6. Классические модели 82-106. 6. модели и задачи формирования оптимальных производственных программ модели оптимизации

• Название: 6. модели и задачи формирования оптимальных производственных программ модели оптимизации
• Дата: 09.12.2022
• Размер: 0.86 Mb.
• Имя файла: 6. Классические модели 82-106.pdf
• Тип: Документы; #836234

6. МОДЕЛИ И ЗАДАЧИ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ
ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОГРАММ
6.1. Модели оптимизации
Модели оптимального формирования производственных программ применяют там, где требуется подготовить план выпуска продукции,
оптимальный с точки зрения выбранного критерия – максимума при- были или минимума издержек. При этом имеющиеся в наличии мате- риальные, финансовые и иные ресурсы ограничены.
Для формализации - записи задачи в математической форме необ- ходима следующая информация
• n – количество выпускаемых изделий, включенных в производст- венную программу;
• m – количество используемых для производства ресурсов;
• a ij
– удельные затраты i-го ресурса, необходимые для производства единицы j-го продукта;
• b i
– имеющиеся в наличии запасы i-го ресурса;
• c j
– доход, получаемый от выпуска и реализации единицы j-го про- дукта либо издержки, связанные с производством единицы j-го продукта.
В качестве управляемых переменных (переменных решения) – выбирают объемы выпуска продуктов каждого типа (j=1,2,…,n). j
x
Модель линейного программирования для поиска оптимальных производственных программ имеет вид:
(min),
max x
c x
c x
c
Z
n n
2 2
1 1
⇒
+
+
+
=
K
(6.1)
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤
+
+
+
≤
+
+
+
≤
+
+
+
,
b x
a x
a x
a
,
b x
a x
a x
a
,
b x
a x
a x
a m
n mn
2 2
m
1 1
m
2
n n
2 2
22 1
21 1
n n
1 2
12 1
11
K
M
M
M
M
K
K
(6.2)
0
x
,
,
0
x
,
0
x n
2 1
≥
≥
≥
K
(6.3)
В модели
•
(6.1) – целевая функция, в которой Z – суммарный доход от реали- зации продукции либо суммарные издержки, связанные с выполне- нием производственной программы;
82

•
(6.2) – система ограничений, обусловленная имеющимся запасом ресурсов:
•
(6.3) – условие неотрицательности управляемых переменных;
•
– производственная программа.
}
x
,
x
,
x
{
n
2 1
K
Задача заключается в нахождении такой производственной про- граммы – набора значений для управляемых переменных
, при котором целевая функция будет достигать своего максимального, либо минимального значения в рамках ограничений, обусловленных имеющимися ресурсами.
}
x
,
x
,
x
{
n
2 1
K
В реальных задачах к ограничениям по ресурсам могут добавлять- ся дополнительные ограничения, связанные, например, с необходимо- стью выполнения контрактных обязательств, с особенностями спроса на тот или иной продукт и т.д.
На практике помимо планирования производственных программ к
моделям классического типа (6.1) - (6.3)
приводит и большое число других управленческих ситуаций, связанных с решением задач
•
оптимального смешения (задачи о диете);
•
оптимизации раскроя материалов;
•
оптимизации финансовых потоков;
•
разработки оптимальных графиков платежей;
•
поиска наиболее выгодных путей размещения финансовых средств
(задачи оптимального инвестирования) и многое другое.
Рассмотрим примеры решения некоторых типовых задач, относя- щихся к моделям указанного типа.
6.2. Задача об оптимальной производственной программе
предприятия
Предприятие выпускает три вида крепежных изделий: болты, гай- ки, шайбы. Нормы расхода сырья, времени работы оборудования и за- трат электроэнергии, которые необходимы для производства одной тонны каждого изделия, приведены в табл. 6.1.
Месячные запасы ресурсов, которыми располагает предприятие, ограничены. По сырью эти ограничения обусловлены ёмкостью складских помещений, по оборудованию – станочным парком и тру- довыми ресурсами, по электроэнергии – техническими и финансовы- ми причинами. Размеры запасов и доход от реализации продукции в у.е. ($) за 1 тонну приведены в табл. 6.1.
83

