инф. Пособие_по_математике_ЕГЭ. Что нужно знать о егэ по математике
 Скачать 0.94 Mb.
|
|
Содержание Что нужно знать о ЕГЭ по математике 4 Структура профильного ЕГЭ по математике 4 Как происходит проверка работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Шкала перевода первичных баллов в тестовые . . . . . . . . . . 6 Содержание заданий 7 Задание #1. Простейшие текстовые задачи 7 Задание #2. «Чтение» графиков и диаграмм . . . . . . . . . . . 8 Задание #3. Планиметрия на клетчатой бумаге . . . . . . . . . . 9 Задание #4. Теория вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Задание #5. Уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Задание #6. Планиметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Задание #7. Производная и первообразная 13 Задание #8. Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Задание #9. Преобразование выражений . . . . . . . . . . . . . . 15 Задание #10. Практические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Задание #11. Текстовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Задание #12. Исследование функций на экстремумы . . . . . . . 22 Задание #13. Уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Задание #14. Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Задание #15. Неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Задание #16. Планиметрия 26 2 Задание #17. Экономические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Задание #18. Задачи с параметром . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Задание #19. Какая-то сложная задача 28 Как готовиться к экзамену 32 Автор: Борис Трушин Директор по учебной работе онлайн-школы Фоксфорд, кандидат физико-математических наук, учитель высшей категории, член жюри ВсОШ Активируйте бесплатный доступ на одну неделю к любому онлайн-курсу «Фокфорда» по промокоду BOOKS2019. Акция действует до 31 мая 2019 года. А по промокоду EXPRESS вы можете получить скидку 40% на любой экспресс-курс подготовки к ЕГЭ. 3 Что нужно знать о ЕГЭ по математике Структура профильного ЕГЭ по математике ЕГЭ по математике фактически состоит из двух частей. Тестовая часть. Задания 1–12 • Задания с кратким ответом в виде целого числа или ко- нечной десятичной дроби. • За каждое задание можно получить один первичный балл. • Максимальный первичный балл за выполнение тестовой части – 12, что в 2018 году соответствовало 62 тестовым баллам (из 100 возможных). • Выполнение заданий 1–8 свидетельствует о «наличии об- щематематических умений, необходимых человеку в со- временном обществе» (по крайней мере, так заявляют со- ставители ЕГЭ). Эти задания фактически проверяют ба- зовые знания, простейшие вычислительные навыки, уме- ние анализировать текстовую информацию, графики и таблицы, а также способность использовать простейшие знания из теории вероятностей и основные факты из гео- метрии. • Задания 9–12 считаются заданиями повышенной сложно- сти, и, обычно, требуют большего времени для выполне- ния. Содержательная часть. Задания 13–19 • Задания с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий). 4 • Задания проверяют освоения математики на профильном уровне и предназначены для более точной дифференциа- ции абитуриентов вузов. Это означает, что ученики сред- них общеобразовательных школ не обязаны уметь решать все эти задания. Эти задания проверяют знания на том уровне, на котором ранее это делали вступительные эк- замены в сильные технические вузы. При этом послед- ние три задания предназначены для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. • Возможны различные способы и записи развернутого ре- шения. Главное требование – решение должно быть ма- тематически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений автора работы. В остальном же (мето- ды, форма записи и т.п.) решение может быть произволь- ным. Полнота и обоснованность рассуждений оценивают- ся независимо от выбранного метода решения. При этом оцениваются продвижения в решении задачи, а не недо- четы по сравнению с «эталонным» решением. • При решении заданий можно использовать без доказа- тельств математические факты, содержащиеся в школь- ных учебниках и учебных пособиях. В этом пособии мы коротко рассмотрим содержание за- даний экзаменационной работы и основные методы их решения. 