Комбинаторные задачи как средство развития комбинаторного стиля мышления. комбинаторные задачи. Комбинаторные задачи как средство развития комбинаторного стиля мышления младших школьников
 Скачать 0.65 Mb.
|
|
КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ КОМБИНАТОРНОГО СТИЛЯ МЫШЛЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ. Выпускная квалификационная работа
Введение. Стремительное развитие общества влечет за собой развитие и изменение в системе образования. Федеральный государственный образовательный стандарт ставит цель перед современной школой научить детей учиться. В связи с введением нового федерального государственного стандарта А.Г. Асмоловым [1] вводится понятие универсальные учебные действия. Сегодня универсальным учебным действиям придается большое значение. На важность формирования у младших школьников универсальных учебных действий указывает Л.C. Выготский [5]. Огромное значение в образовании отводится формированию логических универсальных учебных действий. Проблемой формированием логических умений занимался А.А. Столяр [20]. В начальной школе формирование познавательной активности базируется на сформированности логических действий. Именно логические универсальные учебные действия позволяют детям научиться выделять основную мысль из текста, работать с информацией, анализировать и сравнивать объекты, подводить под одно понятие или классифицировать. При этом процесс освоения содержания учебных предметов рассматривается не как результат обучения, а средство развития и воспитания обучающегося. С.И. Воробьева [4] считает, что в качестве одного из эффективных средств формирования универсальных учебных действий исследователями рассматривается решение учащимися стохастических задач. Это обусловлено 4 тем, что посредством стохастических задач формируется стохастическая культура учащихся, развивается интуиция, математическая грамотность. А.Д. Нахман отмечает, что при введении стохастических задач в программу начального курса математики, повышается качественный уровень математического образования младших школьников. В связи с этим введение элементов стохастики, рассматривается большинством исследователей в качестве одного из важных аспектов модернизации содержательного компонента начального математического образования. Различные стороны обучения вероятностно-статистическому содержанию изучены Л.О. Бычковой [2], А. Плоцки [18] и др. Исследования Л.С. Выготского [5], А.П. Тонких [21] и др. показывают, что развитие у учащихся способностей к комбинациям и перестановкам предметов намного эффективнее начинать в начальной школе Опыт работы показывает, что начальный курс математики должен включать в себя пропедевтическое знакомство младших школьников с комбинаторными задачами и методами их решения на соответствующем уровне. Учащимся начальных классов, как правило, приходится решать задачи на упорядочивание элементов некоторого множества, на образование и подсчет числа кортежей заданной длины, составленных из элементов некоторого множества; задачи в которых требуется осуществить выбор подмножеств с определенными свойствами. В основе способов решения ряда задач лежат правило суммы и правило произведения, хотя они обычно в явном виде младшим школьникам не формулируются. По мнению методистов и психологов, включение комбинаторных задач в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников. Решение комбинаторных задач дает возможность расширить знания учащихся о процессе решения задачи, о количестве и характере результата. [17] Уже в начальной школе учащемуся доступны некоторые простые комбинаторные задачи, вероятностные 5 понятия, элементы наглядной и описательной статистики. Соответствующие задачи заложены в настоящих сюжетах, имеют практическую направленность, их использование формирует универсальную математическую логику, умение принимать оптимальные решения, развивает составляющие творческой деятельности. Цель исследования: изучение методики обучения решению комбинаторных задач и развитие комбинаторного мышления у младших школьников. Объект исследования: процесс развития комбинаторного стиля мышления младших школьников. Предмет исследования: методика обучения решению комбинаторных задач младших школьников. Задачи: 1. Проанализировать научную и методическую литературу по теме исследования. 