Оценка неопределенности. Расчет неопределенностей результата. А. Г. Черевко Расчет неопределенностей результата измерений в физическом эксперименте Учебное пособие
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
Федеральное агенство связи Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики А.Г. Черевко Расчет неопределенностей результата измерений в физическом эксперименте Учебное пособие Рекомендовано УМО по образованию в области телекоммуникаций в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов 210400 – Телекоммуникации Новосибирск 2008 УДК 398.14: 53.08 К.ф-м.н., доцент А. Г. Черевко. Расчет неопределенности результатов измерений в физическом эксперименте учебное пособие СибГУТИ. – Новосибирск, 2008 г. – 72 стр. Рассмотрена методика расчета неопределенностей результатов измерений при прямых и косвенных измерениях с однократными и многократными наблюдениями. Приведены правила и примеры представления результатов измерения. Рассмотрены примеры обработки результатов наблюдения и оформления результатов измерения для лабораторного практикума по физике. Приведены индивидуальные задания, позволяющие закрепить навыки обработки результатов измерения и расчетов неопределенностей результатов наблюдений. Практикум предназначен для студентов очной, заочной и дистанционной форм обучения, изучающих курс физики. Он может быть полезен студентам очной, заочной и дистанционной формы обучения при выполнении лабораторных работ по другим дисциплинам, а также при дипломном проектировании. Практикум может быть полезен инженерам, занимающимся обработкой экспериментальных данных. Кафедра физики Рисунков – 87, таблиц – 2, литература – 7 наименований Рецензенты Завкафедрой Метрологии, стандартизации и измерений в технике связи Московского технического университета связи и информатики д.т.н., проф. Б. П. Хромой Завкафедрой Полупроводниковых приборов и микроэлектроники Новосибирского государственного технического университета, д.т. н, проф. В. А. Гридчин Работа поддержана междисциплинарным интеграционным проектом СО РАН № 81 и грантом РФФИ А Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве учебного пособия © Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2008 г. Оглавление Используемые обозначения ……………………………………………….4 Введение 1. Общая характеристика неопределенности измерений 1.1. Основные определения 1.2. Классификация неопределенностей по характеру их проявления 1.3. Классификация неопределенностей по способу выражения 2. Оценка неопределенностей и представление результатов измерений. 8 2.1. Представление результатов измерений 2.2. Прямые измерения с однократными наблюдениями 2.3. Косвенные измерения с однократными наблюдениями 2.4. Прямые измерения с многократными наблюдениями 2.5. Косвенные измерения с многократными наблюдениями 3. Индивидуальные задания 3.1. Индивидуальное задание №1……………………………….…..43 3.2. Индивидуальное задание №2………………………………….. 57 Литература Приложение 72 4 Используемые обозначения Q – истинное значение измеряемой величины искомое значение измеряемой величины Х – оценка й входной величины результат единичного измерения, наблюдения Х i – й результат измерения й входной величины > < i X – среднеарифметическое значение ой входной величины Х – абсолютная неопределенность результата измерений физической величины Х X δ – относительная неопределенность результата измерений физической величины Х П приведенная относительная неопределенность СИ – средство измерения γ – класс точности средства измерения (приведенное допускаемое значение относительной неопределенности средства измерения max A – верхний предел измерений, верхний предел шкалы СИ ПА – показание прибора N – число деления шкалы прибора Сцена деления шкалы прибора σ – стандартная неопределенность ( ) i X σ – стандартная неопределенность ой физической величины СКО – среднеквадратичное отклонение Х – стандартная неопределенность единичного измерения ой физической величины (стандартная неопределенность наблюдений СКО погрешности единичного измерения при многократных наблюдениях ой входной величины стандартная неопределенность результата измерений с многократными наблюдениями (СКО среднего арифметического значения при многократных наблюдениях ой входной величины ∑ σ – суммарная, стандартная неопределенность ( ) n t α – коэффициент Стьюдента; Δ – расширенная неопределенность p Δ – расширенная неопределенность для уровня доверия