Аналого-цифровые преобразователи. Фурье-Лаплас_Наггов (3). Дискретные преобразования Фурье и Лапласа
 Скачать 0.57 Mb.
|
|
АЗЕРБАЙДЖАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ Факультет: Информационные технологии и управление Кафедра: Приборостроительная инженерия Группа: 634.7 Специальность: 050648 – Инженер по биомедицинским технологиям КУРСОВАЯ РАБОТА Предмет: «Разработка и анализ биомедицинской информации» Тема: «Дискретные преобразования Фурье и Лапласа» Студент: Н.О. Наггаев Руководитель: Е.К. Рагимова Нормоконтроллер: А.З Федорцов Зав. кафедрой: д.т.н., доцент Л.Р. Бекирова БАКУ 2020 АЗЕРБАЙДЖАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ ЗАДАНИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ № Группа № 634.7 Специальность: 050648 Студент: Наггаев Наггов Омар Руководитель курсовой работы: Рагимова Елена Курбан Дата выдачи задания: __________ Дата сдачи курсовой работы: ________ Тема курсовой работы «Дискретные преобразования Фурье и Лапласа» Начальные данные курсовой работы: Дискретный периодический сигнал xд(t) задан отсчетами. В соответствии с вариантом задания (таблица Б.2) вычислите коэффициенты ДПФ Cn. Восстановите аналоговый сигнал x(t) по коэффициентам ДПФ. Убедитесь, что значение сигнала x(t) в отсчетных точках совпадают со значением дискретного сигнала. Период сигнала равен Т. Отсчетные значения сигнала: {1, 2, 1, 1}; Т, с: 2 с. Подпись заведующего кафедрой_____________________Л.Р. Бекирова Подпись руководителя курсовой работы______________ Е.К. Рагимова Подпись студента_________________________________ Н.О. Наггаев Дата выполнения работы____________________ Оценка_______________ Председатель комиссии: д.т.н.,доцент _______________ Л.Р. Бекирова Члены комиссии:_________________________________Л .Р. Бекирова _________________________________Н.П. Мустафаева _________________________________Е.К. Рагимова РЕФЕРАТ Дискретное преобразование Фурье — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать дифференциальные уравнения в частных производных и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье. Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию F(s) комплексного переменного (изображение) с функцией f(x) вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения. Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими. ABSTRACT Discrete Fourier transform is one of the Fourier transforms widely used in digital signal processing algorithms (its modifications are used in audio compression in MP3, image compression in JPEG, etc.), as well as in other areas related to frequency analysis in discrete (to for example, a digitized analog) signal. The Discrete Fourier Transform requires a discrete function as input. Such functions are often created by sampling (sampling values from continuous functions). Discrete Fourier Transforms help solve partial differential equations and perform operations such as convolutions. Discrete Fourier transforms are also actively used in statistics, in the analysis of time series. There are multidimensional discrete Fourier transforms. Laplace transform is an integral transform connecting the function F (s) of a complex variable (image) with the function f (x) of a real variable (original). With its help, the properties of dynamical systems are investigated and differential and integral equations are solved. One of the features of the Laplace transform, which predetermined its widespread use in scientific and engineering calculations, is that many ratios and operations on originals correspond to simpler ratios over their images. Thus, the convolution of two functions is reduced in the image space to the operation of multiplication, and linear differential equations become algebraic. XÜLASƏ Diskret Furye çevrilməsi rəqəmsal siqnal işləmə alqoritmlərində geniş yayılmış (dəyişiklikləri MP3-də səs sıxılmasında, JPEG-də görüntü sıxılmasında və s.) Və ayrıca diskret ( məsələn rəqəmsal analoq) siqnal. Ayrı Furye Dəyişikliyi giriş olaraq ayrı bir funksiya tələb edir. Bu cür funksiyalar tez-tez nümunə götürmə yolu ilə yaradılır (davamlı funksiyalardan seçmə dəyərləri). Ayrı-ayrı Furye çevrilmələri qismən diferensial tənliklərin həllinə və konvolüsiyalar kimi əməliyyatları yerinə yetirməyə kömək edir. Ayrı-ayrı Furye çevrilmələri statistikada, zaman sıralarının analizində də fəal şəkildə istifadə olunur. Çox ölçülü diskret Fourier çevrilmələri var. Laplas çevrilməsi, mürəkkəb bir dəyişənin (şəkil) F (lər) funksiyasını həqiqi dəyişənin (orijinal) f (x) funksiyası ilə bağlayan ayrılmaz bir çevrilmədir. Onun köməyi ilə dinamik sistemlərin xüsusiyyətləri araşdırılır və diferensial və inteqral tənliklər həll olunur. Elmi və mühəndis hesablamalarında geniş yayılmasını əvvəlcədən təyin edən Laplas çevrilməsinin xüsusiyyətlərindən biri də, orijinallar üzərində bir çox nisbət və əməliyyatın şəkillərinə nisbətən daha sadə nisbətlərə uyğun olmasıdır. Beləliklə, görüntü məkanında iki funksiyanın konvolsiyası vurma əməliyyatına qədər azalır və xətti diferensial tənliklər cəbri olur. CОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................ 7 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ........................................................................... 8 БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.....................................................19 1.2 СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ…………....23 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА................................................................... 26 3. РАСЧЕТ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА...........................................................................................29 ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................................................................31 ЛИТЕРАТУРА.......................................................................................................32 ВВЕДЕНИЕ Цифровая обработка сигналов оперирует с дискретными преобразованиями сигналов и обрабатывающих данные сигналы систем. Математика дискретных преобразований зародилась в недрах аналоговой математики еще в 18 веке в рамках теории рядов и их применения для интерполяции и аппроксимации функций, однако ускоренное развитие она получила в 20 веке после появления первых вычислительных машин. В принципе, в своих основных положениях математический аппарат дискретных преобразований подобен преобразованиям аналоговых сигналов и систем. Однако дискретность данных требует учета этого фактора, и его игнорирование может приводить к существенным ошибкам. Кроме того, ряд методов дискретной математики не имеет аналогов в аналитической математике. 