2. Изучить методику ознакомления детей с задачами на комбинаторику, соединив их с решением жизненных ситуаций для возраста учащихся 1-4 классов. 3. Разработать фрагменты уроков. 4. Проверить методику обучения решению комбинаторных младших школьников на педагогической практике. Методы исследования: Теоретический анализ педагогической, психологической и методической литературы по теме исследования. Наблюдение. Беседа. Проведение уроков по заданной тематике. Анализ продуктов деятельности детей. В основу положена гипотеза, согласно которой возможно сформировать первоначальное представление о вероятности и научить решать комбинаторные задачи учащихся млалших классов, используя методы проблемного обучения, занимательные задачи, задачи, содержащие жизненные ситуации. База исследования. Исследование проводилось на базе МБОУ СОШ № 1 г. Вяземского, расположенного по адресу Хабаровский край, Вяземский район, г. Вяземский, ул. Козюкова, 1. Выборка исследования представлена учащимися 4Б класса, в количестве 22 человек. Дети обучаются по программе «Перспективная начальная школа». Структура выпускной квалификационной состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. Глава 1. Психолого-педагогические основы развития комбинаторного стиля мышления младших школьников. 1.1 Понятие и особенности комбинаторного мышления. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования ориентирует учителя на развитие творческого потенциала личности ученика на всех этапах обучения в школе, на развитие его творческого мышления, на умение находить выход из различных нестандартных ситуаций. Математика – средство для размышления, в ее арсенале имеется большое количество задач, которое способствуют формированию мышления людей, умению находить различные варианты решений нестандартных задач. До недавнего времени в учебниках по математике для начальной школы присутствовали задачи, которые были корректно сформулированными и содержали преимущественно один-единственный вопрос, на который предполагался один-единственный правильный ответ. В учебниках, соответствующих новому стандарту, содержатся задачи, которые требуют нахождения разных способов решения или указания на то, сколькими способами возможно решение. Некоторые из таких задач можно идентифицировать как комбинаторные. Появление таких задач обусловлено требованиями времени, наличием большого числа комбинаторных ситуаций в жизни, проблем выбора, оценки степени шансов на успех и др., интересами учащихся. Формируемое у учащихся в процессе решения комбинаторных задач комбинаторное мышление, как известно, служит фундаментальной основой при освоении ключевых понятий теории вероятностей и математической статистики, то есть стохастики, и играет очень важную роль в общей структуре научного мышления вообще. Это обусловлено тем, что в основе комбинаторики лежит способность субъекта определять, рассматривать и учитывать все возможные варианты сочетания признаков, событий и свойств исследуемых объектов [17]. Комбинаторное мышление – вид мышления, которое занимает промежуточное положение между образным и абстрактно-логическим мышлением. Содержательную сторону процесса комбинаторного мышления составляют информационные данные и знания, которые требуются для непосредственного процесса комбинирования. Комбинаторное мышление является достаточно сложным и многоликим процессом. Оно имеет следующие особенности: Наличие комбинаторного процесса активизирует работу таким образом, что он работает над преобразованием одних компонентов в иные, имеющие совершенно другой внешний вид и внутреннюю модификацию, формы и сочетания; Содержательную сторону процесса комбинаторного мышления составляют информационные данные и знания, которые требуются для непосредственного процесса комбинирования; В процессе реализации комбинирования применяются технологии, основанные на интеграции процессов и операций, посредством активизации воображения, мышления и восприятия [10]. Актуальность развития комбинаторного мышления может быть рассмотрена с нескольких сторон, однако каждая из них