Дифференциальные-уравнения-2го-поряд. Дифференциальные уравнения 2го порядка

• Название: Дифференциальные уравнения 2го порядка
• Анкор: Дифференциальные-уравнения-2го-поряд.doc
• Дата: 13.03.2018
• Размер: 9.28 Mb.
• Имя файла: Дифференциальные-уравнения-2го-поряд.doc
• Тип: Документы; #16621
• страница: 3 из 3

§8. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Непосредственное нахождение частного решения лнду, кроме случая уравнения с постоянными коэффициентами, причем со специальными свободными членами, представляет большие трудности. Поэтому для нахождения общего решения лнду обычно применяют метод вариации произвольных постоянных, который всегда дает возможность найти общее решение лнду в квадратурах, если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Этот метод состоит в следующем.

Согласно вышеизложенному, общее решение линейного однородного уравнения:

_, (8.1)

где _ – линейно независимые на некотором интервале X решения лоду, а _- произвольные постоянные. Будем искать частное решение лнду в форме (8.1), считая, что _ – не постоянные, а некоторые, пока неизвестные, функции от _:

_. (8.2)

Продифференцируем равенство (8.2):

_. (8.3)

Подберем функции _ и _ так, чтобы выполнялось равенство: _. Тогда вместо (8.3) будем иметь:

_. (8.4)

Продифференцируем это выражение еще раз по _. В результате получим:

_. (8.5)

Подставим (8.2), (8.4), (8.5) в лнду 2-го порядка _ f(x):

_ f(x)

или

_ f(x). (8.6)

Так как _ - решения лоду _, то последнее равенство (8.6) принимает вид: _ f(x).

Таким образом, функция (8.2) будет решением лнду в том случае, если функции _ и _ удовлетворяют системе уравнений:

_ (8.7)

Так как определителем этой системы является определитель Вронского для двух линейно независимых на X решений соответствующего лоду, то он не обращается в ноль ни в одной точке интервала X. Следовательно, решая систему (8.7), найдем _ и _: _ и _. Интегрируя, получим:

_, _,

где _ - произвольные постоянные.

Возвращаясь в равенство (8.2), получим общее решение неоднородного уравнения:

_.

Пример. Решить уравнение: _.

Решение.

Соответствующее однородное уравнение _. Интегрируя его, получим общее решение: _. Итак , двумя линейно независимыми решениями, образующими общее решение, являются функции _ и _.

Предположим теперь, что общим решением заданного уравнения является выражение _.

Для определения функций _ и _ имеем систему уравнений:



Откуда получаем _, _. Следовательно, общее решение заданного уравнения есть: _.

Линейные уравнения высших порядков

§1. Однородное уравнение.

Линейным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

_ f(x). (1.1)

Если при всех рассматриваемых значениях _ функция f(x) равна нолю, то это уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Предполагаем, что коэффициенты _ и свободный член f(x) определены и непрерывны в интервале _. Тогда уравнение (1.1) имеет единственное решение _, определенное во всем интервале _ и удовлетворяющее начальным условиям: _, причем начальные данные _ можно задавать произвольно, а _ нужно брать из интервала _.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (лоду) всегда имеет нулевое решение _.

Для построения общего решения лоду достаточно знать _ линейно независимых в интервале _ частных решений _, т.е. таких решений, для которых тождество

_, _,

где _ - постоянные числа, может выполняться только при _. Такая система решений называется фундаментальной. Чтобы система решений лоду была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Вронского



был отличен от нуля хотя бы в одной точке из интервала _. В действительности, в этом случае определитель Вронского отличен от нуля во всех точках интервала _.

Если найдена фундаментальная система решений _ лоду, то формула

_, (1.2)

где _- произвольные постоянные, дает общее решение этого уравнения в области _.

§2. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Это уравнение имеет вид:

_, (2.1)

где _ - постоянные вещественные числа. Это уравнение имеет фундаментальную систему решений _, определенную при всех _ и состоящую из степенных, показательных и тригонометрических функций. Соответствующее ей общее решение:



определено в области _, т.е. во всем пространстве _.

Построение фундаментальной системы решений лоду делается методом Эйлера, который состоит в том, что частное решение лоду ищется в виде _, где _ - некоторое число, подлежащее определению. Подставляя эту функцию в уравнение (2.1), после сокращения на _ получим характеристическое уравнение:



Его корни называются характеристическими числами уравнения (2.1). Различают три случая.

1. 
   Все корни характеристического уравнения различны и вещественны. Обозначим их через _. Тогда фундаментальной системой решений будут: _, а общее решение имеет вид: _.
   
2. 
   Все корни характеристического уравнения различны, но среди них имеются комплексные. Пусть _ – комплексный корень характеристического уравнения. Тогда _ тоже будет корнем этого уравнения. Этим двум корням соответствуют два линейно независимых частных решения: _. Записав линейно независимые частные решения, соответствующие другим сопряженным парам комплексных корней и всем вещественным корням, получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения (2.1).
   
3. 
   Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Пусть _ - вещественный k-кратный корень. Тогда ему соответствует _ линейно независимых частных решений вида _, а в формуле общего решения – выражение вида _. Если _ - комплексный корень характеристического уравнения кратности _, то ему и сопряженному с ним корню _ той же кратности соответствуют _ линейно независимых частных решений вида:
   

В формуле общего решения этим корнем соответствует выражение вида:

_.

Записав линейно независимые частные решения указанного выше вида, соответствующие всем простым и кратным вещественным корням, а также сопряженным парам простых и кратных комплексных корней, получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами даст общее решение уравнения (2.1).