Дополнительные главы математики. Экзаменационный билет n 303
 Скачать 464.23 Kb.
|
|
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ N 303 1. В одном ящике 8 белых и 12 красных шаров, в другом ящике 10 белых, 5 черных и 5 красных шаров. Из первого переложили неизвестный шар во второй, а затем из второго достали два шара. а) В какую теоретическую схему “укладывается" эта задача? б) Записать соответствующую расчетную формулу и пояснить смысл входящих в нее величин. в) Какие значения для данного условия принимают величины, входящие в указанную выше формулу? г) Какова вероятность того, что оба шара черные. Решение. а) Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий  , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности.б) По условию из первого переложили неизвестный шар во второй, тогда возможны два случая: 1) переложили белый шар; 2) переложили красный шар. Применима формула полной вероятности  .Событие А = «Из второго ящика достали два черных шара» ( из г)). Гипотезы:  = «Во второй ящик переложили из первого белый шар». = «Во второй ящик переложили из первого красный шар». - вероятность события А,  ,  - вероятности гипотез,  ,  - условные вероятности события А, при условии что имели место гипотезы , .в) Всего в первом ящике имеется 8+12=20 шаров, тогда вычислим вероятности гипотез  ,  .Вычислим условные вероятности события А. Если имела место гипотеза , то во втором ящике стало 10+1=11 белых, 5 черных и 5 красных шаров, всего 11+5+5=21, значит  .Если имела место гипотеза , то во втором ящике стало 10 белых, 5 черных и 5+1=6 красных шаров, всего 10+5+6=21, значит  .г) Вычислим  .Ответ: а) формула полной вероятности, б) ,в)  ,  , , ,г)  .2. Монета подбрасывается  раз, герб выпадает  раз.а) В какую теоретическую схему “укладывается" эта задача? б) Записать соответствующую расчетную формулу и пояснить смысл входящих в нее величин  , .в) Найти вероятность того, что при  герб выпадет  раз; герб выпадет от 30 до 50 раз.г) Какое число выпадений герба наиболее вероятно и почему? Решение. а) Имеем повторение испытаний. Вероятность появления события – появления герба в каждом эксперименте постоянна и равна  . Тогда имеем схему Бернулли (это биномиальное распределение).б) Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно т раз события А в серии из независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р: , где  ,  - вероятность появления герба,  - вероятность противоположного события.По условию  ,  , тогда вычислим   в) Найдем вероятность того, что при герб выпадет раз.Количество испытаний велико и применение формулы Бернулли в данном случае проблематично (сложно вычислить количество сочетаний  и вероятности  ).Если вероятность  появления случайного события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в испытаниях событие наступит ровно раз, приближённо равна: , где ,  - функция Лапласа, ее значения табличны.Найдем вероятность того, что при испытаний успех имели в 40 из них. ,  ,Тогда  .Найдем вероятность того, что при герб выпадет от 30 до 50 раз.Вероятность того, что в испытаниях событие наступит не менее  и не более  раз находится по формуле: , где  - функция Лапласа, ее значения определяются с помощью таблицы.  ,  , тогда ,  . Учитывая, что функция Лапласа нечетная получим:   .г) Наиболее вероятное число успехов  при биномиальном распределении ( схема Бернулли) определяется из неравенства с учетом, что -целое число. , а поскольку  находим  .Тогда для вычислим  ,  , значит  , для вычислим  ,  , значит  .Ответ: а) схема Бернулли, б)  ,в)  ,  ,г) для произвольного : , для - , для - .3. СВ  равномерно распределена на отрезке  . Найти плотность вероятности СВ  . Построить график функции  . Решение. Запишем функцию плотности распределения для случайной величины , равномерна распределенной на отрезке :  .Функция не монотонна на отрезке .При  имеем  она строго убывает, а при  находим  - строго возрастает.Применим формулу  , где  - обратная функция к .При находим, что  , тогда  , причем  , значит  .При находим что  , тогда  , причем  , значит  .По правилу  определяем, что при  , а при   .Обобщая полученные данные, найдем что  Построим график найденной функции.  Рис.1. Ответ: , рис.1.4. Задана двумерная СВ  :Таблица 1.
Найти а) безусловные законы распределения и центр, б) условный закон распределения  при  и, в) условное матожидание,г) распределение  Решение. Заданное распределение не является совместным законом распределения СВ , поскольку сумма всех вероятностей равна  , заметим, что если вместо  ( при =-1 и =1) положить  , то получим  .Все дальнейшие расчеты будем производить для совместного распределения (иначе не получим ряды распределения) Таблица 2.
Для того, что бы найти безусловный закон распределения выполним сложение вероятностей по столбцам.Таблица3.
Для того, что бы найти безусловный распределения выполним сложение вероятностей по строкам.Таблица 4.
Вычислим математические ожидания  и  . , .Центр распределения:  ,  .Б) найдем условный закон распределения при .В таблице 3 найдено  .Условный закон распределения случайной величины  при условии, что , найдем применяя формулу  тогда  ,  То есть Таблица 5.
в) Найдем условное математическое ожидание  .г) Найдем закон распределения СВ распределение  .Вычислим все возможные произведения и запишем их вероятности  ,  ,  ,  ,  ,  , ,  ,  ,  , ,  .Объединим одинаковые значения и вычислим  ,  ,  . Таблица 6.
Ответ: заданное распределение не является законом распределения, рассматриваем распределение из таблицы 2. а) таблица3, таблица 4, центр , .б) таблица 5, в)  , г) таблица 6.5. Распределение СВ в выборке определяется следующим интервальным рядом распределения. Таблица 7.
а) построить гистограмму и найти оценки мат ожидания и дисперсии. б) Как проверить гипотезу о нормальном законе распределения при уровне значимости  .Решение. а) Построим гистограмму частот заданного ряда распределения, отметив на оси абсцисс – интервалы распределения, а на оси ординат их частоты и построим прямоугольники.  Рис.1. Полигон частот. Что бы найти оценки мат ожидания и дисперсии перейдем к вариационному ряду, взяв в качестве вариант середины интервалов. Таблица 8.
Объем выборки  .Выборочное среднее   .Выборочная дисперсия    б) Критерием согласия называется критерий поверки гипотезы о предполагаемом законе распределения. В соответствии с критерием Пирсона сначала вычисляется величина  , где  - теоретические частоты,  – функция Лапласа, значения которой табулированы и приводятся в таблицах. Вычислим теоретические частоты, учитывая, что:  ,  =0,6 (ширина интервала),  = 5,1462,  ,  0,7648.Сравним эмпирические и теоретические частоты. Таблица 9.
Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение  , тем сильнее довод против основной гипотезы. Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [ ;+∞). Её границу  находим по таблицам распределения  и заданным значениям  , k = 7, r=2 (параметры и  оценены по выборке).  (0.05;4) = 9,48773; = 6.98Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: < , поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Это позволяет утверждать, что опытные данные на заданном уровне значимости не противоречат гипотезе о нормальном законе распределения, или опытные данные согласуются с выдвинутой гипотезой.Ответ: а) рис.1, математическое ожидание - выборочное среднее  , выборочная дисперсия 0,585.б) опытные данные согласуются с выдвинутой гипотезой. |