5 Как происходит проверка работ Задания 1–12 проверяются автоматически. Задания с развер- нутым ответом независимо проверяют два эксперта. В случае существенного расхождения в баллах (2 или более балла), выставленных двумя экспертами в каком-либо из за- даний 13-19, назначается третья проверка. При этом третий эксперт проверяет только решение этого задания. Есть такие расхождения есть хотя бы в двух из заданий 13–19, то тре- тий эксперт проверяет решения всех заданий с развернутым ответом. Если работа не была отправлена на третью проверку, то все разногласия в баллах трактуются в пользу ученика. Шкала перевода первичных баллов в тестовые в 2018 году перв. тест. перв. тест. перв. тест. перв. тест. 1 5 9 45 17 76 25 92 2 9 10 50 18 78 26 94 3 14 11 56 19 80 27 96 4 18 12 62 20 82 28 98 5 23 13 68 21 84 29 99 6 27 14 70 22 86 30 100 7 33 15 72 23 88 31 100 8 39 16 74 24 90 32 100 6 Содержание заданий Задание #1 . Проверяемый навык – «уметь использовать при- обретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». Простейшая текстовая задача. Для того, чтобы её решить нуж- но • понимать, что такое процент; • не запутаться, в какую сторону округлять до целого от- вета. Рассмотрим два типичных примера. Стоимость проезда в маршрутном такси составляет 20 руб. Какое наибольшее число поездок можно будет со- вершить в этом маршрутном такси на 150 руб., если цена проезда снизится на 10%? В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 181 человек. Сколько килограм- мовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5 дней? В первой задаче нужно просто вычислить стоимость проезда после снижения цены 20 − 10 100 · 20 = 20 − 2 = 18, 7 и сказать, что 18 · 8 = 144, а 18 · 9 = 162. Значит, 8 поездок можно будет совершить, а 9 – уже нет. Поэтому ответ – 8. Фактически мы поделили 150 на 18 и отбросили дробную часть (округлили вниз). Во второй задаче мы получаем, что за пять дней один участ- ник получает 200 г сахара, а значит, одной пачки хватает на пятерых школьников. Далее, 36 · 5 = 180, а 37 · 5 = 185. Поэто- му 36 пачек ещё не хватит, а 37 – хватит. Поэтому ответ – 37. Фактически мы поделили 181 на 5 и округлили вверх. Чтобы не сделать ошибки в задании #1 нужно внима- тельно прочитать условие и четко понять, что именно просят найти. Нужно понять в какую сторону требует- ся округлить и почему. Задание #2 . Проверяемый навык – «уметь использовать при- обретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». Это задание проверяет, умеет ли школьник «читать» графики и диаграммы. Чаще всего в этом задании не требуется ниче- го вычислять. Для решения обычно достаточно внимательно посмотреть на график/диаграмму и не запутаться при ответе на вопрос. Рассмотрим следующий пример. 8 На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали – значение темпера- туры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наи- большую температуру воздуха 23 января. Ответ дайте в градусах Цельсия. Здесь главное понять, что спрашивают не наибольшее значе- ние температуры на всем графике, а только про 23 января. И не потерять минус перед ответом. Видно, что этот максимум лежит на пунктирной линии между «−16» и «−14». Поэтому ответ – «−15». Задание #3 . Проверяемый навык – «уметь выполнять дей- ствия с геометрическими фигурами, координатами и вектора- ми». Обычно это несложная геометрическая задача про фигуры на координатной плоскости или на клетчатой бумаге. Для реше- ния этого задания достаточно знать: 9 • теорему Пифагора; • формулы для площадей треугольника, параллелограмма и трапеции (хотя чаще всего можно обойтись формулой для площади прямоугольного треугольника); • формулы для площади круга; • связь между вписанным и центральным углами, опираю- щимися на общую дугу; • определения синуса, косинуса и тангенса острых углов прямоугольного треугольника. Задание #4 . Проверяемый навык – «уметь строить и иссле- довать простейшие математические модели». Это задача на теорию вероятностей. Для решения этой задачи нужно знать: • классическое определение вероятности; • вероятность наступления одного из нескольких несовмест- ных событий (то есть тех, которые не могут произойти одновременно) равна сумме их вероятностей; • вероятность того, что последовательно наступят два неза- висимых события (то есть таких, что вероятность наступ- ления одного не зависит от того, наступило ли второе или нет) равна произведению их вероятностей. 