Дифференциальные-уравнения-2го-поряд. Дифференциальные уравнения 2го порядка

• Название: Дифференциальные уравнения 2го порядка
• Анкор: Дифференциальные-уравнения-2го-поряд.doc
• Дата: 13.03.2018
• Размер: 9.28 Mb.
• Имя файла: Дифференциальные-уравнения-2го-поряд.doc
• Тип: Документы; #16621
• страница: 1 из 3

Дифференциальные уравнения 2-го порядка

§1. Методы понижения порядка уравнения.

Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:

_. (1.1)

Общим решением уравнения является семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных _ и _: _ (или _ – общий интеграл дифференциального уравнения 2-го порядка). Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1.1) состоит в отыскании частного решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям: при _: _, _. Необходимо заметить, что графики решений уравнения 2-го порядка могут пересекаться в отличие от графиков решений уравнения 1-го порядка. Однако решение задачи Коши для уравнений 2-го порядка (1.1) при довольно широких предположениях для функций, входящих в уравнение, единственно, т.е. всякие два решения с общим начальным условием _, _ совпадают на пересечении интервалов определения.

Получить общее решение или решить задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка аналитически удается далеко не всегда. Однако в некоторых случаях удается понизить порядок уравнения с помощью введения различных подстановок. Разберем эти случаи.

1. 
   Уравнения, не содержащие явно независимой переменной _.
   

Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: _, т.е. в уравнении (1.1) явно не присутствует независимая переменная _. Это позволяет принять _ за новый аргумент, а производную 1-го порядка _ принять за новую функцию _. Тогда _.

Таким образом, уравнение 2-го порядка _ для функции _, не содержащее явно _, свелось к уравнению 1-го порядка _ для функции _. Интегрируя это уравнение, получаем общий интеграл _ или _, а это есть дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции _. Решая его, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения, зависящий от двух произвольных постоянных: _.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение _ при заданных начальных условиях: _, _.

Решение.

Так как в исходном уравнении в явном виде отсутствует аргумент _, то примем _ за новую независимую переменную, а _ – за _. Тогда _ и уравнение приобретает следующий вид для функции _: _.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: _ . Откуда следует _, т.е. _.

Так как при _и _, то подставляя начальные условия в последнее равенство, получаем, что _ и _, что равносильно _. В результате для функции _ имеем уравнение с разделяющимися переменными, решая которое, получаем _. Используя начальные условия, получаем, что _. Следовательно, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий начальным условиям, имеет вид: _.

2. 
   Уравнения, не содержащие явно искомой функции _.
   

Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид: _, т.е. в уравнение явно не входит искомая функция _. В этом случае вводят постановку _. Тогда _ и уравнение 2-го порядка _ для функции _ переходит в уравнение 1-го порядка _ для функции _. Проинтегрировав его, получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции _: _. Решая последнее уравнение, получаем общий интеграл заданного дифференциального уравнения _, зависящий от двух произвольных постоянных: _.

Пример 2. Найти общее решение уравнения: _

Решение.

В данное уравнение 2-го порядка явно не входит искомая функция _, следовательно, делаем замену: _ и _. В результате чего получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции _: _ или _, являющееся линейным уравнением. Решая его, получаем: _ или _. Итак, для функции _ получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: _, откуда следует общее решение исходного уравнения: _.

3. 
   Порядок степени понижается, если удается преобразовать его к такому виду, что обе части уравнения становятся полными производными по _ от каких-нибудь функций. Например, пусть дано уравнение _. Деля обе части на _, получаем _; _; _; _ – порядок уравнения понижен.
   

§2. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка имеет следующий вид:

_, (2.1)

где _, _, _ и _ – заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a₀(x) ≠ 0, поделим (2.1) на _ и, после введения новых обозначений для коэффициентов, запишем уравнение в виде:

_ (2.2)

Примем без доказательства, что (2.2) имеет на некотором промежутке единственное решение, удовлетворяющее любым начальным условиям _, _, если на рассматриваемом промежутке функции _, _ и _ непрерывны. Если _, то уравнение (2.2) называется однородным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае.

Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.

Определение. Линейной комбинацией функций _ называется выражение _, где _ – произвольные числа.

Теорема. Если _ и _ – решение лоду

_, (2.3)

то их линейная комбинация _ также будет решением этого уравнения.

Доказательство.

Поставим выражение _ в (2.3) и покажем, что в результате получается тождество:

_.

Перегруппируем слагаемые:

_.

Поскольку функции _ и _ являются решениями уравнения (2.3), то каждая из скобок в последнем уравнении тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Из доказанной теоремы вытекает при _, что если _ – решение уравнения (2.3), то _ тоже есть решение этого уравнения.

Следствие 2. Полагая _, видим, что сумма двух решений лоду _ также является решением этого уравнения.

Замечание. Доказанное в теореме свойство решений остается справедливым для лоду любого порядка.

§3. Определитель Вронского.

Определение. Система функций _ называется линейно независимой на некотором промежутке, если ни одна из этих функций не представляется в виде линейной комбинации всех остальных.

В случае двух функций _ это означает, что _, т.е. _. Последнее условие можно переписать в виде _ или _. Стоящий в числителе этого выражения определитель _ называется определителем Вронского для функций _ и _. Таким образом, определитель Вронского для двух линейно независимых функций не может быть тождественно равен нулю.

Пусть _ – определитель Вронского для линейно независимых решений _ и _ уравнения (2.3). Убедимся подстановкой, что функция _ удовлетворяет уравнению _. (3.1)

Действительно, . Поскольку функции _ и _ удовлетворяют уравнению (2.3), то _, т.е. _ – решение уравнения (3.1). Найдем это решение: _; _. Откуда _, _._, _,_.

В правой части этой формулы надо взять знак плюс, так как только в этом случае при _ получается тождество. Таким образом,

_ (3.2)

Это формула называется формулой Лиувилля. Выше было показано, что определитель Вронского для линейно независимых функций не может быть тождественно равен нулю. Следовательно, существует такая точка _, в которой определитель для линейно независимых решений уравнения (2.3) _ отличен от нуля. Тогда из формулы Лиувилля следует, что функция _ будет отлична от нуля при всех значениях _ из рассматриваемого промежутка, поскольку при любом значении _ оба множителя в правой части формулы (3.2) отличны от нуля.