p; дов P – доверительная вероятность x Δ – расширенная неопределенность результата измерения физической величины Х x δ – относительная расширенная неопределенность результата измерений физической величины Х. ВВЕДЕНИЕ Расчет неопределенностей результатов измерений является неотъемлемой частью лабораторного практикума по физике. Введение в Российскую и международную практику новых нормативных документов по методике расчета не- определенностей результатов измерений [1] требует, чтобы студенты руководствовались ими при выполнении лабораторного практикума и были ознакомлены с некоторыми изменениями терминологии и уточнением методик расчета неопределенностей. Для более подробного ознакомления с нормативными документами мы рекомендуем литературу [2-7]. Впервой главе дана общая характеристика неопределенностей измерений. Во второй главе на основе физических явлений, изучаемых в физическом практикуме, даны примеры расчета неопределенностей прямых и косвенных измерений. Эти расчеты, в том числе числовые, оформлены в виде задач. В заключительной главе практикума приведены 2 индивидуальных задания, включающих 42 варианта задач каждое. Они позволяют закрепить полученные знания и навыки по расчету неопределенностей результатов эксперимента, полученных при выполнении лабораторного практикума. В приложении приведена таблица коэффициентов Стьюдента, необходимых для расчета неопределенностей измерений с многократными наблюдениями. В практикуме принята следующая нумерация формул формулы общего характера нумеруются последовательно и перед номером ставится буква А (например, А. В нумерации формул, полученных при решении конкретной задачи, в качестве первой цифры стоит номер задачи, после нее, через точку, стоит порядковый номер формулы внутри задачи, например, 7.3 – третья формула в седьмой задаче. 6 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ 1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Неопределенность измерений – параметр, связанный с результатом и характеризующий рассеяние значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине. Стандартная неопределенность ( σ ) – неопределенность результата измерения, равная среднему квадратичному отклонению (СКО). Синонимом термина СКО является термин Дисперсия. Суммарная, стандартная неопределенность ( ∑ σ ) – стандартная неопределенность результата измерения, полученного через значение других величин, равная положительному квадратному корню из суммы членов, причем члены являются дисперсиями или ковариациями этих других величин, взвешенными в соответствии стем, как результат измерения изменяется при изменении этих величин. Расширенная неопределенность (∆) – величина, определяющая интервал вокруг результата измерения, в пределах которого, как можно ожидать, находится большая часть распределения значений, которые с достаточным основанием могли бы быть приписаны к измеряемой величине. 1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ПО ХАРАКТЕРУ ИХ ПРОЯВЛЕНИЯ Систематическая неопределенность (погрешность) – неопределенность, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях. Случайная неопределенность (погрешность) – неопределенность, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Грубая неопределенность (погрешность) измерения (промах) – погрешность которая существенно превышает ожидаемую в данных условиях погрешность. При выявлении в результатах измерений промаха, данные, соответствующие промаху отбрасываются. 1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ПО СПОСОБУ ИХ ВЫРАЖЕНИЯ Абсолютная неопределенность (погрешность) измерения величины Х – отклонение результата измерения (Хот истинного значения измеряемой величины (А) Абсолютная неопределенность ( X Δ ) имеет туже размерность, что и измеряемая величина Х. Относительная неопределенность измерения величины Х – отношение абсолютной неопределенности к истинному значению измеряемой величины. Q X X Δ = δ ; ( ) 100 ⋅ Δ = δ Q % X X (А) Относительная неопределенность ( X δ ) обычно выражается в процентах от истинного значения величины или его оценки – ( Примечание под термином неопределенность будем понимать абсолютную неопределенность, если иное не указано в тексте. Термин абсолютная неопределенность будет использоваться с целью подчеркнуть ее отличии от относительной неопределенности. Характеристики неопределенностей (погрешностей) средств измерения СИ. Абсолютная неопределенность