dt. С другой стороны, падение напряжения определяется в каждом из элементов следующим образом:

Падение напряжения на резисторе равно iR = R (дк / дт)

Падение напряжения в индуктивности составляет L (di / dt) = L (d²д / д²)

Падение напряжения в конденсаторе составляет q / C

С этими данными и применением второго закона Кирхгофа к замкнутой простой схеме получается дифференциальное уравнение второго порядка, которое описывает систему и позволяет нам определить значение q (t).

Заключение

Трансформируется из Лапласа В последние годы большое значение в исследованиях инженерии, математики, физики, а также в других научных областях, а также большой интерес к теоретическим вопросам, предоставляет простой способ решения проблем, возникающих в науке и технике..
Первоначально преобразование Лапласа было представлено Пьером-Саймоном Лапласом в его исследовании теории вероятностей и первоначально рассматривалось как математический объект, представляющий чисто теоретический интерес.

Современные приложения возникают, когда различные математики пытались дать формальное обоснование «эксплуатационным правилам», используемым Хевисайдом при изучении уравнений электромагнитной теории.

Список литературы

1. 
   Дж. Холбрук, Дж. (1987). Преобразование Лапласа для инженеров-электронщиков. Limusa.
   
2. 
   Руис, Л. М. и Эрнандес, М. П. (2006). Дифференциальные уравнения и преобразование Лапласа с приложениями. Редакция УПВ.
   
3. 
   Симмонс, Г. Ф. (1993). Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими заметками. McGraw-Hill.
   
4. 
   Spiegel, M.R. (1991). Преобразование Лапласа. McGraw-Hill.
   
5. 
   Zill, D.G. & Cullen, M.R. (2008). Дифференциальные уравнения с проблемами значений на границе. Cengage Learning Editores, S.A..