Таблица 6.1.
Расход ресурсов на тонну продукции
Производственные ресурсы
Болты
Гайки
Шайбы
Запасы ресурсов
Сырьё 3 5
12 154
Оборудование 5 7 8 210
Электроэнергия 2 8 11 100
Доход от реализа- ции ( $ / тонну )
194 175 264
Помимо запасов на формирование программы влияет необходи- мость выполнения контрактных обязательств: предприятие обязано обеспечить поставку болтов в количестве 4 тонн, гаек – в количестве
2 тонн, шайб – в количестве 3 тонн.
Требуется сформировать месячную производственную программу
(определить объемы выпуска каждого вида продукции), при которой доход от реализации будет максимальным.
Решение
Для формализации задачи обозначим через искомую производственную программу – объемы выпуска болтов, гаек, шайб
(тонн). Тогда, доход от реализации будет равен
3 2
1
x
,
x
,
x
3 2
1
x
264
x
175
x
194
Z
+
+
=
. (6.4)
Производственная программа
, может быть реализована только при выполнении следующих условий (ограничений)
3 2
1
x
,
x
,
x
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
≥
≥
≤
+
+
≤
+
+
≤
+
+
3
x
,
2
x
,
4
x
,
100
x
11
x
8
x
2
,
210
x
8
x
7
x
5
,
154
x
12
x
5
x
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1
3 2
1
(6.5)
84

*
Переменные решения неотрицательны
3 2
1
x
,
x
,
x
0
x
,
0
x
,
0
x
3 2
1
≥
≥
≥
(6.6)
Получаем задачу линейного программирования: необходимо мак- симизировать целевую функцию (6.4) – доход от реализации продук- ции – при условии, что на переменные наложены ограниче- ния (6.5), (6.6.).
3 2
1
x
,
x
,
x
Для решения задачи в Excel создаем на рабочем листе табличный вариант модели оптимизации (6.4) – (6.6.) – рис. 6.1. вариант модели оптимизации (6.4) – (6.6.) – рис. 6.1.
Вводим необходимую информацию в надстройку «Поиск реше- ния» (рис. 6.2.) и получаем на рабочем листе Excel оптимальное ре- шение (рис.6.3.). Найденная «Поиском решения» оптимальная произ- водственная программа (ячейки B8, C8, D8 – рис. 6.3):
Вводим необходимую информацию в надстройку «Поиск реше- ния» (рис. 6.2.) и получаем на рабочем листе Excel оптимальное ре- шение (рис.6.3.). Найденная «Поиском решения» оптимальная произ- водственная программа (ячейки B8, C8, D8 – рис. 6.3):
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
Рис. 6.1.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
3
x
,
2
x
,
5
,
25
x опт
3
опт
2
опт
1
Максимально возможный при данных запасах ресурсов доход – Zmax составит 6089 $ (ячейка E8 рабочего листа Excel).
*
В данном примере условие неотрицательности переменных вводить необяза- тельно, так как оно «перекрывается» тремя последними ограничениями в (6.5).
85

Рис. 6.2
Рис. 6.3.
86

Ответ
Наибольший доход от реализации продукции в размере 6089 $ бу- дет достигнут при производственной программе: y болты необходимо производить в количестве 25,5 тонн, y гайки необходимо производить в количестве 2 тонн, y шайбы необходимо производить в количестве 3 тонн.
Анализ оптимального решения
Для выяснения вопроса о том, можно ли улучшить найденное оп- тимальное решение и за счет каких ресурсов, используем отчет по
устойчивости
. Активировать отчет можно в диалоговом окне Резуль-
таты поиска решений
(поле Тип отчета), которое появляется непо- средственно перед выводом окончательных результатов на рабочий лист Excel (рис. 6.4.).
Рис. 6.4.
Рис. 6.5.
Отчет по устойчивости
87

Как следует из отчета по устойчивости – рис. 6.5, наибольшая те-
невая цена
(ячейка E17), соответствует ресурсу «электроэнергия» – она равна 97 $. Это означает, что увеличение (уменьшение) запаса данного ресурса на единицу приводит к росту (снижению) дохода на
97 $. Допустимое увеличение составляет 17,8 единиц (ячейка G17).
Выясним, что произойдет, если предприятие найдет возможность уве- личить запас ресурса «электроэнергия» со 100 до 117,8 единиц. Для этого внесем изменения в табличную модель (рис. 6.6.). Запустив по- вторно «Поиск решения» с новым значением правой части соответст- вующего ограничения (ячейка D13), получаем новую оптимальную производственную программу
Рис. 6.6.
,
3
x
,
2
x
,
4
,
34
x опт
3
опт
2
опт
1
=
=
=
при которой суммарный доход составит Zmax=7815,6 $ (ячейка E8).
Вывод
Оптимальное решение может быть улучшено за счет увеличения запаса ресурса «электроэнергия» на 17,8 единиц. При этом месячный доход предприятия увеличится с 6089 $ до 7815,6 $.
88