средств измерения ( Δ ) – разность между показанием СИ (А П ) и действительным значением измеряемой величины (А) А ПА (А) Относительная неопределенность (погрешность) средства измерения ( δ) – отношение абсолютной неопределенности к действительному значению измеряемой величины. A Δ = δ ; ( ) 100 ⋅ Δ = δ A % (А) Примечание в качестве действительного значения измеряемой величины (А, обычно используют среднее значение измеряемой величины ( > < X ), либо значение этой величины, полученное при более точных измерениях. Приведенная неопределенность (П. Приведенная неопределенность – отношение абсолютной неопределенности СИ к некоему нормирующему значению (НОРМА, выраженному в тех же единицах измерения, что и абсолютная погрешность. В приборах имеющих ноль вначале шкалы обычно в качестве нормирующего значения используется значение, равное верхнему пределу измерений ( max A ), те. максимальное (предельное) значение шкалы СИ, на которой производится измерение. Класс точности средств измерения ( γ ). Классом точности СИ называется его приведенная неопределенность, выраженная в процентах, при этом обозначение (%) не пишется. Для прибора, имеющего ноль вначале шкалы класс точности равен max A Δ = γ . (А) Класс точности указывается на лицевой панели СИ или в его паспортных данных Класс точности средств измерений – количественная оценка гарантированных неопределенностей средств измерений, в его значении учитывается как систематическая, таки случайная погрешность СИ. Значение расширенной неопределенности A Δ результата прямого однократного измерения определяется через класс точности средств измерения, которым производится измерение. При этом доверительная вероятность, те. вероятность того, что неопределенность измерения не превысит значения расширенной неопределенности не ниже (Р 0,95). max A A ⋅ γ = Δ 100 (А) При анализе неопределенности однократного измерения вместо термина расширенная неопределенность обычно употребляют термин неопределенность. 2. ОЦЕНКА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 2.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Результат измерения должен быть представлен числом с указанием единиц измерения. Совместно с результатом измерений должны быть представлены характеристики измерений и условия, для которых они действительны. Характеристики неопределенности измерений указываются в единицах измеряемой величины (абсолютные, в процентах (относительные) относительно результатов измерений или действительных значений измеряемой величины. Характеристики неопределенности и их статистические оценки выражаются числом не более двух значащих цифр, путем округления в большую сторону. Допускается характеристики неопределенности и их статистические оценки выражать числом, содержащим одну значащую цифру. В этом случае для статистических оценок характеристик число получается округлением в большую сторону, если цифра последующего, не указываемого младшего разряда равна или больше пяти, или в меньшую сторону, если она меньше пяти. Числовые значения результата измерений и неопределенности должны оканчиваться цифрами одинаковых разрядов. Примечание. Значащими цифрами называются все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих вначале числа. Примеры записи результата измерения. Записать результат измерения, если показание вольтметра снятое оператором со шкалы прибора в нормальных условиях равно 9,4682 В. Расширенная неопределенность измерения с вероятностью Р 0,95 не превышает по модулю 0,05 В. Форма представления результата измерения напряжения 9 1. Определяем разрядность записи показаний прибора. Поскольку неопределенность оканчивается вторым разрядом после запятой, то и показание округляем до этого разряда, те. показание будем записывать 9,47 В. 2. Результат измерения будет иметь вид U = 9,47 ± 0,05 В Р =0,95; условия измерения нормальные. Примечание Нормальные условия измерения – следующие внешние условия температура окружающей среды равна 20 С, влажность воздуха 30-80%, атмосферное давление 84-106 кПа, частота питающей сети 50 Гц, 400 Гц напряжение питающей сети 220 В (50 Гц, 220 В (400 Гц 115 В (400 Гц. В условиях лабораторного практикума условия измерения можно считать нормальными и не указывать их при записи результата измерения. 