Изложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров с подробными решениями
 Скачать 1.34 Mb.
|
ВведениеМетоды теории сравнений широко применяются в различных областях науки, техники, экономики. Этот раздел алгебры занимает важное место в вузовском образовании математиков, физиков и других специалистов, однако очень часто изучается недостаточно глубоко. Задача данной курсовой работы – изучить теоретический материал и рассмотреть ряд основополагающих задач по одному из основных разделов теории чисел: сравнения первой степени с одной и несколькими переменными, сравнения высших степеней и т.д. Основная часть курсовой работы состоит из трех глав. В первой главе раскрываются основные понятия теории сравнений, такие как сравнения в кольце целых чисел, основные теоремы и свойства сравнений. Во второй главе рассматриваются сравнения первой степени с одной переменной. Далее рассматриваются сравнения высших степеней и системы сравнений первой степени. В приложении приводятся примеры решения текстовых задач, которые сводятся к неопределенным уравнениям первого порядка и решаются с помощью сравнений. Изложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров с подробными решениями. В работе приводится список литературы по теме. 1. Теория сравнений1.1 Сравнения в кольце целых чиселПонятие сравнения было введено впервые Гауссом. Несмотря на свою кажущуюся простоту, это понятие очень важно и имеет много приложений. Возьмем произвольное фиксированное натуральное число и будем рассматривать остатки при делении на m различных целых чисел. При рассмотрении свойств этих остатков и произведении операций над ними удобно ввести понятие так называемого сравнения по модулю. Определение. Целые числа и называются сравнимыми по модулю , если разность делится на , т.е. если . Таким образом, сравнение представляет собой соотношение между тремя числами и , причем , играющее роль своего рода эталона сравнения, мы называем «модулем». Для краткости будем это соотношение между и записывать:
и будем называть соответственно левой и правой частями сравнения. Число , стоящее под знаком модуля, будем всегда считать положительным, т.е. запись будет означать, что . Если разность не делится на , то мы будем записывать: . Согласно определению, означает, что делится на . Примеры. так как и делится на . , так как и делится на . , так как и делится на . 1.2 Основные теоремы о сравненияхТеорема 1 (признак сравнимости двух чисел по модулю ). Два целых числа и сравнимы по модулю тогда и только тогда, когда и имеют одинаковые остатки при делении на . Доказательство. Пусть остатки при делении и на равны, т.е.
где Вычтем (1.2) из (1.1); получим т.е. или Обратно, пусть это означает, что или
Разделим на ; получим Подставив в (1.3), будем иметь т.е. при делении на получается тот же остаток, что и при делении на . Пример 1. Определим, сравнимы ли числа и по модулю . Решение. При делении и на получаются одинаковые остатки Следовательно, Определение. Два или несколько чисел, дающие при делении на одинаковые остатки, называются равноостаточными или сравнимыми по модулю . Теорема 2. Отношение сравнимости рефлексивно: . Доказательство. и имеют одинаковые остатки при делении на . Теорема 3. Отношение сравнимости симметрично: если , то . Доказательство. Если и имеют одинаковые остатки при делении на , то остатки от деления и на также равны. Теорема 4. Отношение сравнимости транзитивно: если то . Доказательство. Если остатки от деления на одинаковы у чисел и , а также у и , то и тоже имеют одинаковые остатки при делении на . Таким образом, отношение сравнимости есть отношение эквивалентности. Теорема 5. Если и произвольное целое число, то . Доказательство. Если , то, , , . Теорема 6. Если и 1, то . Доказательство. Если , то |, |, но тогда условие дает |, т.е. . Теорема 7. Если и произвольное натуральное число, то . Доказательство. Если , то |, |, . Теорема 8. Если , где и произвольные натуральные числа, то . Доказательство. Если , то |, |, натуральное ( , тогда |, . Теорема 9. Если , , то и . Доказательство. Если и , то и . Получим, что Теорема 9'. Если , то . Теорема 10. Если и , то . Доказательство. Если и , то и . Тогда по транзитивности сравнений получим, что . Теорема 10'. Если , то . Доказательство. Последовательно применяя теорему 7, получим: . Теорема 11. Если , то при любом целом , . Доказательство. При утверждение верно по теореме 2, а при оно верно согласно теореме 10', если и . Переход от сравнений , к сравнениям , , будем называть соответственно сложением (вычитанием), умножением, возведением в степень сравнений. Так как из сравнения следует , то из сравнений и следует также, что и . Теорема 12. Если и произвольный многочлен с целыми коэффициентами, то . Доказательство. Если , то, согласно теоремам 7 и 11, имеем: при . По теореме 9', получаем , т.е. . Теорема 12'. Если и многочлен с целыми коэффициентами, то . Теорема 13. Любое слагаемое левой или правой части сравнения можно перенести с противоположным знаком в другую часть. Доказательство. Ввиду симметричности отношения сравнения достаточно рассмотреть случай, когда дано сравнение . Складывая это сравнение со сравнением , получаем . Следствие. В левой и правой частях сравнения можно добавлять или отбрасывать одно и то же слагаемое. Теорема 14. В сравнении можно отбрасывать или добавлять слагаемые, делящиеся на модуль. Доказательство. Если и , т.е. , то, складывая эти сравнения, получаем . Аналогично из и получаем . Поскольку левую и правую части сравнения можно менять местами, утверждение верно и для слагаемых правой части. Теорема 15. Если и , то . Доказательство. Если , то . Из , в силу транзитивности отношения делимости получаем , . Теорема 16. Если , то множество общих делителей и совпадает с множеством общих делителей и . В частности, Доказательство. Если , то , , , любой общий делитель чисел и является общим делителем чисел и , и, наоборот, если и , то . Поскольку пара и пара имеют одни и те же общие делители, то и . Теорема 17. Если , , то , где . Доказательство. Если , , то , то и, согласно свойствам наименьшего общего кратного, . |