6.3. Задача об оптимальном плане загрузки оборудования
Завод при изготовлении двух типов изделий (слябы и заготовка) использует три типа оборудования (печи, кристаллизаторы, прокатные станы) и две технологические схемы – № 1 и № 2 . Выпускать каждое из изделий можно как по технологической схеме № 1, так и по техно- логической схеме № 2.
Необходимые исходные данные по нормам загрузки оборудования, в пересчете на единицу продукции при различных технологиях, и прибыль от реализации единицы каждого продукта приведены в таб- лице 6.2 (цифры условные).
Требуется составить оптимальный план загрузки оборудования, обеспечивающий заводу максимальную прибыль, т.е. установить, ка- кое из изделий и в каком количестве следует производить на каждой технологической линии.
Таблица 6.2.
Продукция
Слябы
Заготовка
Технологические схемы
Оборудование
№1
№2
№1
№2
Имеющийся фонд времени по загрузке оборудования
Печи
Кристалли- заторы
Прокатные станы
2 3
0 2
1 1
3 1
1 0
2 4
20 37 30
Прибыль
(тыс. у.е.)
11 6 9 6
Решение
Обозначим через x
1
- объем выпуска слябов по технологии №1, x
2
- объем выпуска слябов по технологии № 2, x
3
- объем выпуска заготовки по технологии № 1, x
4
- объем выпуска заготовки по технологии № 2.
Тогда при выбранной программе загрузки прибыль будет равна
4 3
2 1
x
,
x
,
x
,
x
4 3
2 1
x
6
x
9
x
6
x
11
Z
+
+
+
=
При этом переменные должны удовлетворять системе ограничений
89

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
+
+
≤
+
+
+
≤
+
+
30
x
4
x x
,
37
x
2
x x
x
3
,
20
x
3
x
2
x
2 4
3 2
4 3
2 1
3 2
1 0
x
,
0
x
,
0
x
,
0
x
4 3
2 1
≥
≥
≥
≥
На рис. 6.7 – 6.9 показаны табличный вариант оптимизационной модели в Excel, информация, вносимая в надстройку Поиск решения, и найденное оптимальное решение.
Рис. 6.7.
Рис. 6.8.
90

Рис. 6.9.
Ответ
Наибольшая прибыль, равная 137 тыс. у.е., будет достигнута, если
• по технологии № 1 будут выпускаться 7 тыс. тонн слябов и 2 тыс. тонн заготовки;
• по технологии № 2 – 0 тыс. тонн слябов и 7 тыс. тонн заготовки.
6.4. Задача об оптимальном плане аренды складских по-
мещений
Крупная фирма – импортер бытовой электротехники постоянно нуждается в аренде складских помещений. Во втором квартале теку- щего года, в соответствии с запланированными поставками из-за ру- бежа, потребности в складских площадях составят в апреле – 30 тысяч квадратных метров, в мае – 40 тысяч квадратных метров, в июне – 25 тысяч квадратных метров. Арендодатель предлагает свои площади, состоящие из блоков по 1000 квадратных метров. Стоимость аренды складских помещений зависит от срока, на который заключается до- говор. Она составляет 10, 8 и 6 долларов за один квадратный метр в месяц для одно-, двух- и трехмесячных договоров соответственно.
Оплата должна производиться в начале каждого месяца, предшест- вующего соответствующему договору за весь срок аренды.
91

В соответствии со своими финансовыми возможностями, фирма в предстоящем квартале может выделить на арендные платежи не более
400 тысяч долларов в апреле, 300 тысяч долларов в мае и 200 тысяч долларов в июне.
Требуется:
1) составить план аренды, минимизирующий затраты фирмы по опла- те складских площадей;
2) оценить диапазон эффективности решений, сравнив наилучший ва- риант аренды, обеспечивающий минимальные издержки, с «наи- худшим», при котором затраты будут максимальными;
3) выяснить, что произойдет, если снять финансовые ограничения, и сколько удастся сэкономить на аренде в этом случае.
Решение
Обозначим через площадь, включаемую в договор аренды сро- ком на i месяцев, который заключен в начале j-го месяца. Тогда, на- пример,
– это площадь, арендуемая по двухмесячному договору, который заключен во 2-ом месяце (мае);
– это площадь, арендуе- мая по одномесячному договору аренды, который заключен в 3-ем ме- сяце (июне) и т.д. ij x
22
x
13
x
Для удобства анализа и формализации задачи оптимизации, а так- же с учетом введенных переменных, сведем всю имеющуюся инфор- мацию в табл. 6.3.
Таблица 6.3.
Тип договора
Апрель
Май
Июнь
Арендная ставка
($/кв.м. в месяц)
1-месячный
2-х месячный
3-х месячный
11
x
21
x
31
x
12
x
22
x
-
13
x
-
-
10 8
6
Потребность в площадях
(тыс. кв. м.)
30 40 25
Финансовые возможности
(тыс. долл.)
400 300 200 92