10 Вероятностью случайного события A называется отно- шение количества n равновероятных элементарных со- бытий, составляющих событие A, к количеству всех воз- можных элементарных событий N : P (A) = n N Задание #5 . Проверяемый навык – «уметь решать уравне- ния и неравенства». Сложность этого задания в том, что на этой позиции может встретиться любое уравнение (пусть и очень простое). Поэто- му, для того, чтобы уверенно справиться с этим заданием нуж- но уметь решать: • линейные, квадратные и простейшие кубические уравне- ния; • рациональные уравнения; • простейшие иррациональные уравнения; • простейшие показательные и логарифмические уравне- ния; • простейшие тригонометрические уравнения. При решении этого задания нужно понимать, что от вас требуется только ответ. Если вы угадали корень и про- верили, что он подходит, то можно смело писать его в бланк ответов. Обосновывать ответ вам не нужно. 11 Большинство таких задач можно решить методом «присталь- ного взгляда». Рассмотрим несколько примеров. Найдите корень уравнения (x − 1) 3 = 8. Сразу понятно, что x − 1 = 2, значит x = 3. Найдите корень уравнения √ 2x + 1 = 3. Так как √ 9 = 3, то 2x + 1 = 9, значит x = 4. Найдите корень уравнения log 6 (8 − x) = log 6 5. Здесь даже можно не вспоминать, что такое логарифм. Оче- видно, что при x = 3 слева и справа получится одно и тоже. При этом важно понимать, что такого уровня обоснований бы- ло бы недостаточно, если требовалось бы подробное решение. Но в тестовой части ЕГЭ оно не требуется, поэтому часто от- вет можно просто «угадать». Задание #6 . Проверяемый навык – «уметь выполнять дей- ствия с геометрическими фигурами, координатами и вектора- ми». Это совсем простая задача по планиметрии, которая обычно решается в одно действие. Она проверяет знание какого-то 12 факта, теоремы или формулы. Проблема в том, что на этой позиции может встретиться задача на любую тему. Поэтому, чтобы уверенно её решать нужно (пусть и на совсем базовом уровне) знать всю классическую школьную планиметрию. Но в большинстве задач достаточно знать те факты, которые мы упоминали в задании #3 Задание #7 . Проверяемый навык – «уметь выполнять дей- ствия с функциями». Для решения этого задания у вас должны быть представле- ния о: • производной и её геометрическом и физическом смысле; • касательной и её связи с производной; • связи производной с монотонностью функции; • первообразной, интеграле, площади под графиком и их связи через формулу Ньютона-Лейбница. Обычно сложность с этим заданием для школьников связана с тем, что в школе очень поверхностно говорят о производных (и тем более про первообразную и интеграл), практически ничего не объясняя и не доказывая. Важно понимать следующее. • Значение производной в некоторой точке x 0 равно танген- су угла наклона касательной к графику этой функции в точке x 0 с положительным направлением оси абсцисс. • Пусть в некоторой точке x 0 существует производная. То- гда уравнение касательной к графику функции в этой 13 точке можно записать так: y = f (x 0 ) + (x − x 0 )f 0 (x 0 ). • Если f 0 (x) > 0 во всех точках некоторого интервала, то функция возрастает на нем, а если f 0 (x) < 0 во всех точ- ках интервала, то функция на нем убывает. • Если функция f (x) имеет экстремум в точке x 0 , то либо f 0 (x 0 ) = 0, либо f 0 (x 0 ) не существует. • Первообразной функции f на промежутке I называется такая функция F , что для всех x ∈ I справедливо равен- ство F 0 (x) = f (x). Если в задании дан график, то во-первых, очень важ- но не перепутать чей это график: самой функции, ее производной или первообразной. Во-вторых, не путай- те минимум/максимум функции с точками миниму- ма/максимума. Минимум/максимум – это «игрики», а точка минимума/максимума – «иксы». Задание #8 . Проверяемый навык – «уметь выполнять дей- ствия с геометрическими фигурами, координатами и вектора- ми». Это простая задача по стереометрии. Так же как и задание #6 , эта задача может быть про любой факт из школьной стерео- метрии. 