Матан(Альтернативная версия). 3. Единственность предела сходящейся последовательности Последовательность называется сходящейся

• Название: 3. Единственность предела сходящейся последовательности Последовательность называется сходящейся
• Анкор: Матан(Альтернативная версия).docx
• Дата: 13.01.2018
• Размер: 1.19 Mb.
• Имя файла: Матан(Альтернативная версия).docx
• Тип: Документы; #13932
• страница: 1 из 3

3. Единственность предела сходящейся последовательности

Последовательность называется сходящейся, если существует число , к которому она сходится, т.е. 0 \q... ... \forall\ n>N(\varepsilon ):\ \vert a_n-a\vert<\varepsilon . \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=370 HEIGHT=19 BORDER=0>Иногда удобно записывать определение сходимости последовательности в следующих эквивалентных первоначальному видах: 0 \ \exists\ N(\varepsilon ) \ \forall\ n>N(\varepsilon ):\ a-\varepsilon 0 \ \exists\ N(\varepsilon ) \ \forall\ n>N(\varepsilon ):\ a_n\in O_\varepsilon (a);$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=329 HEIGHT=20 BORDER=0> 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=118 HEIGHT=20 BORDER=0>вне окрестности лежит конечное число элементов последовательности .

Теорема. Если последовательность сходится, то ее предел единственный.

Доказательство (от противного). Пусть . Возьмем 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=87 HEIGHT=34 BORDER=0>, тогда по выбору, с другой стороны, по определению сходимости, для 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=98 HEIGHT=38 BORDER=0> N_1:\ x_n\in O_\varepsilon (a), \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=217 HEIGHT=19 BORDER=0>N_2:\ x_n\in O_\varepsilon (b). \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=216 HEIGHT=19 BORDER=0>

Следовательно, для \max\{N_1,N_2\}:\ x_n\in O_\varepsilon (a)\cap O_\varepsilon (b)$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=271 HEIGHT=19 BORDER=0>, что означает непустоту этого пересечения. Получено противоречие.

4. Ограниченность сходящейся последовательности.

Последовательность называется ограниченной, если 0\ \forall\ n:\ \vert a_n\vert\le M$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=152 HEIGHT=20 BORDER=0>. Это означает, что или что множество можно накрыть отрезком .

Замечание. Ясно, что последовательность будет ограниченной, если ее можно накрыть отрезком , начиная с некоторого номера . (Вне отрезка может лежать лишь конечное число элементов последовательности , следовательно, и всю последовательность можно накрыть некоторым отрезком , где ).

Теорема. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство. Пусть и . Тогда, по определению сходимости, существует номер такой, что для всех N:\ \vert a_n-a\vert<1$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=144 HEIGHT=20 BORDER=0>. Следовательно, , и поэтому N:\ \vert a_n\vert<\vert a\vert+1=M$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=200 HEIGHT=21 BORDER=0>. Итак, по замечанию, последовательность ограничена.

5. Сохранение знака сходящейся последовательности

Теорема. Если последовательность сходится к числу 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=40 HEIGHT=16 BORDER=0>, то вся последовательность лежит вне окрестности нуля (радиус а/2), начиная с некоторого номера.(Другая формулировка теоремы: a_na>0,тогда )

Доказательство. Достаточно взять 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=72 HEIGHT=33 BORDER=0>. Тогда, по определению предела, найдется , что для всех N(\varepsilon ):\ a-\displaystyle \frac{a}{2}, следовательно, \displaystyle \frac{a}{2}>0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=82 HEIGHT=40 BORDER=0>

6.Теорема о переходе к пределу в неравенстве для двух последовательностей.

Свойство 3.2.4. Если для всех n и , то
Доказательство. Пусть, напротив, . Зададим 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=99 HEIGHT=39 BORDER=0>. Тогда по определению сходимостиN_1:\ a-\varepsilon N_2:\ b-\varepsilon

Следовательно, для \max\{N_1,N_2\}$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=125 HEIGHT=18 BORDER=0>выполняются соотношения

a-\varepsilon =a-\displaystyle{\frac{a-b}{2}}=b+\displaystyle{\frac{a-b}{2}}= b+\varepsilon >b_n, \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=410 HEIGHT=39 BORDER=0> что противоречит условию теоремы.
7.Теорема о трех последовательностях.