Прочерки в таблице означают, что в соответствующем месяце до- говор не может быть заключен. Например, в начале июня заключать договора аренды сроком на два или на три месяца не имеет смысла, т.к. арендные отношения прекращаются через месяц. В то же время в этот период возможно заключить договор сроком на один месяц.
Следует также иметь в виду, что двухмесячный договор аренды, заключенный в апреле, действует два месяца – в апреле и мае, а за- ключенный в мае – в мае и в июне. Трехмесячный договор, заключен- ный в апреле, действует на протяжении всех трех месяцев.
План аренды – это набор значений переменных:
,
,
,
,
,
,– показывающих, какую площадь (тыс. кв. м.) необходимо арендовать в каждом из месяцев и по каким договорам (с какой про- должительностью).
11
x
12
x
13
x
21
x
22
x
31
x
Подсчитаем суммарные затраты фирмы на аренду, если будет при- нят план:
,
,
,
,
,
. Тогда, с учетом ставок аренд- ной платы, получаем
11
x
12
x
13
x
21
x
22
x
31
x
3 6
x
2 8
)
x x
(
10
)
x x
x
(
Z
31 22 21 13 12 11
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
+
⋅
+
+
=
Или после несложных преобразований
31 22 21 13 12 11
x
18
)
x x
(
16
)
x x
x
(
10
Z
⋅
+
+
⋅
+
+
+
⋅
=
Размер площадей, арендуемых в апреле, согласно плану, составит
. Так как эта площадь должна удовлетворить потреб- ности фирмы, то
)
x x
x
(
31 21 11
+
+
30
x x
x
31 21 11
≥
+
+
Суммарная площадь, которая будет в распоряжении фирмы во вто- ром месяце (мае) состоит из
• площади, арендуемой по одномесячному договору, заключенному на май -
;
12
x
• площадей, снятых в аренду по двухмесячным договорам, заклю- ченным в апреле и в мае,
)
x x
(
22 21
+
;
• площади, снятой в аренду по трехмесячному договору, заключен- ному в апреле –
31
x
Ее размер должен удовлетворять потребностям фирмы, следовательно
40
x
)
x x
(
x
31 22 21 12
≥
+
+
+
Рассуждая аналогично, получаем, что для третьего месяца (июня)
25
x x
x
31 22 13
≥
+
+
93

Выясним теперь, сколько понадобится средств для реализации вы- бранного плана аренды, и сопоставим их с финансовыми возможно- стями фирмы.
В первом месяце для оплаты договоров аренды потребуется
31 21 11 31 21 11
x
18
x
16
x
10 3
6
x
2 8
x
10
x
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
тысяч долларов.
Эта сумма не должна превышать имеющихся возможностей. Следова- тельно
400
x
18
x
16
x
10 31 21 11
≤
⋅
+
⋅
+
⋅
Для второго и третьего месяцев соответственно получаем
300
x
16
x
10 22 12
≤
⋅
+
⋅
,
200
x
10 13
≤
⋅
Объединив полученные результаты, получаем следующую модель линейного программирования min x
18
)
x x
(
16
)
x x
x
(
10
Z
31 22 21 13 12 11
⇒
⋅
+
+
⋅
+
+
+
⋅
=
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
⋅
≤
⋅
+
⋅
≤
⋅
+
⋅
+
⋅
≥
+
+
≥
+
+
+
≥
+
+
200
x
10
,
300
x
16
x
10
,
400
x
18
x
16
x
10
,
25
x x
x
,
40
x
)
x
(
x
,
30
x x
x
13 22 12 31 21 11 31 22 13 31 22 12 31 21 11 21
x
Кроме того, все переменные должны быть неотрицательными и це- лочисленными. Условие целочисленности обусловлено тем, что пло- щади сдаются в аренду блоками по 1000 кв.м. Поэтому ни одна из пе- ременных, измеряемая в тыс.кв.м., не может быть нецелым числом равным, например, 3,4 тыс.кв.м. или 7,12 тысячам кв.м.
Задача оптимизации заключается в отыскании такого плана арен- ды, при котором суммарные затраты фирмы по найму складских по- мещений будут минимальными, а сам план будет удовлетворять сис- теме ограничений.
На рис. 6.10. показана «заготовка» табличной модели оптимизации в Excel. Управляемые переменные
,
,
,
,
, рас- положены в ячейках A2:C4.
11
x
12
x
13
x
21
x
22
x
31
x
На рис. 6.11. приведены формулы для вычисления целевой функ- ции и левых частей ограничений.
94