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Дискретные преобразования Фурье устанавливают взаимооднозначное соответствие между дискретными сигналами и их спектрами. При этом следует сразу подчеркнуть, что дискретный спектральный анализ не является дискретной формой непрерывного анализа (такой анализ, приспособленный к обработке непрерывных сигналов на цифровых ЭВМ, также существует), а является во многих отношениях своеобразной областью теории сигналов со своими особенностями и закономерностями. В то же время непрерывный анализ может рассматриваться, при некоторых условиях, как предельный случай дискретного анализа. Финитные действительные дискретные сигналы  , конечной энергии или мощности можно геометрически интерпретировать в виде векторов в евклидовом функциональном пространстве  размерности  , причем пространства по энергии и мощности в этом случае совпадают, так как мощность и энергия таких сигналов различаются в конечное число раз. Проекции (спектр)  сигнала в системе координат, образованной из действительных функций  , могут быть определены по формуле (1.1)а сам сигнал восстановлен по этим проекциям в соответствии с выражением  . (1.2)Зависимости (1.1) и (1.2) определяют прямое и обратное дискретные преобразования Фурье. Для комплексного базиса пара дискретных преобразований Фурье приобретает вид:  (1.3)Используемые в дискретных преобразованиях Фурье базисные функции так же являются дискретными и удовлетворяют следующим условиям ортогональности:  (1.4)или  (1.5)а моменты времени их отсчётов должны совпадать с моментами отсчётов анализируемого сигнала. Мощность базисных функций  , используемая в выражениях (1.4) - (1.5), равна:- для действительного базиса  (1.6)- для комплексного базиса  (1.7)Следует иметь в виду, что в дискретных преобразованиях Фурье и в прямом и в обратном преобразовании присутствует один и тот же сигнал  , что принципиально отличает дискретные преобразования от непрерывных. В последних, как уже не раз отмечалось, в обратном преобразовании используется сам сигнал, а в прямом – его копия, приближающаяся к сигналу в среднеквадратическом смысле. Объясняется это различие различной размерностью используемых функциональных пространств: для дискретных финитных сигналов пространство конечномерное с размерностью, равной , а для непрерывных сигналов пространство бесконечномерное с размерностью, равной  .Дискретные преобразования Фурье как для действительных, так и для комплексных базисных функций можно записать и в обобщенной форме через скалярные произведения  (1.8)Здесь все скалярные произведения понимаются в смысле суммирования. Кроме того эти преобразования допускают еще один способ их компактной записи с помощью матриц. Если  и  являются матрицами-столбцами соответственно дискретного сигнала и его спектра  ,  ,а  есть квадратная матрица значений базисных функцийφ  ,то обратное и прямые преобразования Фурье принимают следующий вид (см. §2.5):  (1.9)Матричное представление дискретных преобразований Фурье может оказаться удобным при выводе спектральных алгоритмов обработки дискретных сигналов. Если дискретный сигнал получается путем дискретизации непрерывного сигнала  , то между спектрами этих сигналов должна существовать определенная связь. Для её выявления образуем из непрерывного сигнала, определенного на полу бесконечном интервале   и имеющего спектральную плотность  в базисе  , импульсный сигнал  в виде совокупности бесконечно узких равноотстоящих импульсов, следующих друг за другом с частотой  , где  - шаг дискретизации по времени. Такой сигнал по сути является континуальным представлением дискретного не финитного сигнала , получаемого из непрерывного сигнала в результате его равномерной дискретизации.Запишем импульсный сигнал с помощью дельта-функций в виде  (1.10)Последовательность дельта-функций раскладывается в следующий ряд Фурье  Поэтому из выражения (1.10) можно получить, что  . (1.11)Тогда спектральная плотность импульсного сигнала будет равна  . (1.12)Это значит, что спектральная плотность импульсного сигнала представляет собой периодическую функцию непрерывной переменной  , образованную путем суммирования спектров исходного сигнала, сдвинутых по оси частот на величины, кратные  .Аналогичный результат получаем и для финитных сигналов и , определенных соответственно на интервале  и  . В этом случае величины и  связаны между собой соотношениям  , а спектр импульсного сигнала , определенного в точках  , в базисе  будет равен (1.13)Таким образом, спектр импульсного финитного сигнала представляет собой дискретную периодическую функцию, образованную в результате суммирования спектров исходного сигнала, сдвинутых один относительно другого по оси безразмерной частоты на величины, кратные периоду .Очевидно, что в общем случае, располагая спектром  и выделив из него один период, невозможно точно восстановить весь спектр . Возникшую при этом погрешность можно уменьшить, если увеличить число отсчетов на интервале длительности . Во временной области этот же факт означает, что восстановить точно по его равноотстоящим отсчетам  путем интерполяции нельзя. Для уменьшения возникающей погрешности необходимо уменьшить шаг дискретизации  за счет увеличения числа отсчетов .В том случае, когда выполняется теорема Найквиста-Котельникова, т.е. исходный сигнал имеет спектр, ограниченный в полосе |