так или иначе связана непосредственно с логикой: Развитие комбинаторного мышления необходимо по той простой причине, что традиционная система образования крайне мало внимания уделяет логическому мышлению. Результатом этого становится то, что, например, в школах ученики совершают множество логических ошибок, а взрослые нередко испытывают проблемы в логической организации информации. Комбинаторное мышление помогает все это устранить. Развитие комбинаторного мышления формирует у человека способность к поиску оптимальных комбинаций компонентов различных ситуаций, причем в совершенно разных сферах деятельности (от общения до ведения бизнеса), позволяет находить многообразие возможных вариантов, которые могут основываться на отдельных элементах ситуаций, а также прогнозировать вероятные последствия таких комбинаций. Формирование комбинаторного мышления у младших школьников требует специальных методов, поскольку самостоятельно такое мышление не формируется. В самом общем виде комбинаторика – это раздел математики, изучающий вопрос о числе возможных способов распределения предложенных предметов в определенном порядке (перестановки, размещение, сочетания) [11]. 1.2 Понятие и виды комбинаторных задач. В наше время перед учителем стоят задачи: научить ребенка находить и отбирать нужную информацию самостоятельно, развить гибкость, вариативность и изобретательность мышления. Для выполнения этих задач недостаточно задач, которые опираются на теоретический материал. С точки зрения развития мышления младших школьников, повысить возможность уроков математики, можно с помощью комбинаторных задач. Комбинаторика – это раздел математики, связанный с методами подсчета числа объектов определенной природы. По смыслу задачи обычно очевидно, что существует лишь конечное число интересующих нас объектов; все дело в том, чтобы найти это число [12]. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Комбинаторика имеет широкую практическую направленность в различных сферах жизнедеятельности. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: химику, биологу, программисту, архитектору и т.д. Люди, плохо владеющие комбинаторным мышлением, часто испытывают затруднения при решении жизненных задач. Таким людям тяжело ожидать успеха во многих видах профессиональной деятельности. Это профессии, где необходимо уметь собирать и анализировать данные, планировать, осуществлять прогноз, уметь выделять структурные связи в сложных системах. Комбинаторные задачи (КЗ) – это задачи, связанные с составлением из элементов конечных множеств по некоторым правилам различных комбинаций. [25, с 140]. Понятие «комбинация» (основное понятие комбинаторики) дети осваивают на интуитивном уровне, опираясь на текст и контекст каждой конкретной задачи. Комбинация может трактоваться как вид соединения элементов. В математике комбинаторные задачи принято классифицировать по их требованию [25, с.140]. В связи с этим выделяют следующие их виды: Найти комбинацию элементов, обладающую заранее заданными свойствами. Доказать существование или отсутствие комбинаций элементов с заданными свойствами. Найти общее число комбинаций элементов с заданными свойствами. Найди решения и из всех решений данной комбинаторной задачи выбери оптимальное по тем или иным параметрам, критериям. Рассмотрим подробнее задачи каждого вида. Найти комбинацию элементов, обладающую заранее заданными свойствами. Пример 1: «Распределите 24 человека так, чтобы получилось 6 рядов по 5 человек в каждом». Здесь важно акцентировать внимание детей на том, что речь идёт совсем не о выборе арифметического действия, а о комбинации, определяющий признак которой в том, что состоит она из 24 элементов, из которых можно построить 6 рядов по 5 элементов в каждом. Распределить – значит показать, как они располагаются. Пример 2: «Расположите 10 точек и 5 отрезков так, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки». При решении задач первого вида используется приём непосредственного составления заданной комбинации элементов. Трудность заключается в том, что каждая задача требует своего специфического подхода к нахождению решения и его оформления. Если задача имеет много вариантов ответов, то в результате решения могут быть найдены многие из них или все. В этом случае необходимо проанализировать полученные решения на соответствие условию[24]. Доказать существование или отсутствие комбинаций элементов с заданными свойствами. Пример 1: «Можно ли посадить 49 деревьев так, чтобы в каждом ряду их было по 6?» В данной задаче требуется подтвердить или опровергнуть существование комбинации элементов, в которой 49 элементов располагаются в ряды по 6 элементов в каждом. Если комбинация элементов, обладающая указанными свойствами, существует, то достаточно привести подтверждающий пример, т.