14 Не нужно отдельно заучивать формулы для объемов всех изучаемых тел. Достаточно понять, что все изучае- мые в школе тела (кроме шара) делятся на две группы. • Цилиндры: призмы (в частности, параллелепипе- ды, в том числе и прямоугольные параллелепипеды и кубы) и прямые круговые цилиндры; их объёмы равны Sh. • Конусы: пирамиды (в том числе, тетраэдры) и пря- мые круговые конусы; их объёмы равны 1 3 Sh. Где S – площадь основания, а h – высота. Кстати, если вам сложно запомнить обе формулы – S = 4πR 2 и V = 4 3 πR 3 – для площади сферы и объема шара, то достаточ- но помнить только одну и понять, что, также как и формулы для длины окружности и площади круга, они связаны через производную. Действительно, если взять производную «по R», то • для круга: S 0 = (πR 2 ) 0 = 2πR = `; • для шара: V 0 = 4 3 πR 3 0 = 4πR 2 = S. На самом деле этот факт справедлив для шара в произвольном n-мерном пространстве, но здесь мы это доказывать не будем. Задание #9 . Проверяемый навык – «уметь выполнять вы- числения и преобразования». 15 В этом задании нужно преобразовать числовое или буквенное выражение. При этом само выражение может быть алгебраи- ческим, иррациональным, показательным, логарифмическим или тригонометрическим. Поэтому для уверенного выполне- ния этого задания нужно уметь пользоваться формулами со- кращенного умножения и знать основные свойства степеней, логарифмической и тригонометрических функций. В заданиях с числовыми выражениями не бросайтесь сразу считать. Попробуйте сначала упростить выраже- ние. Например, с помощью формул сокращенного умно- жения. Рассмотрим два примера. Найдите значение выражения 432 2 − 568 2 1000 Вычислять каждый из квадратов в отдельности довольно тру- доемко, и есть высокий риск сделать арифметическую ошибку. Но если воспользоваться формулой разности квадратов, то в числителе мы получим 432 2 − 568 2 = (432 − 568)(432 + 568) = −136 · 1000. Поэтому ответ – «−136». Найдите значение выражения 1, 23 · 45, 6 12, 3 · 0, 456 16 В подобных заданиях не нужно вычислять отдельно числитель и знаменатель. Достаточно заметить, что • числитель = 123 100 · 456 10 = 123 · 456 1000 ; • знаменатель = 123 10 · 456 1000 = 123 · 456 10000 Поэтому 1, 23 · 45, 6 12, 3 · 0, 456 = 123 · 456 1000 : 123 · 456 10000 = 123 · 456 1000 · 10000 123 · 456 = 10. Отметим, что в таких задачах, чтобы случайно не ошибиться на порядок, полезно вначале прикинуть чему равно это выра- жение. Например, так: 1, 23 · 45, 6 12, 3 · 0, 456 ≈ 1 · 50 12 · 0, 5 = 50 6 ≈ 8. Теперь, когда вы заранее знаете, что ответ это примерно 8, вы сразу поймете, что ошиблись, если получите 1 или 100. В заданиях с буквенными выражениями часто можно немного «считерить», и получить верный ответ не решая честно задание. Дело в том, что мы заранее знаем, что ответом будет число (таков формат ЕГЭ). Значит, выра- жение преобразуется так, что «буквы» не будут входить в ответ. А это означает, что при всех значениях «букв» ответ один и тот же. Поэтому, для того чтобы его найти, достаточно подставить любые допустимые числа вместо «букв». 17 Рассмотрим типичный пример. Найдите значение выражения 5 √ x + 2 √ x − 2 √ x x при x > 0. Честное решение. 5 √ x + 2 √ x − 2 √ x x = 5x + 2 √ x x − 2 √ x x = = 5x + 2 √ x − 2 √ x x = 5x x = 5. Нечестное решение. Мы знает, что ответ не зависит от x. Подставим, например, x = 1. Получим 5 √ x + 2 √ x − 2 √ x x = 7 − 2 = 5. Задание #10 . Проверяемый навык – «уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». Это задание выглядит как задача по физике или экономике, в которой кроме условия написали ещё и все формулы, которые нужно использовать. По сути для ее решения нужно преоб- разовать некоторое выражение (см. советы к заданию #9 ) и решить простейшее уравнение или неравенство (см. советы к заданию #5 ). Рассмотрим один пример. 18 Водолазный колокол, содержащий ν = 5 моля воздуха при давлении p 1 = 1, 75 атмосферы, медленно опуска- ют на дно водоёма. При этом происходит изотермиче- ское сжатие воздуха до конечного давления p 2 . