Дифференциальные-уравнения-2го-поряд. Дифференциальные уравнения 2го порядка

• Название: Дифференциальные уравнения 2го порядка
• Анкор: Дифференциальные-уравнения-2го-поряд.doc
• Дата: 13.03.2018
• Размер: 9.28 Mb.
• Имя файла: Дифференциальные-уравнения-2го-поряд.doc
• Тип: Документы; #16621
• страница: 2 из 3

§4. Структура общего решения лоду 2-го порядка.

Теорема. Если _ и _ – линейно независимые решения уравнения (2.3), то их линейная комбинация _, где _ и _ – произвольные постоянные, будет общим решением этого уравнения.

Доказательство.

То, что _есть решение уравнения (2.3), следует из теоремы о свойствах решений лоду 2-го порядка. Надо только еще показать, что решение _ будет общим, т.е. надо показать, что при любых начальных условиях _, _ можно выбрать произвольные постоянные _ и _ так, чтобы удовлетворить этим условиям. Запишем начальные условия в виде:



Постоянные _ и _ из этой системы линейных алгебраических уравнений определяются однозначно, так как определитель этой системы _ есть значение определителя Вронского для линейно независимых решений лоду при _:

_,

а такой определитель, как мы видели в предыдущем параграфе, отличен от нуля. Теорема доказана.

Пример. Доказать, что функция _, где _ и _ – произвольные постоянные, является общим решением лоду _.

Решение.

Легко убедиться подстановкой, что функции _ и _ удовлетворяют данному уравнению. Эти функции являются линейно независимыми, так как _. Поэтому согласно теореме о структуре общего решения лоду 2-го порядка _ является общим решением данного уравнения.

§5. ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Дано лоду 2-го порядка с постоянными коэффициентами _ (5.1), где _, _. Согласно предыдущему параграфу общее решение лоду 2-го порядка легко определяется, если известны два линейно независимых частных решения этого уравнения. Простой метод нахождения частных решений уравнения с постоянными коэффициентами предложил Л. Эйлер. Это метод, который называется методом Эйлера, состоит в том, что частные решения ищутся в виде _.

Подставляя эту функцию в уравнение (5.1), после сокращения на _, получим алгебраическое уравнение, которое называется характеристическим:

_ (5.2)

Функция _ будет решением уравнения (5.1) только при тех значениях k, которые являются корнями характеристического уравнения (5.2). В зависимости от величины дискриминанта _ возможны три случая.

1. 
   _. Тогда корни характеристического уравнения различны: _. Решения _ и _ будут линейно независимыми, т.к. _ и общее решение (5.1) можно записать в виде _.
   
2. 
   _. В этом случае _и _. В качестве второго линейно независимого решения _ можно взять функцию _. Проверим, что эта функция удовлетворяет уравнению (5.1). Действительно, _, _. Подставляя эти выражения в уравнение (5.1), получим
   

_ или _, т.к. _и _.

Частные решения _и _ линейно независимы, т.к. _. Следовательно, общее решение (5.1) имеет вид:

_ или _.

3. 
   _. В этом случае корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные: _, где _, _. Можно проверить, что линейно независимыми решениями уравнения (5.1) будут функции _ и _. Убедимся, что уравнению (5.1) удовлетворяет, например, функция y₁. Действительно, _, _. Подставив эти выражения в уравнение (5.1), получим
   

_.

Обе скобки в левой части этого равенства тождественно равны нулю. Действительно, _,

_. Таким образом, функция _ удовлетворяет уравнению (5.1). Аналогично нетрудно убедиться в том, что и _ есть решение уравнения (5.1). Поскольку _, то общее решение _ будет иметь вид:

_.

§6. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (лнду) 2-го порядка.

Теорема 1. Общее решение лнду 2-го порядка

_ f(x) (6.1)

представляется в виде суммы общего решения _ соответствующего однородного уравнения

_ (6.2)

и любого частного решения _ лнду (6.1).

Доказательство.

Докажем сначала, что _ будет решением уравнения (6.1). Для этого подставим _ в уравнение (6.1): _ f(x). Это равенство является тождеством, т.к. _ и _ f(x). Следовательно, _ есть решение уравнения (6.1).

Докажем теперь, что это решение является общим, т.е. можно так выбрать входящие в него произвольные постоянные, что будут удовлетворяться любые начальные условия вида: _, _ (6.3). Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (лоду) общее решение уравнения (6.2) можно представить в виде _, где _ и _ – линейно независимые решения этого уравнения. Таким образом:

_ и, следовательно, начальные условия (6.3) можно записать в виде:

_

или

_ (6.4)

Произвольные постоянные _ и _ определяются из этой системы линейных алгебраических уравнений однозначно при любых правых частях, т.к. определитель этой системы _ = _ есть значение определителя Вронского для линейно независимых решений уравнения (6.2) при _, а такой определитель, как мы видели выше, отличен от нуля. Определив постоянные _ и _ из системы уравнений (6.4) и подставив их в выражение _, мы получим частное решение уравнения (6.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям. Теорема доказана.

Докажем еще одну простую теорему, которая часто используется при решении лнду.