е. предъявить требуемую комбинацию. Важно, чтобы дети понимали, что если какая-либо комбинация элементов с заданными свойствами существует, то не всегда она единственна. Если же она не существует, то необходимо путем обоснованных рассуждений прийти к умозаключению об ее отсутствии. Пример 2: «В древности один правитель желал построить 10 замков-крепостей, соединённых между собой стенами; стены должны тянуться пятью прямыми линиями, с четырьмя замками на каждой линии». Найти различные расположения дети могут, использую прием переконструирования уже имеющегося решения. Расположение замков так, как требуется в задаче, показано на рисунке 1.  Рисунок 1 - Расположение замков Данный вид комбинаторных задач - самый сложный и не только для младших школьников. Особенностью этих задач является то, что заранее неизвестно, существует ли комбинация элементов, обладающая указанными свойствами. Для учащихся начальной школы эти задачи несколько видоизменяются и обычно звучат в виде требования: «Может ли существовать комбинация элементов с заданными свойствами?» [24]. Найти общее число комбинаций элементов с заданными свойствами. Пример 1: «Страшила знает такие цифры: 3, 0, 5, а Лев такие: 9, 2, 7. Сколько всего трёхзначных чисел может записать каждый из них, если цифры в записи числа не будут повторяться?» Пример 2: «Сколько различных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9, если цифры в этих числах могут повторяться?» Особенностью комбинаторных задач третьего вида является их результат. Результат – это количество всех возможных вариантов. Учащиеся могут решить эту и другие комбинаторные задачи этого вида, используя «формальные» и «неформальные» методы. Найди решения и из всех решений данной комбинаторной задачи выбери оптимальное по тем или иным параметрам, критериям. Пример: «Имеются поселки М, А, Б и В, каждые два из которых соединены дорогой: расстояние МА равно 7км, МБ– 10км, МВ– 6км, АБ – 4км, АВ– 11км, БВ– 6км. В посёлке М находится почтовое отделение и почтальон должен развести письма в остальные четыре села. Существует много различных маршрутов поездки. Какой из них является наикратчайшим?». КЗ этого вида практически отсутствуют в учебниках по математике для начальной школы. Подводя итог, можно утверждать, что Формально-логическое определение комбинаторных задач в начальном курсе математики отсутствует; Данные задачи включены как дополнительный материал к изучаемым темам. Классифицировать комбинаторные задачи принято по их требованию. Комбинаторные задачи, включенные в начальный курс математики, обладают рядом ценных качеств, которые полезны в образовательном процессе: А. На комбинаторных моделях четко прослеживаются этапы использования математики в решении практических задач; Б. Комбинаторные модели взяты их жизни; С. Наш мир построен на вероятности, нам часто приходится сталкиваться с ситуациями, разрешить которые жестко детерминированным способом невозможно. 1.3 Комбинации и основные методы решения комбинаторных задач детьми на уроках математики. В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. Размещение. Размещение – любой выбор k элементов, взятых в определенном порядке из n (в выборке порядок расстановки элементов является существенным) (рис. 2). [26 Стр. 28]  Рисунок 2 - Размещения В задачах с размещением без повторения комбинации составляют не из всех элементов заданного множества, а только из некоторых. Но обязательно важен их порядок. Так как элементы в таких задачах повторяться не могут, то мы не можем отобрать больше элементов, чем есть в условии задачи. Формула:  . Пример: «На полке стоят три чашки: желтая, красная и синяя. Мама попросила Машу одну чашку отнести Юле, а другую - Кате. Сколькими способами Маша может это сделать?». Решение данной задачи показано на рисунке 3.  