Элементарное высказывание состоит из неделимых частейСоставное
 Скачать 20.64 Kb.
|
|
Высказывание – повествовательное предложение, содержащее в себе определенную информацию, истинную ил ложнуюЭлементарное высказывание – состоит из неделимых частейСоставное – состоит из элементарных, и связано логическими операциями Логическое высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать что оно однозначно истинно или ложно. Инверсия – высказыванием А называют такое высказывание В, что оно истинно тогда и только тогда, когда А ложно Дизъюнкция(или) – высказывание А v В истинное когда хотя бы одно истинноКонъюкция(и)– высказывание А * В истинно когда оба истинаИмпликация 9(->) – высказывание ложно тогда, когда из 1 -> 0 Эквиваленция – истинно когда оба имеют одинаковое значениеПриоритет с Эквиваленции до Инверсии по убыванию1.3. Формула логики высказывания – любое истинное или переменное высказывание.Тождественно истинные – формула логики высказывания которая при любом наборе значений принимает истинное значение (Тождественно ложное если наоборот)1.4. Логическое суждение – форма мысли, в которой отрицается или утверждается, что-то относительно предмета и способна выражать в ложь или истину S(не) есть P S – субъект, P – предикат, то что хотят отнести к субъектуПредикат – предложение с переменными, переменные могут быть определены в какой-то области и иметь допустимые значения. 1.5. n-местного предикат - предложение с n-ым кол-вом переменныхТождественно истинный предикат – P(x1,x2…xn) называют таковым если при всех x1…xn он истинен и если при всех ложен ложнымВыполнимый предикат – если среди x1…xn хотя бы с одним предикат принимает истинное значение1.6.. Квантор всеобщности – применим только к тождественно истинных предикатовКвантор существования – применим только к выполнимым предикатом 1.7. Математическое утверждение –утверждение, истинность которого устанавливают путем доказательства. Если А=1, то B=1. Где А – необходимое условие для В, а В – достаточное условие для А. Часто утверждение обозначаются в виде А=>В. Если А=>В условие, то В=>A обратное -А = -В противоположное.Понятие критерия – А=>В, если В=>A, то его объединяют с исходным в A<=>В, которое называется критерием.1.8. Для доказательства математических утверждений можно использовать различные способы. Одним из основных методов опроверждения может служить непосредственная проверка. Для доказательства же, можно использовать метод "от противного". Он заключается в предположении о том, что данное утверждение не является истинным. В случае, если оно действительно истинно, в процессе рассмотрения такого случая можно наткнуться на противоречия, что покажет ложность предположения о ложности утверждения.любую тождественно истинную формулу можно считать законом логики 2.1. Множество – совокупность объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслю, обладающие общими сходствами и объединенных в одно целое.Определение Кантора: “Под “множством” мы понимаем объединение в одно целое М определенных и вполне различимых объектов m нашего восприятия или мышления”Парадокс Рассела: Пусть М – множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Тогда М э М, то оно не должно содержать себя, что опять значит М э М Аксиоматическая теория множеств - направление в математической логике, занимающееся изучением фрагментов содержательной теории множеств методами математической логики.2.2. Пустое множество – множество не содержащие элементов.Равные множества – множества А и В равные, если все элементы А есть в В и наоборот.Подмножество – такое множество А, все элементы которого есть в ВБулеан – множество всех подмножествСпособ задания множеств: - Заданием в виде: М = {1, 2, 3} - Заданием общей характеристики М э N - Заданием формальным законом 2.3 Объединение А и В - множество A∪B, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному множеству А и ВПересечение А и В - множество А∩B, состоящее из всех тех элементов, которые содержатся в обоих множествах А и В:Разность А и В - множество A∖B, состоящее из всех элементов множества A, не содержащихся в B:Диаграмма Эйлера — Венна— схематичное изображение всех возможных отношений нескольких подмножеств универсального множества2.4. Неупорядоченной парой двух элементов a1,a2 э А называется множество их этих двух элементов.Упорядоченной парой элементов а1,а2 э А с первой компонентой а1 и второй а2 называется множество (а1,а2) = {{а1},{а1,а2}}Прямым (декатовым) произведением пары А и В: А х В {(а,в) / а э А и в э В}Декатова степень – сколько раз умножаем множество Каждый элемент создает упорядоченную пару с соответствующим элементом во втором множестве.2.5. Существует определение ряда натуральных чисел представленное Пеано.Натуральным рядом чисел по определению Пеано является произвольное множество N с заданным на нем отношением ”следовать за”, удовлетворяюющим аксиомам:Существует элемент множества N, не следующий ни за каким элементом N (Любой из них обозначим как "1" и назовём единицой);Для каждого элемента n∈N существует единственный элемент, следующий за n (Обозначим как n');Для каждого элемента n∈N существует не более одного элемента, за которым следует n;(Аксиома полной математической индукции.) Пусть M - подмножество множества N, удоволетворяющее условиям:1∈M;∀n∈N:(n∈M⇒n′∈M). Тогда M=NM=NM=N.Собственно, сам метод полной математической индукции применяют для доказательства утверждений, в которых фигурирует числовой параметр t, принимающий все значения из множества N натуральных чисел.Вот в чём он заключается:База индукции; Нужно доказать, что утверждение A(t) истинно при t=1 (Часто можно сделать методом непосредственной проверки)Шаг индукции; Предположив, что A(t) верно для любого определённого значения, доказать истинность при t = n+1 3.1. Бинарным отношением на множестве А называют любое подмножество R∈A^2 (декартового квадрата)Графом бинарного отношения на множестве A является графическое представление данного бинарного отношения в виде графа, где элементы множества обозначаются точками, а наличие отношения между ними — соединением между ними.- Бинарное отношение ρ на множестве A называют рефликсивным в том случае, когда ∀a∈A:aρa- Бинарное отношение ρ на множестве A называют антирефликсивным в том случае, когда ∀a∈A:¬(aρa)- Бинарное отношение ρ на множестве A называют симметричным в том случае, когда ∀a,b∈A:aρb⇒bρa- Бинарное отношение ρ на множестве A называют антисимметричным в том случае, когда ∀a,b∈A:aρb⇒a=b- Бинарное отношение ρ на множестве A называют транзитивным в том случае, когда ∀a,b,c∈A:aρb∧bρc⇒aρc- Бинарное отношение ρ на множестве A называют отношением связанности в том случае, когда ∀a,b∈A:(a≠b)⇒aρb∨bρa3.2.Бинарное отношение на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.Отношение эквивалентности на множестве A образует разбиение множества A на непересекающиеся классы эквивалентных элементовФактормножество — множество всех классов эквивалентности для заданного отношения эквивалентности ρ на множестве X , обозначаетсяX/ ρ. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией3.3Отношение ρ на множестве X называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.Отношение ρ на множестве X называется отношением строгого порядка, если оно транзитивно, антирефликсивно и антисимметрично.Наименьшим если ∀х ∈ А : aRхНаибольшим если ∀х ∈ А : хRа Минимальным если ∀х ∈ А : хRа => x=a Максимальным если ∀х ∈ А : aRx => a=xОтношение порядка ρ на множестве X называется отношением линейного порядка, если оно является отношением связанности, иначе оно является отношением частичного (нестрогого) порядка.Линейно упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент. |