Теорема. Если для всех n и ,то

Доказательство. Проверим, что выполняется определение сходимости последовательности к числу . Возьмем любое 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=14 BORDER=0>, тогда из условия следует, что N_1:\ a-\varepsilon из условия следует, что N_2:\ a-\varepsilon Поэтому для всех N=\max\left\{N_1,N_2\right\}$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=163 HEIGHT=18 BORDER=0>выполняются неравенства следовательно, .

Пример 3.2.1. Докажем, что . Действительно, для любого , получим

Следовательно, .

8. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Последовательность называется бесконечно малой, если при . Развернутое определение: 0\quad \exists\ N(\varepsilon)\in\mathb... ...forall\ n>N(\varepsilon):\quad \vert\alpha_n\vert<\varepsilon. \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=319 HEIGHT=19 BORDER=0>

Последовательность называется бесконечно большой, если 0\quad \exists\ N(E)\in{\mathbb{N}}\quad \forall\ n>N(E):\ \vert x_n\vert>E. \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=343 HEIGHT=19 BORDER=0> Этот факт будем записывать так: при или

Теорема 3.3.1. Последовательность является бесконечно малой последовательностью тогда и только тогда, когда последовательность является бесконечно большой.

Доказательство следует из того факта, что неравенство равносильно неравенству E=\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon }}$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=101 HEIGHT=42 BORDER=0>, и определений бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. (Берем )

9.Свойства бесконечно малых последовательностей.

Свойство 1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей и есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Возьмем произвольное 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=16 BORDER=0>. Для негоN_1:\quad \vert\alpha_n\vert<\displaystyle{\frac{\varepsilon }{2}}, \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=198 HEIGHT=35 BORDER=0> N_2:\quad \vert\beta_n\vert<\displaystyle{\frac{\varepsilon }{2}}. \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=165 HEIGHT=29 BORDER=0>ТогдаN=\max\left\{N_1,N_2\right\}:\quad \vert\alpha_n\... ...a_n\vert\le\vert\alpha_n\vert+\vert\beta_n\vert<\varepsilon . \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=381 HEIGHT=16 BORDER=0>


Свойство 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность. Доказательство. Из ограниченности следует существование числа 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=49 HEIGHT=15 BORDER=0>такого, что для всех . Следовательно, при любом положительном 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=15 BORDER=0>для положительного 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=63 HEIGHT=18 BORDER=0>существует номер такой, что для всех N:\ \vert\alpha_n\vert<\varepsilon /M$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=141 HEIGHT=17 BORDER=0>. Поэтому для этих n>N имеем. Следовательно, по определению Коши, при .

Свойство 3. Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы существовали число и бесконечно малая последовательность такие, что для всех выполнялось равенство .

Доказательство.
Необходимость. Пусть при . Рассмотрим , тогда из определения сходимости следует, что при .

Достаточность. Если , то из того, что - бесконечно малая последовательность и следует, что при .

10.Арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Свойство 1. Если последовательности и сходятся, то сходится последовательность        и       

Доказательство. По свойству (Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы существовали число и бесконечно малая последовательность такие, что для всех выполнялось равенство ); 0 по свойству (Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) 

Свойство 2. Если последовательности и сходятся, то сходится последовательность и

Доказательство. Пусть . Тогда и при . Поэтому

В силу свойств бесконечно малых последовательностей

Свойство 3. Если последовательности и сходятся к и соответственно, то последовательность сходится к

Доказательство. Так как (пусть для определенности 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=38 HEIGHT=16 BORDER=0>), то по свойству (Если последовательность сходится к числу 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=28 HEIGHT=12 BORDER=0>, то вся последовательность лежит вне окрестности нуля , начиная с некоторого номера.), начиная с некоторого номера \displaystyle{\frac{b}{2}}>0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=108 HEIGHT=39 BORDER=0>. Поэтому определена последовательность N]$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=102 HEIGHT=18 BORDER=0>и Рассмотрим для номеров N$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=48 HEIGHT=18 BORDER=0>цепочку равенств

Так как последовательность - бесконечно малая, а последовательность ограничена, то -бесконечно малая последовательность, следовательно последовательность стремится к .