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = ανT log 2 p 2 p 1 , где α = 9, 7 – постоян- ная, N = 300 К – температура воздуха. Найдите, какое давление p 2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 29100 Дж. Для решения таких задач можно либо сначала преобразовать буквенное равенство и только потом подставлять числа, либо наоборот – подставить числа и преобразовывать уже числовое выражение. Если пойти первым путем, то получится такое решение: A = ανT log 2 p 2 p 1 ⇒ log 2 p 2 p 1 = A ανT ⇒ ⇒ p 2 p 1 = 2 A ανT ⇒ p 2 = p 1 · 2 A ανT A ανT = 29100 9, 7 · 5 · 300 = 291 48, 5 · 3 = 97 48, 5 = 2. p 2 = 1, 75 · 2 2 = 1, 75 · 4 = 7. А если вторым путем, то такое: A = ανT log 2 p 2 p 1 ⇒ ⇒ 29100 = 9, 7 · 5300 · log 2 p 2 1, 75 = 14550 · log 2 p 2 1, 75 ⇒ 19 ⇒ log 2 p 2 1, 75 = 29100 14550 = 2 ⇒ p 2 1, 75 = 2 2 = 4 ⇒ ⇒ p 2 = 4 · 1, 75 = 7. Задание #11 . Проверяемый навык – «уметь строить и ис- следовать простейшие математические модели». Это не очень сложная текстовая задача на движение, на сов- местную работу или про сплавы/растворы. Для ее решения помогут советы по заданиям #1 и #5 Вспомним полезные соображения, которые нужно знать при решении текстовых задач. Движение по реке. Скорость движения по течению реки равна v + u, а против течения она равна v − u, где v – скорость в стоячей воде (собственная скорость) плавательного средства, а u – скорость течения реки. Собственная скорость плота счи- тается равной нулю. Совместное движение вдоль прямой. Если два объекта в начальный момент времени находятся на расстоянии S и на- чинают двигаться навстречу друг другу с постоянными скоро- стями v и u, то они встретятся через время, равное t = S u + v Если два объекта в начальный момент времени находятся на расстоянии S, и второй со скоростью u начинает догонять пер- вого, двигающегося со скоростью v < u, то они встретятся через время, равное t = S u − v 20 При решении задач на движение принято считать (ес- ли в условии не оговорено противное), что движение на отдельных участках равномерное (то есть скорости пе- шехода, велосипеда, автомобиля, лодки, течения реки и проч. не зависят от времени). Путь S, пройденный объ- ектом, определяется по формуле S = vt, где v – скорость объекта, а t – затраченное время; любое изменение ско- рости движущегося объекта (в том числе повороты и развороты) считается мгновенными, то есть происходит без затраты времени. Задачи на работу. В этих задачах рассматривается произ- водительность человеческого труда (рытье канавы, печатание рукописи, покраска забора) или производительность различ- ных механизмов (труб, насосов и проч.). При решении таких задач используется формула A = P t, где A – весь объем вы- полняемой работы, P – производительность труда, то есть объ- ем работы, выполняемый в единицу времени, t – время, необ- ходимое на выполнение всей работы. Многие задачи на работу ничем не отличаются от задач на движение. Достаточно в условии заменить произво- дительность на скорость, а работу – на перемещение. Когда задача cведена к уравнению, не забывайте про совет, который был в задании #5 : «от вас требуется только ответ, поэтому достаточно угадать корень и проверить, что он под- ходит». Рассмотрим следующий пример. 21 Моторная лодка прошла против течения реки 112 км, развернулась, и пошла обратно в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Если скорость течения реки равна u км/ч, то скорость лодки по течению равна 11+u км/ч, а скорость лодки против течения равна 11 − u км/ч. Получаем уравнение: 112 11 − u − 112 11 + u = 6. Если решать это уравнение честно (привести к общему знаме- нателю и упростить), то получится довольно неприятное квад- ратное уравнение (3u 2 +112u−363 = 0), при решении которого велик риск ошибки. Давайте поступим иначе. Скорее всего ответ целый и не очень большой (так как это скорость течения реки). Значит, 112 должно делиться на два числа, одно из которых чуть меньше 11, а другое – чуть больше. Легко заметить, что 112 делится на 8 и 14. При этом 112 8 − 112 14 = 14 − 8 = 6. Всё! Значит u = 3. Задание #12 . Проверяемый навык – «уметь выполнять дей- ствия с функциями». Это задание на исследование функции с помощью производ- ной. Задачи бывают двух типов: 22 • нахождение точек максимума/минимума, то есть точек, в которых функция принимает локально самое большое/маленькое значение; • нахождение наибольшего/наименьшего значения функции на промежутке. Для решение задачи помогут факты, которые мы вспоминали в задании #7 Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непре- рывной на отрезке [a; b] функции, достаточно вычис- лить значение этой функции в концевых точках, а также во всех точках интервала (a; b), в которых производная равна нулю или не существует, и из полученного набора значений выбрать наибольшее и наименьшее. Но иногда на этой позиции встречаются задания, которые мож- но решить без использования производной. Для их решения достаточно уметь исследовать квадратичную функцию. Рас- смотрим один пример. Найдите наименьшее значение функции y = 2 x 2 +2x+3 Выделим полный квадрат: x 2 + 2x + 3 = (x + 1) 2 + 2. Зна- чит, показатель степени не меньше 2, и равен 2 при x = −1. Поэтому y = 2 x 2 +2x+3 = 2 (x+1) 2 +2 > 2 2 = 4. Наименьшее значение равно 4 (и достигается при x = −1). 