Итого: 6 вариантов. Рисунок 3 - Решение задачи Особенностью задач на размещение с повторением является то, что возможно выбрать несколько предметов одного вида. В таком случае используется формула:  Пример: «Из цифр 1,2,3 составьте все возможные двузначные числа, при этом цифры могут повторяться». 11,12,13,21,22,23,31,32,33. Итого: 9 комбинаций. 2.Сочетания. Сочетания - любой выбор k элементов, взятых из n (в выборке порядок расстановки элементов не существенен) (рис. 4). [26 Стр. 28]  Рисунок 4 - Сочетания Сочетания с повторениями (выборка с возращением):  Пример: «В магазине платки 4-х цветов продаются вперемешку в огромной корзине. Женщина не может определиться с выбором, и поэтому решается довериться случаю – выбрать не глядя 3 платка. Определить число различных вариантов покупки 3-х платков» Так как не важно, в какой последовательности женщина будет выбирать платки, то нужно определить число Сочетаний с повторениями покупки 3-х платков 4-х возможных цветов. Оказывается, что таких вариантов 20. Сочетаниями без повторений называются неупорядоченные выборки, содержащие k различных элементов из данных n элементов. В таком случае используется формула:  Отметим, что «Выборки неупорядоченные», т.е. выборки AB и ВА – это одно и то же сочетание. Любой элемент может оказаться на любом из k мест, но использоваться может в выборке только один раз. Пример: «Из 4-х учеников происходят выборы 2 участников в конкурсе. Сколько существует вариантов выбора?» Очевидно, один и тот же участник в данную выборку может быть избран только один раз. При этом набор А, Б и Б, А – это одни те же участники. Поэтому выборки есть сочетания без повторений. Получаем 6 участников в конкурсе. 3.Перестановки. Перестановки – множество с заданным на нем порядком (размещение из n по n) [26 Стр. 28].  Рисунок 5 - Перестановки Перестановка с повторениями:  Пример: «Из букв составить a,b,d составить слова. Сколько различных слов из семи символов может быть составлено, если в этих словах буква "a" должна повторяться 2 раза; буква "b" – 1 раз, а буква "d" – 4 раза? Вот примеры искомых слов: "aabdddd", "daddabd" и так далее. Следовательно, общее количество искомых слов равно 105. Перестановками без повторений называются всевозможные упорядоченные выборки, составленные из всех данных n элементов  Пример: «Представьте, что перед вами на столе лежит яблоко, груша и банан (при наличии таковых ситуацию можно смоделировать и реально). Сколькими способами их можно переставить? Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке: яблоко / груша / банан Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не возникает: яблоко / банан / груша груша / яблоко / банан груша / банан / яблоко банан / яблоко / груша банан / груша / яблоко. Итого: 6 комбинаций или 6 перестановок На основе приведенных примеров комбинаций, мы можем сказать: Если соединения отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов - это перестановки. Если соединения отличаются я друг от друга хотя бы одним элементом либо состоят из одних и тех же, но расположенных в разном порядке элементов, то это размещения. Если соединения отличаются составом, но не порядком элементов, то это сочетания. В начальном курсе математики выделены два метода решения комбинаторных задач «формальный» и «неформальный». Под «формальным» методом решения комбинаторной задачи понимают решение задачи с помощью использования формул комбинаторики и правил суммы и произведения. При формировании умения решать комбинаторные задачи «формальным» методом учащихся знакомят с четкими определениями различных видов соединений (перестановками, соединениями, сочетаниями), с выводами соответствующих формул, с правилами суммы и произведениями и лишь после этого рассматривают задачи, при решении которых используются полученные результаты. Правило суммы применяется, когда нужно выбрать один предмет из нескольких различных множеств. Пример: «На полке стоят десять томов Пушкина, четыре тома Лермонтова и шесть томов Гоголя. Сколькими способами можно выбрать с полки одну книгу?» Решение: Для ответа на данную задачу нам нужно сложить все книги, которые стоят на полке. 