11. Теорема Кантора о вложенных отрезках.

Теорема. Пусть задана система вложенных отрезков на , т. е. таких, что и длины отрезков при . Тогда существует, и притом единственная, точка, одновременно принадлежащая всем отрезкам .

Доказательство. Возьмем любое . Ясно, что для любого (из вложенности системы отрезков, см. рис.)

Рассмотрим последовательность левых концов отрезков системы . Она монотонно возрастает и ограничена сверху, например, числом . Тогда, по V свойству действительных чисел, существует число (точка) такое, что и для любого . В частности, причто означает, что . Так как n было взято произвольным, то точка c принадлежит всем отрезкам . Найденная точка единственная, так как, если существует и для любого , то для любого n выполняются неравенства , что противоречит тому, что при .

Замечание 1. , т.е. последовательность левых концов отрезков , возрастая, стремится к точке , а последовательность правых концов отрезков , убывая, стремится к . Действительно,
Замечание 2. Во множестве рациональных чисел  такого свойства, вообще говоря, нет. Например, пусть , а . Ясно, что эта последовательность отрезков удовлетворяет условиям теоремы Кантора, но общая единственная точка -- иррациональное число, следовательно, во множестве рациональных чисел общих точек у рассматриваемой системы отрезков нет, т. е.
Замечание 3. То, что в теореме Кантора речь идет о системе отрезков (а, например, не интервалов), существенно. Достаточно рассмотреть систему интервалов Ясно, что в

12.Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях.

Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел Последовательность ,гденазывается подпоследовательностью последовательности . Таких подпоследовательностей из заданной последовательности можно выделить бесконечно много.

Пример.Последовательность есть подпоследовательность последовательности

Очевидно, имеет место Теорема. Если последовательность сходится к некоторому пределу, то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же пределу.

Пример. Последовательность расходится, так как две ее подпоследовательности и сходятся к разным числам.

Выделение подпоследовательностей у последовательности , сходящихся к разным числам, есть один из методов доказательства ее расходимости. Ответ на вопрос: "Во всякой ли последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность'', дает следующая фундаментальная теорема.

Теорема(Больцано - Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому действительному числу.

Доказательство (метод Больцано). Так как последовательность ограничена, то существует число 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=49 HEIGHT=18 BORDER=0>такое, что . Разделим отрезок на два равных отрезка и обозначим через какой-нибудь из них, содержащий бесконечно много элементов из , пусть . Далее разделим отрезок на два равных отрезка и обозначим через какой-нибудь из них, содержащий бесконечно много элементов из . Тогда найдется элемент и n_1$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=56 HEIGHT=18 BORDER=0>. Процесс деления отрезка пополам, выбора одной из половин отрезка и элемента в ней продолжим по индукции. Итак, построена система вложенных отрезков и последовательность такая, что для любого выполняется n_k$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=74 HEIGHT=16 BORDER=0>и . Тогда по теореме Кантора о вложенных отрезках существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам, и . Переходя к пределу по в неравенствах , получим .

13. Критерий Коши сходимости последовательности.

Из определения сходимости последовательности к точке вытекает, что для любого 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=19 BORDER=0>интервалом длиной можно накрыть всю эту последовательность, исключая, может быть, конечное число ее элементов, если середину интервала поместить в точку . Справедливо и обратное: если последовательность такова, что для любого 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=18 BORDER=0>можно накрыть всю эту последовательность, исключая, может быть, конечное число ее элементов, поместив центр интервала в некоторую точку, то она сходится. Сформулируем это утверждение более точно. Последовательность назовем последовательностью Коши или фундаментальной, если 0\quad \exists\ N(\varepsilon )\quad ... ...repsilon ):\quad \vert x_n-x_m\vert<\varepsilon \eqno(4.4.1) \end{displaymath}" ALIGN=BOTTOM WIDTH=356 HEIGHT=19 BORDER=0>(здесь центр интервала длиной помещен в точку N(\varepsilon )$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=71 HEIGHT=15 BORDER=0>, см. рис.).