23 Задание #13 . Проверяемый навык – «уметь решать уравне- ния и неравенства». Это первая из задач, где требуется подробное решение. Зада- ние стоит 2 балла и содержит два пункта, за каждый из кото- рых можно получить 1 балл. В первом пункте нужно решить уравнение (чаще всего тригонометрическое, но встречаются логарифмические и иррациональные уравнения), а во втором – отобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку. Чтобы справиться с заданием нужно уметь решать чуть более сложные уравнения, чем те, которые были в задании #5 Задание #14 . Проверяемый навык – «уметь выполнять дей- ствия с геометрическими фигурами, координатами и вектора- ми». Задание по стереометрии, стоит 2 балла и содержит два пунк- та, за каждый из которых можно получить 1 балл. В первом пункте нужно доказать какое-то утверждение про геометри- ческую конструкцию, а во втором – найти какую-то величину. Например, • объём многогранника или цилиндра; • расстояние от точки до прямой или до плоскости; • площадь сечения; • угол между плоскостями; • расстояние между прямыми или плоскостями; • угол между прямой и плоскостью; • угол между скрещивающимися прямыми. 24 Обсудим основные идеи, которые могут пригодиться при ре- шении этого задания. • Если в первом пункте нужно доказать перпендикуляр- ность двух скрещивающихся прямых, то чаще всего это легко сделать используя теорему о трёх перпендикулярах • Для решения задач на нахождения объема помогут сове- ты к заданию #8 • Расстояние от точки до плоскости можно найти так. Вы- брав удобные три точки на плоскости, найти площадь тре- угольника с вершинами в этих точках и объем тетраэдра с вершинами в эти и исходной точках. Искомое расстоя- ние – это высота полученного тетраэдр. Она находится из формулы для объема: h = 3V S • Для решения задач про площадь сечения и угол между плоскостями, полезно помнить формулу S 0 = S cos α, свя- зывающую площадь фигуры S, площадь её проекции S 0 и угол α между плоскостями. Задание #15 . Проверяемый навык – «уметь решать уравне- ния и неравенства». Задание стоит 2 балла. На этой позиции чаще всего находится логарифмическое или показательное неравенство (но встреча- ются и рациональные и иррациональные). Большинство задач либо после замены, либо после использова- ния метода рационализации , сводятся к решению рациональ- ного неравенства, поэтому для их решения важно уметь поль- зоваться методом интервалов. 25 Задание #16 . Проверяемый навык – «уметь выполнять дей- ствия с геометрическими фигурами, координатами и вектора- ми». Это задание по планиметрии средней сложности, стоит 3 балла и содержит два пункта. В первом пункте, за который можно получить 1 балл, необходимо доказать какое-то утверждение про геометрическую конструкцию, а во втором, за который можно получить 2 балла, – найти какую-то величину. Кроме тех фактов, которые мы упоминали в задании #3 , чаще всего при решении этого задания нужны: • связи между элементами прямоугольного треугольника; • факты про вписанную и описанную окружности треуголь- ника; • факты про точки пересечения медиан, биссектрис, высот и серединных перпендикуляров ; • теорема о биссектрисе угла треугольника; • формулы для площади треугольника, в том числе, и фор- мула Герона ; • теоремы о касательной и секущей, о двух секущих, о пе- ресекающихся хордах; • теоремы синусов и косинусов Задание #17 . Проверяемый навык – «уметь использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». Это экономическая задача, которая стоит 3 балла. Такие за- дания бывают двух типов: 26 • задачи на банковские проценты (про вклады или креди- ты); • задачи на оптимизацию. Для успешного решения задач на банковские проценты нужно хорошо понимать как работать с процентами и знать формулы для сумм арифметической и геометрической прогрессий. При решении задач на оптимизацию помогут