Теорема 2. Если _ - решение дифференциального уравнения _ f₁(x), а _ - решение уравнения _ f₂(x), то функция _ будет решением уравнения

_ f₁(x) + f₂(x). (6.5)

Доказательство.

Подставив функцию _ в уравнение (6.5), получим

_ f₁ + f₂. Это равенство является тождеством, т.к. _ f₁ и _ f₂. Теорема доказана.

§7. Решение лнду 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

Пусть в уравнении (6.1) коэффициенты постоянны, т.е. уравнение имеет вид:

_ f(x) (7.1)

где _.

Рассмотрим метод отыскания частного решения _ уравнения (7.1) в случае, когда правая часть f(x) имеет специальный вид. Это метод называется методом неопределенных коэффициентов и состоит в подборе частного решения в зависимости от вида правой части f(x). Рассмотрим правые части следующего вида:

1. 
   f(x) _, где _ – многочлен степени _, причем некоторые коэффициенты, кроме _, могут равняться нулю. Укажем вид, в котором надо брать частное решение в этом случае.
   

1. 
   Если число _ не является корнем характеристического уравнения для уравнения (5.1), то частное решение записываем в виде: _, где _ – неопределенные коэффициенты, которые подлежат определению методом неопределенных коэффициентов.
   

Пример 1. Найти общее решение уравнения _.

Решение.

Для уравнения _ составляем характеристическое уравнение: _. Откуда получаем _, _. Следовательно, общее решение однородного уравнения есть _. Правая часть заданного уравнения f(x) _ имеет специальный вид (случай 1), причем _ не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде: _, где _ – неопределенные коэффициенты. Найдем производные первого и второго порядков и подставим их в заданное уравнение:

_.

Обе части сокращаем на _ и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях _ в левой и правой частях равенства

_{ }

Из полученной системы уравнений находим: _. Тогда _, а общее решение заданного уравнения есть:

_.

2. 
   Если _ является корнем кратности _ соответствующего характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:
   

_,

где _ – неопределенные коэффициенты.

Пример 2. Решить уравнение _.

Решение.

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:

_, откуда _, _. Тогда общее решение однородного уравнения _ есть: _.

Правая часть заданного уравнения имеет специальный вид (случай 1). Так как _ является корнем характеристического уравнения кратности _, то частное решение ищется в виде:

_. Находим неопределенные коэффициенты _ методом, изложенным в примере 1. В результате получаем _. Окончательно имеем следующее выражение для общего решения:

_.

2. 
   Правая часть f(x) _, где хотя бы одно из чисел _ и _ отлично от нуля. Укажем вид частного решения в этом случае.
   

1. 
   Если число _ не является корнем характеристического уравнения для уравнения (5.1), то частное решение ищем в виде:
   

_,

где _ – неопределенные коэффициенты.

2. 
   Если число _ является корнем характеристического уравнения для уравнения (5.1), причем его кратность _, то записываем частное решение в виде:
   

_,

где _ – неопределенные коэффициенты.

Пример 3. Решить уравнение _.

Решение.

Корни характеристического уравнения для уравнения _ будут _, _. Тогда общее решение этого лоду: _.

Правая часть заданного в примере 3 уравнения имеет специальный вид: f(x) _, где _, а _. Число _ является корнем характеристического уравнения кратности _, поэтому частное решение лнду имеет вид: _.

Для определения _ и _ находим _, _ и подставляем в заданное уравнение:

.

Приводя подобные члены, приравнивая коэффициенты при _, _, получаем следующую систему: _, отсюда _.

Окончательно общее решение заданного уравнения имеет вид: _.

3. 
   f(x) _, где _ и _ - многочлены степени _ и _ соответственно, причем один из этих многочленов может равняться нулю. Укажем вид частного решения в этом общем случае.
   

1. 
   Если число _ не является корнем характеристического уравнения для уравнения (5.1), то вид частного решения будет:
   

, (7.2)

где _ – неопределенные коэффициенты, а _.

2. 
   Если число _ является корнем характеристического уравнения для уравнения (5.1) кратности _, то частное решение лнду будет иметь вид:
   

_, (7.3)

т.е. частное решение вида (7.2) надо умножить на _. В выражении (7.3) _ - многочлены с неопределенными коэффициентами, причем их степень _.

Пример 4. Указать вид частного решения для уравнения

_.

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид: _. Его корни: _, _. Общее решение лоду имеет вид:

_.

Правая часть заданного уравнения имеет специальный вид (случай 3): f(x) _. Число _ является корнем характеристического уравнения кратности _. Коэффициент при _ есть многочлен первой степени, а при _ - нулевой степени, поэтому степень многочленов с неопределенными коэффициентами надо брать _. Итак, вид частного решения:

_.

Далее коэффициенты _ могут быть определены по методу неопределенных коэффициентов.

Замечание. Если правая часть уравнения (7.1) есть сумма двух функций f(x) = f₁(x) + f₂(x), где каждая из f₁(x), f₂(x) имеют специальный вид (случаи 1-3), то частное решение _ подбирается в виде суммы: _, где _ есть частное решение для уравнения с правой частью f₁(x), а _ есть частное решение для уравнения с f₂(x). Аналогично находятся частные решения в случае, когда правая часть есть алгебраическая сумма конечного числа функций специального вида, рассмотренного в случаях 1-3.