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.

Необходимость (метод ). Пусть при . Тогда для любого 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=18 BORDER=0>существует номер такой,что для любых N(\varepsilon )$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=88 HEIGHT=20 BORDER=0>выполняются неравенства . Рассмотрим цепочку соотношений

что означает, что фундаментальна.

Достаточность. Докажем сначала ограниченность последовательности . Возьмем 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=68 HEIGHT=17 BORDER=0>, тогда, в силу фундаментальности , найдется номер такой, что для всех N(\varepsilon )$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=88 HEIGHT=20 BORDER=0>выполняется . Следовательно, , поэтому . Итак, для всех N(\varepsilon )$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=66 HEIGHT=20 BORDER=0>при фиксированном N(\varepsilon )$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=71 HEIGHT=19 BORDER=0>выполняется , что означает ограниченность последовательности (следует из замечания: последовательность будет ограниченной, если ее можно накрыть отрезком , начиная с некоторого номера ). По теореме Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторому числу . Докажем, что и вся последовательность сходится к числу . Возьмем любое 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=19 BORDER=0>, тогда найдется номер (из фундаментальности ) такой, что для всех N$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=69 HEIGHT=18 BORDER=0>выполняется . Ввиду сходимости при , по взятому 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=19 BORDER=0>найдется номер такой, что N$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=61 HEIGHT=19 BORDER=0>и . Тогда для нашего N$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=48 HEIGHT=14 BORDER=0>

что означает сходимость последовательности к числу .

14.Теорема о существовании точных границ числовых множеств.

Множество называется ограниченным сверху, если существует число такое, что для всех . Число называется верхней границей (мажорантой) множества .

Точной верхней границей множества называется число такое, что

1) (т.е. -- одна из верхних границ множества );

2) 0\quad\exists\ x_\varepsilon \in E:\ \mu-\varepsilon (т.е. границу множества нельзя уменьшить).

Точная верхняя граница множества обозначается
. Аналогично определяется точная нижняя граница множества, которую обозначают :

1) (т.е. -- одна из нижних границ множества );

2) 0\quad\exists\ x_\varepsilon \in E:\ x_\varepsilon <\nu+\varepsilon $" ALIGN=BOTTOM WIDTH=191 HEIGHT=17 BORDER=0>(т.е. границу множества  нельзя увеличить).

Теорема. Если непустое множество действительных чисел ограничено сверху, то существует точная верхняя граница этого множества.

Доказательство (метод Больцано - метод деления отрезка пополам). Пусть и множество ограничено сверху числом . Рассмотрим отрезок , заметим, что правее нет точек из . Разделим отрезок на два равных отрезка и обозначим самый правый из них, содержащий хотя бы одну точку из , т. е. правее нет точек из . Так же поступим с отрезком , получим отрезок , содержащий хотя бы одну точку из , правее которого нет точек из . Продолжив этот процесс по индукции, получим последовательность отрезков , длины которых . При этом при любом правее нет точек из . На основании принципа вложенных отрезков (Пусть задана система вложенных отрезков на , т. е. таких, что и длины отрезков при . Тогда существует, и притом единственная, точка, одновременно принадлежащая всем отрезкам ) существует единственная точка , лежащая во всех отрезках системы .

Докажем, что . В самом деле, по построению для всех и для всех выполняется неравенство . Тогда, переходя к пределу в этом неравенстве при , получим (используя то, что ) неравенство . Возьмем теперь любое 0$" ALIGN=BOTTOM WIDTH=39 HEIGHT=14 BORDER=0>. Тогда (так как и ) существует номер такой, что лежит левее отрезка . При этом в лежит хотя бы одна точка , т.е. выполняется неравенство \mu-\varepsilon $" ALIGN=BOTTOM WIDTH=76 HEIGHT=16 BORDER=0>. Следовательно, .

Будем считать в дальнейшем, что если множество неограничено сверху, то , если неограничено снизу, то .