навыки иссле- дования функций на экстремумы, которые мы обсуждали в задании #12 Задание #18 . Проверяемый навык – «уметь решать уравне- ния и неравенства». Это задача (уравнение, неравенство или их система) с пара- метром, которая стоит 4 балла. Обсудим два основных метода, которые помогают решить за- дачи с параметром. Обычно, каждую конкретную задачу мож- но решить несколькими способами, но чем больше методов в вашем «арсенале», тем больше шансов справиться с задачей. Аналитический подход. Этот подход заключается в том, чтобы просто решить соответствующее уравнение или нера- венство так, будто параметр известен. Для этого нужно уметь хорошо решать уравнения и неравенства (смотрите задания #13 и #15 ). Этот метод сильно усложняется, если задача со- держит модуль или неравенство, так как возникает большое количество случаев в зависимости от того, где на числовой прямой лежит параметр. Графический подход. Этот подход заключается в том, что- бы изобразить множество точек, которые 27 • задает уравнение/неравенства в координатах (x; a), что позволяет при каждом значении параметра явно видеть сколько и каких решений есть у уравнения/неравенства; • задает система уравнений/неравенств в координатах (x; y); в этом случае график будет «динамическим», так как множество точек будет меняться в зависимости от пара- метра. Для уверенного использования этого подхода нужно уметь по формулам строить графики прямых, парабол, гипербол и окружностей, а также всевозможных областей ограниченных этими кривыми. Задание #19 . Проверяемый навык – «уметь строить и ис- следовать простейшие математические модели». На этой позиции можно встретить текстовую или алгебра- ическую задачу высокой сложности. Задание стоит 4 балла и обычно содержит три пункта. За каждый из первых двух пунктов можно получить по 1 баллу, а за последний – 2. Хотя для решения задачи не требуется каких-то внешкольных знаний, она сложна своей нестандартностью и необходимостью логически рассуждать для ее решения. Среди фактов, которые могут пригодиться для решения, стоит отметить следующие: • элементы теории чисел – основная теорема арифметики, свойства делимости и признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 и 11; • факты про арифметическую и геометрическую прогрес- сию – формулы общего члена, характеристические свой- ства, формулы суммы первых членов; 28 • элементы комбинаторики – подсчёт вариантов, правила произведения и суммы. Не смотря на то, что целиком задание решить довольно слож- но, первый пункт часто бывает очень простым. Рассмотрим несколько примеров. С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записы- вают сумму этих цифр (например, из числа 1923 полу- чается число 110911253). а) Приведите пример числа, из которого получается 2108124117. б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128? в) Какое наибольшее число, кратное 11, может полу- читься из трехзначного числа? Внимательно посмотрев на 2108124117 легко увидеть 2 10 8 12 4 11 7. Получаем ответ 2847. Всё! Первый пункт решен. 29 В живом уголке четыре ученика кормят кроликов. Каж- дый кормит нескольких (хотя бы одного) кроликов, но не всех. Первый ученик дает порцию по 100 грамм, вто- рой – по 200 грамм, третий – по 300 грамм, а четвертый – по 400 грамм. а) Может ли оказаться так, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма? б) Может ли оказаться так, что кроликов было 15 и все они получили разное количество корма? в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если каждый ученик насыпал корм ров- но четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма? Достаточно разделить 15 кроликов на любые две группы (на- пример, на 5 и 10 кроликов), и первой группе дать по 100+400, а второй – по 200 + 300. В нескольких одинаковых бочках налито некоторое ко- личество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из од- ной бочки в другую. а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках? б) Пуcть есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний? в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках? 30 Посчитаем, сколько всего литров: 29 + 32 + 40 + 91 = 192. Значит, если во всех бочках будет поровну, то в каждой будет 192/4 = 48. Достаточно из бочки, в которой 91, перелить 19, 16 и 8, соответственно, в первую, вторую и третью. И в ней останется 91 − 19 − 16 − 8 = 48. Видно, что первые пункты в этих задачах совсем простые, да и вторые тоже не очень сложные. Не стоит упускать возмож- ность получить на этом задании 1-2 балла, даже если у вас нет времени и сил решить его целиком. 