10 + 4 + 6 = 20 способами. Правило произведения используется в основном при перестановках. Для поиска количества комбинаций, достаточно перемножить число предметов одного вида на количество предметов другого вида. Пример: «В магазине есть 3 вида пиджаков, 2 видов брюк и 4 вида галстуков. Сколькими способами можно купить комплект из пиджака, брюк и галстука?» Решение: из условия задачи мы видим, что для того, чтобы выбрать пиджак есть три способа, брюки - два, галстук - четыре способа. Пару (пиджак, брюки) можно выбрать 3 • 2 способами. К этой паре можно купить галстук 4 способами. Следовательно, для покупки пиджака, брюк и галстука имеется 3 • 2 • 4 = 24 способа. Правила суммы и произведения (формулировка и название его) не дается в начальной школе, но учитель должен знать их. Весь процесс применения правила строится с опорой на рассуждения ученика, ученик проговаривает свои действия, что позволяет решать комбинаторные задачи там, где применить таблицу невозможно. Под «неформальным» методом решения комбинаторных задач понимают сам процесс составления различных вариантов. Понятия «комбинация», «соединения», «выборка» дети осваивают на интуитивном уровне, опираясь на текст и контекст конкретной задачи. Комбинация может трактоваться как вид соединения. При «неформальном» методе решения на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов. Основным методом решения комбинаторных задач в начальных классах является «неформальный» метод, так как он учитывает особенности мышления младших школьников, их опыт и не перегружает учащихся дополнительной информацией, связанной с введением в содержание курса новых понятий [8]. При «неформальном» методе решения выделяют следующие средства представления возможных вариантов решения: Прием упорядоченного перебора (подбираются задачи на развитие мышления); Табличный прием (все условия задачи вносятся в таблицу, в ней же выполняется решение); Построение дерева возможных вариантов решений; Построение граф-схемы. Остановимся на каждом способе фиксации подробнее. Прием упорядоченного перебора. Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем. Пример: «Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 3, 7?» Ответ: 11, 13, 17, 31, 33, 37, 71, 73, 77. Задачи на метод перебора можно решить с помощью правила суммы и правила произведения. Табличный прием Таблицы используются при решении комбинаторных задач тогда, когда необходимо составить комбинацию, в которой более двух элементов. Это дает возможность наглядно представить решение задачи. Пример: «В школьной столовой приготовили на завтрак плов, кашу, блины, а из напитков – сок, чай и молоко. Сколько различных вариантов завтрака можно составить?» Составим таблицу: слева первый столбец – приготовленные напитки, вверху первая строка – приготовленные завтраки (табл. 1). Таблица 1 – Решение задачи.
Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы. Всего 9 вариантов. Построение дерева возможных вариантов решений. Подбирая различные комбинации, можно запутаться. В этом случае приходит на помощь метод построения дерева возможных вариантов решений. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название. Если его правильно построить, ты не упустишь ни один из возможных вариантов решения. Пример: «Учитель попросил Олега разложить на полке 3 волшебных шара: желтый, красный, синий. Сколькими способами Олег может это сделать?» Начать можно и с желтого, и с красного, и с синего шара. Дерево вариантов будет выглядеть так, как показано на рисунке 6.  Рисунок 6 - Решение задачи Эта схема действительно похожа на дерево, правда, «вверх ногами» и без ствола. Каждый первый шар - это «корень» дерева, а ветви дерева - это различные варианты расположения шаров. По этой схеме несложно посчитать, что возможных комбинаций всего 6. Схему-дерево возможных рассуждений можно располагать по-разному (корень вверху или внизу). Построение граф - схемы. Все видели схему трамвайных путей или карту железнодорожных сообщений. Точки - города, отрезки или дуги, которые их соединяют — железнодорожные пути. Такие схемы и называют графами. При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества (предметов, людей и т.