Рис. 6.10.
Рис. 6.11.
На рис. 6.13 показано найденное оптимальное решение задачи.
95

Рис. 6.12.
Рис. 6.13.
Ответы
1) Оптимальный план аренды следующий
В апреле
необходимо арендовать
•
17 тысяч квадратных метров по одномесячному договору;
•
2 тысячи квадратных метров по двухмесячному договору;
96

•
11 тысяч квадратных метров по трехмесячному договору.
В мае
следует арендовать
•
22 тысячи квадратных метров по одномесячному договору;
•
5 тысяч квадратных метров по двухмесячному договору.
В июне
необходимо заключить один договор
•
сроком на 1 месяц на аренду 9 тыс. квадратных метров.
При этом потребности фирмы в складских площадях будут удовле- творены полностью, средств фирмы хватит для оплаты договоров, а суммарные квартальные издержки на аренду будут минимальными и составят 790 тысяч долларов.
2) Оценить эффективность полученного оптимального плана мож- но, решив задачу на максимум издержек. Для этого в диалоговом окне
«Поиска решения» (рис. 6.12.) необходимо поставить флажок «Уста- новить целевую ячейку … Равной «
максимальному значению
». Полу- ченный для этого случая результат показан на рис. 6.14.
Суммарные издержки для наихудшего из решений составят 898 тысяч долларов. Тогда разница между наихудшим и наилучшим пла-
Рис. 6.14.
97

нами составит 898-790=
108 тысяч долларов
. Этот диапазон может служить оценкой «эффективности» оптимального плана аренды.
3)
Решение задачи для случая, когда ограничений по средствам, выделяемым фирмой на аренду, нет, показан на рис. 6.15. Как видно оптимальное решение приводит к суммарным издержкам, равным 630 тысячам долларов. Такой план аренды мог бы сэкономить фирме
160 тысяч долларов
Рис. 6.15.
6.5. Задача об оптимальном плане привлечения соинвесто-
ров
Фирма «Инвест-строй» получила пакет разрешительной докумен- тации на строительство в предстоящие полтора года трех жилых зда- ний в различных районах г. Москвы. Площади жилых домов - 8 000,
10 000 и 15 000 квадратных метров.
Для каждого из объектов был разработан поэтапный план строи- тельства с помесячной оценкой требуемых затрат. В затраты были включены производственные издержки (техника, рабочая сила, строи- тельные материалы, работа сторонних организаций) и платежи по по- гашению ранее взятых кредитов, потраченных на разработку и про- движение разрешительной документации.
98

Начинать строительство всех домов сразу не представлялось воз- можным из-за ограниченности ресурсов. После предварительного анализа производственных возможностей было решено запускать пер- вым строительство дома площадью 15 000 квадратных метров, через три месяца – дом площадью 10 000 квадратных метров и еще спустя 6 месяцев – дом площадью 8000 квадратных метров.
Так как строящееся жилье можно продавать сразу после получения разрешительной документации, т.е. за месяц до начала строительства, то фирма рассчитывает, что
необходимые средства она сможет полу-
чить за счет привлечения соинвесторов и продажи им квартир на
ранних стадиях строительства по льготным ценам
Плановые затраты приведены в табл. 6.4, где также показано, по какой цене за 1 квадратный метр могут быть проданы квартиры в раз- личные периоды строительства.
Таблица 6.4.
Месяц
Плановые затраты, $
Цена,
$/кв.м.
Плановые затраты, $
Цена,
$/кв.м.
Плановые затраты, $
Цена,
$/кв.м.
1 0
1000 2
189 000 1050 3
283 500 1050 4
378 000 1100 0
1100 5
567 000 1150 272 160 1100 6
1 512 000 1180 408 240 1250 7
1 417 500 1200 544 320 1300 8
1 417 500 1200 1 496 880 1359 9
1 417 500 1250 1 496 880 1400 10 1 134 000 1300 1 496 880 1450 0
800 11 1 134 000 1500 1 496 880 1500 239 400 850 12 1 496 880 1550 538 650 900 13 1 360 800 1600 957 600 950 14 1 360 800 1650 957 600 1000 15 1 088 640 1750 897 750 1050 16 1 088 640 1900 897 750 1100 17 778 050 1150 18 718 200 1200
По мере готовности домов стоимость одного квадратного метра жилья, естественно, возрастает. В связи с этим руководство фирмы поставило задачу составить такой план-график продаж, который с од-
99