31 Как готовиться к экзамену Определите цель. Для начала нужно понять на какой уро- вень вы хотите выйти, и не забывать, что кроме математики нужно ещё сдавать несколько предметов. Если вам достаточно 70-80 баллов, и есть тема, которая провисает, скорее всего не стоит тратить на неё время. Прокачивайте все необходимые предметы параллельно. Ино- гда бывает так, что абитуриент много сил вкладывает в под- готовку по математике доводит её до совершенства и напиши- те ЕГЭ на 100 баллов, но при этом физику, например, пишет всего на 50. В итоге было бы эффективнее потратить больше усилий на физику и довести её до 70 баллов. Прокачать с 50 до 70 проще, чем с 90 до 100. С чего начать. Подготовка к ЕГЭ делится на два этапа: обу- чение и проверка своего уровня. Во время обучения стоит за- ново просмотреть учебник, повторить непонятные или слож- ные темы, вспомнить основные факты. Для отработки темы начинайте с простых задач. Только когда хорошо усвоите ма- териал, переходите к задачам из ЕГЭ. Отработайте тестовую часть. Если вы рассчитываете сдать экзамен на 90+ баллов, то вам нужно научиться чисто решать тестовую часть за 20-30 минут. Засекайте время по таймеру и упражняйтесь с тренировочными вариантами. В них можно самостоятельно проверить правильность ответов, а также по- нять свой уровень подготовки. 32 Сильные школьники порой спотыкаются на первых 12 задачах, потому что привыкли решать что-то более со- держательное. Обидно, когда такие ребята теряют бал- лы, время и силы на простых задачах. Если же ваша цель 70-75 баллов, то это всего 14-16 первичных баллов. Можно тратить даже по 10-15 минут на самые про- стые задачи, но доводить их до состояния, когда вы на 100% уверены в своем ответе. Перепроверяйте себя, решайте разны- ми способами. Вся тестовая часть, плюс еще пара задач и это уже 70-75 баллов! Не бойтесь сложных заданий. Некоторые школьные учи- теля говорят, что последние задания слишком сложные, и со- всем не хотят обсуждать их со школьниками. На самом деле это не совсем так. Все задачи из ЕГЭ решаемы при должном старании. Дело в том, что домашние, самостоятельные и контрольные работы по математике приучили вас к тому, что на задачу нужно тратить не более, чем 5—10 минут. Так у школьников появляется ощущение, что если не можешь решить за 10 ми- нут, то и не получится совсем. Однако, в реальной математике есть сложные математические проблемы, которые решаются неделями, месяцами и даже годами. И это нормально. Если вы, например, тренируетесь решать задание #19 , то нор- мально, если в первый раз вы потратите на него неделю. По- думали над ним час, если нет никаких идей, вернитесь к нему через день, через два. Снова подумайте над решением этого за- дания, рассматривайте разные способы. Не отчаивайтесь, если не удалось решить задачу и со второй-третьей попытки – над 33 ней можно думать по часу в течение недели. Если сначала вы будете суммарно тратить на задачу 5-10 часов – прекрас- но! Продолжайте тренироваться, продолжайте решать. Если у вас есть достаточно времени и желания, в какой-то момент вы выйдете на стабильное решение таких заданий в течение часа. Этого достаточно, чтобы «затащить» их на ЕГЭ. Для того, чтобы перестать бояться сложных задач, нуж- но просто решать их как можно больше. Таймер. Необходимо узнать, сколько времени вам потребует- ся на решение всех задач. Для этого возьмите вариант прошло- го года, поставьте таймер на 4 часа и все это время решайте, ни на что не отвлекаясь. В итоге вы поймете, сколько успеете сделать за 4 часа экзамена. Для успешной сдачи ЕГЭ мало уметь решать любую за- дачу, нужно в стрессовых условиях экзамена успевать отрешать и оформить всё за 4 часа. Пробные экзамены. Их проводят на уровне школы или го- рода. В крупных городах есть центры, где за небольшую плату тоже можно пройти пробный ЕГЭ. Однако, нужно учитывать, что «пробник» может сильно отличаться от реального экзаме- на. Но в любом случае, пробный ЕГЭ даст хорошее представ- ление о том, как устроены задания и сама процедура экзамена. 34 |