д.), а с помощью ребер – определенные связи между элементами. Для удобства иллюстрации условия задачи, вершины графа могут быть заменены кругами или прямоугольниками. Граф – это набор точек, некоторые из которых соединены линиями. Эти точки называются вершинами. Соединяющие их линии называются ребрами графа (рис. 7).  Рисунок 7 - Схема графа П  ример: «Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?» Решение данной задачи показано на рисунке 8. Рисунок 8 - Решение задачи Ответ: сыграно 6 партий Пример: «Вася, Коля, Петя, Аня и Наташа - лучшие лыжники в пятом классе. Для участия в соревнованиях нужно выбрать из них одного мальчика и одну девочку. Сколькими способами это можно сделать?» Эту задачу можно решить с помощью следующей схемы, показано на рисунке 9.  Рисунок 9 - Решение задачи Ответ: 6 способов. При решении этой задачи дети могут прибегнуть к практическим действиям. Но важно подвести их к необходимости рационализировать перебор всевозможных вариантов. В процессе ответа ученику приходится выстраивать цепочку умозаключений, ориентируясь на данные в задаче признаки предметов. Таким образом, на основе мы рассмотрели виды, методы и способы решения комбинаторных задач. Каждый из этапов обучения комбинаторики связан с возрастными особенностями интеллектуального развития детей и не имеет жесткой привязанности к определенной возрастной группе. Этап обобщения рациональных приемов перебора является итогом подготовки детей к введению комбинаторных формул. Также включение в обучение детей комбинаторным задачам будет способствовать как интеллектуальному развитию ребенка в целом, так и возможности «создавать полезные комбинации», что позволит в будущем решать творческие задачи. 1.4 Этапы решения комбинаторных задач. Изучив методическую литературу по исследуемой проблеме, были выделены этапы решения комбинаторных задач: Подготовительный этап; Основной этап; Этап отработки умений решать комбинаторные задачи. Кратко остановимся на характеристике каждого из них. Подготовительный этап. Цель: Формирование мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, абстрагирование) для развития произвольного внимания, образного мышления и для лучшего понимания содержания школьной программы. На подготовительном этапе предлагаются задачи на развитие познавательных способностей, на активизацию таких мыслительных процессов как анализ, синтез, обобщение и классификация. Это задачи-игры и «жизненные» задачи (задачи, решаемые в повседневной деятельности человека). Пример: «У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?». В ходе решения задача обыгрывается: к доске вызываются 4 учеников, получающие модели купюр. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. (Вызываю «кассира» и даю ему «билеты»). Находим два возможных варианта решения: 1. – 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей; 2 – 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей. Таким образом, на подготовительном этапе создается положительная мотивация, происходит эмоциональная подготовка учащихся к дальнейшему решению более сложных комбинаторных задач. Основной этап Цель: обучение младших школьников решению комбинаторных задач, ознакомление учащихся с новыми видами комбинаторных задач: задачами, решаемыми приемом упорядоченного перебора; с помощью таблиц; с помощью графов; с помощью дерева возможных вариантов. При знакомстве школьников с ходом решения задач способом организационного перебора важно обучить детей выполнять перебор не хаотически, а соблюдая определенную последовательность рассмотрения всех вариантов решений. Перед тем, как знакомить учащихся с новым способом решения комбинаторных задач – с помощью таблиц, необходимо актуализировать знания детей о таблицах, выделить существенные признаки таблиц. Пример: В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и 5 мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ. Составим таблицу: слева первый столбец - имена мальчиков, вверху первая строка - имена девочек. Таблица 2 - Решение задачи.
Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы 2. Всего 25 вариантов. При решении комбинаторных задач с помощью графов объекты обозначаются точками. Связи между объектами могут обозначаться линиями и стрелками, если нужно показать направление действия или правильную последовательность в изображении объектов. Пример: «Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?» Сначала выясняем с учащимися, как можно обозначить каждого человека (быстрее и удобнее изображать людей точками, которые располагаются примерно по кругу, чтобы записи были понятными и наглядными). Рукопожатия удобно обозначить черточками. Сначала составить рукопожатия одного человека (точку соединить со всеми остальными), как показано на рисунке 10.  Рисунок 10 - Решение задачи Затем перейти к другому человеку. Проведенные линии помогут увидеть, с кем он уже поздоровался, а с кем нет, составить недостающие рукопожатия как показано на рисунке 11. Так действовали до тех пор, пока все не поздоровались друг с другом.  Рисунок 11 - Решение задачи Так действовали до тех пор, пока все не поздоровались друг с другом. Получилось 10 рукопожатий. Далее учащиеся знакомятся с применением одной из разновидностей графа – деревом возможных вариантов при решении комбинаторных задач. С детьми выясняем, что данный вид графа, если его перевернуть будет похож на дерево, на котором растут ветки с листьями. Наше дерево отличается тем, что растет сверху вниз, потому что так удобнее располагать объекты в нужной последовательности. Такой вид графа называется деревом возможных вариантов. Пример: «Катя собирается на каникулы. Она может поехать с бабушкой или с родителями. Если Катя поедет с бабушкой, то она сможет провести каникулы или на даче, или в городе, или в деревне. Если она поедет с родителями, то она сможет провести каникулы или отдыхая в санатории, или путешествия по горам, или путешествуя на теплоходе. Сколько разных вариантов есть у Кати, чтобы провести свои каникулы?» Построим дерево возможных вариантов (рис. 12):  Рисунок 12 - Решение задачи У Кати есть всего 6 разных вариантов, как провести каникулы. Таким образом, на основном этапе дети учатся решать комбинаторные задачи разными средствами представления возможных вариантов решения. Этап отработки умений решать комбинаторные задачи. Цель: «Отработка умения решать комбинаторные задачи логически завершает процесс формирования навыка решения комбинаторных задач в процессе овладения школьниками содержанием начального курса математики». На этапе отработки умений школьникам предлагается решать комбинаторные задачи разными средствами представления возможных вариантов решения (организованный перебор, таблицы, графы), тем самым, с одной стороны, закрепляя умение решать такие задачи с помощью различных приемов деятельности, с другой – осуществляя действие самоконтроля, являющееся необходимым компонентом учебной деятельности. Процесс обучения начинается с решения простейших комбинаторных задач, расположенных уже на 1-х страницах учебников начального курса математики, направленных на развитие внимания, наблюдательности, умений анализа, синтеза, сравнения Включение комбинаторных задач в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников. Решение комбинаторных задач способствует развитию вариативности мышления – направленности мыслительной деятельности на поиск различных путей решения задачи, когда на это нет специального указания. Уже после первого года обучения у школьников наблюдается положительная динамика в развитии логического мышления, повышаясь от класса к классу. Трудно переоценить значимость той роли, которую может и должно играть изучение элементов комбинаторики в начальной школе. Комбинаторные процедуры всепроникающие входят в математическую деятельность на всех ее уровнях. Освоение таких процедур – дает эффективные и органичные средства для развития умственных способностей и собственно математических способностей учащихся. И потому исследование вопросов обучения комбинаторике ведет к исследованию глубинных вопросов обучения математике. Комбинаторные задачи несут широкие возможности для осуществления процессов формирования таких моделей исследуемых ситуаций, которые могут служить одновременно и формами представления общих методов, и образцами их применения. На основе изученного методического материала можно сделать следующие выводы по первой главе: 1. Комбинаторика – это большой и важный раздел математики, изучающий множества целых чисел и перестановки внутри этих множеств. 2. Задачу можно назвать комбинаторной, если ее решением является перебор элементов некоторого конечного множества. 3. Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать, таким образом, что он начинался бы словами: • Сколькими способами…? • Сколько вариантов…? 4. Для того чтобы решить задачу по комбинаторике, необходимо сначала понять её смысл, то есть, представить мысленно процесс или действие, описанное в задаче. 5. При обучении младших школьников решению комбинаторных задач, от учителя требуется определенный уровень математической подготовки, владение только одним методом решения комбинаторных задач, для учителя недостаточно. Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач строится с учетом психологических особенностей детей данного возраста и направлена на развитие их мышления. Способы действия не даются учащимся в готовом виде, а дети сами приходят к их «открытию», накапливая собственный опыт решения конкретных задач. Рассмотрение разнообразных комбинаторных задач и различных возможностей осуществления их решения (разный ход рассуждений, способы обозначения объектов) не формирует у учащихся ненужных стереотипов, а обеспечивает ученику выбор путей и средств решения в соответствии со своими индивидуальными особенностями[7]. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||