ной стороны, обеспечил бы покрытие плановых затрат, а с другой стороны позволил получить максимальную прибыль.
Требуется:
1)
составить оптимальный план продажи квартир, максимизирующий общую прибыль от реализации жилой площади всех домов;
2)
определить размер прибыли, полученной при реализации опти- мального плана;
3)
выяснить, как изменится оптимальный план и суммарная прибыль, если предположить, что в первый месяц строительства любого из домов удастся продать не более 5% квартир, во второй – не более
10 %, в третий – не более 15 %, а далее можно продавать любое ко- личество площадей.
Решение
Табличное представление задачи в Excel показано на рис. 6.16., где через
(i=1, 2, … , 33) обозначены площади продаваемых квартир.
Если цены за 1 кв.м. квартир, продаваемых в соответствующем пе- риоде для соответствующего дома, обозначить через
(i=1, 2, … ,
33), то суммарный доход от продаж за весь период составит i
x i
c
∑
=
=
+
+
+
=
33 1
i i
i
33 33 2
2 1
1
x c
x c
x c
x c
Z
или
33 17 2
1
x
1200
x
1400
x
1050
x
1000
Z
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
K
(6.7)
Очевидно, что Z является целевой функцией задачи оптимизации.
Поскольку суммарные площади продаваемых квартир не должны пре- вышать реально имеющейся площади, то получаем первые три огра- ничения (условия баланса)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
8000
x x
x
,
10000
x x
x
,
15000
x x
x
33 26 25 24 13 12 11 2
1
K
K
K
(6.8)
Так как в соответствии с поставленной руководством задачей до- ход, получаемый в данном месяце, должен покрывать затраты сле- дующего, то в математической записи это должно означать выполне- ние следующих условий:
100

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
⋅
+
+
≥
⋅
+
⋅
+
⋅
+
≥
⋅
+
⋅
≥
⋅
≥
⋅
≥
⋅
718200
x
1150
,
23940 1496880 1134000
x
800
x
1450
x
1300
,
272160 567000
x
1100
x
1100
,
378000
x
1050
,
283500
x
1050
,
189000
x
1000 32 25 18 10 12 4
3 2
1
M
M
(6.9)
Также как и в других моделях оптимизации, переменные неотрица- тельны
0
x
,
,
0
x
,
0
x
33 2
1
≥
≥
≥
K
(6.10)
Таким образом, задача сведена к классической модели линейного программирования –
необходимо найти такой план продаж квартир
, который максимизирует доход
–
целевую функцию
(6.7), удовлетворяет системе ограничений (6.8)
–
(6.9) и условиям не-
отрицательности (6.10).
33 2
1
x
,
,
x
,
x
K
Решение задачи в Excel показано на рис. 6.16 - 6.21.
Ответы
1) Оптимальный план продажи квартир, максимизирующий общую прибыль от реализации жилой площади всех домов, показан на рис.
6.21.
2) Размер прибыли, полученной при реализации оптимального плана, составит 8 098 280 долларов.
3) В случае, если в первый месяц строительства каждого из домов будет продаваться не более 5% квартир, во второй – не более 10 %, в третий – не более 15 %, а далее любое количество, то оптимальный план будет таким, как показано на рис. 6.22. При этом размер прибы- ли уменьшится и составит 7 922 206 долларов.
Выясните самостоятельно, как изменится план продаж, если руко- водство дополнительно потребует обеспечить покрытие предстоящих расходов с превышением на 10 % для создания «запаса прочности» на случай непредвиденных обстоятельств.
101

Рис
. 6.16.
102

Рис
. 6.17
103

Рис. 6.18
Рис. 6.19
Рис. 6.20
104

Рис
. 6.21
105

Рис
. 6.22
106