2.2. ПРЯМЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ С ОДНОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных Х, здесь Y – искомое значение измеряемой величины, Х – значение величины, найденные путем измерения и называемое результатом измерения. При однократных измерениях прибором, показание которого А П получаем Y=А П Типовые характеристики средств измерения. Эти характеристиками рассмотрим на примере измерения напряжения стрелочным вольтметром. Показания ясны из изображения лицевой панели прибора приведенной на рисунке 1. Определим и запишем результат измерения напряжения Рис. 1. Лицевая панель вольтметра 2.2.1. Анализ характеристик прибора – Тип прибора. Прибор является вольтметром, о чем свидетельствует надпись V на лицевой панели прибора. x 3 x 5 x 1 1 2 3 5 4 0 10 – Шкалы (пределы) прибора. Прибор – многопредельный, о чем свидетельствует блок аттенюаторов, расположенный в нижней части рисунка. – Верхние пределы измерения шкал при положении аттенюаторах верхний предел шкалы равен 5 вольт, положение х – верхний предел шкалы х В положение аттенюаторах верхний предел шкалы х В. – Верхний предел шкалы, на которой производится измерение. В нашем случае выбрано положение аттенюаторах, т.к. значение х закрашено, те. кнопках нажата. Следовательно, верхний предел шкалы, на котором производится измерение, равен max U = 25 В. – Число делений шкалы равно N=10. Деление – промежуток между соседними штрихами на шкале прибора. – Цена деления шкалы равна отношению верхнего предела шкалы к числу делений шкалы N U C max = (А7) В нашем случае, С = 25/10 = 2,5 Вдел. Примечание величина обратная цене деления называется чувствительностью прибора. – Класс точности прибора ( γ). Класс точности прибора равен γ = 1,5, о чем свидетельствует надпись в правой нижней части прибора. Класс точности равен приведенной относительной неопределенности вольтметра, выраженной в процентах 100 ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ = γ max U U U (А) Формула (A8) используется для расчета абсолютной (расширенной) неопределенности однократного измерения. 2.2.2. Определение показания прибора и результата измерений Показание прибора. Число делений, на которое отклонилась стрелка вольтметра N =8,5 дел Местоположение стрелки на шкале прибора надежно отсчитывается с точностью деления. Более мелкие отклонения от штриха шкалы округляются до целого или полуцелого деления. Напряжение, которое показывает прибор (результат измерения) равно ) ( ) дел N дел В С В U П ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = , (А) что составляет ( ) ( ) B , дел , дел В , В U П 25 21 5 8 Абсолютная неопределенность однократного измерения Δ U Эта неопределенность определяется из класса точности вольтметра. Она постоянна для всей шкалы и, согласно формуле (А) равна 11 max U U U ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ γ = Δ 100 (А) что составляет ( ) B , B , U 375 0 25 100 Округляя до двух значащих цифр в большую сторону, получаем Δ U = 0,38 В. Относительная неопределенность измерения равна отношению неопределенности к результату измерения ( ПА) что составляет δ(%) = (0,38/21,25) ·100 = 1,79% . Округляя до двух значащих цифр в большую сторону, получаем δ = 1,8% . Относительная неопределенность увеличивается приуменьшении показания прибора. Поэтому измерения следует производить при таком положении аттенюатора, при котором стрелка будет находиться во второй половине шкалы. 2.2.3. Запись результата измерения Результат измерения напряжения ( ) % U U ; U U П U П δ ± = Δ ± = , (А) что составляет U = 21,25 В ± 0,38 Вили В ± 1,8% . Как видно из записи результата измерения, значение измеряемой величины и абсолютная неопределенность оканчиваются цифрами одинаковых разрядов, при этом неопределенность содержит не более 2 значащих цифр, последняя из которых получена округлением в большую сторону. 2.3. КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ С ОДНОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ Косвенное измерение – измерение, при котором искомое значение величины (Q) вычисляется на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, получаемыми из прямых измерений Х, Х, ХА) Абсолютная неопределенность таких измерений является расширенной неопределенностью. Если величины Хи Х, полученные в прямых измерениях являются статистически независимыми, то неопределенность равна ⋅⋅ ⋅⋅ + Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = Δ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = Δ ∑ = 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 |