Компьютерные технологии и математическое моделирование. Компьютерные технологии и математическое
 Скачать 2.91 Mb.
|
|
Министерство внутренних дел Российской Федерации Нижегородская академия О.Ю. Бубнова, С.В. Крыгин, А.И. Кульпанов, Н.А. Миронов, Т.Е. Чикина КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Учебно-практическое пособие Нижний Новгород НА МВД России 2022 2 УДК 304 ББК 73 К85 Рецензенты: А.В. Богатырев, доктор экономических наук, доцент (Нижегородская академия МВД России) В.Ю. Карпычев, доктор технических наук, профессор (ФКУ НПО «Специальная техника и связь МВД России») К85 Компьютерные технологии и математическое моделирование: Учебно-практическое пособие / О.Ю. Бубнова, С.В. Крыгин, А.И. Кульпанов, Н.А. Миронов, Т.Е. Чикина. – Н. Новгород: Нижегородская академия МВД РФ, 2022. – 84 с. Учебно-практическое пособие посвящено рассмотрению приемов использования компьютерных технологий при построении и обработки моделей. В учебно-практическом пособии рассмотрены основы построения математических моделей разработаны практические задания и упражнения по освоению технологии использования компьютерных технологий при моделировании. Пособие рекомендуется курсантам и слушателям Нижегородской академии МВД России, изучающим дисциплины: «Компьютерные технологии и математическое моделирование», «Эконометрика» и может быть использован для самостоятельного изучения основ компьютерного моделирования. © Нижегородская академия МВД России, 2022 3 СОДЕРЖАНИЕ Введение ..................................................................................................... 5 1. Введение в математическое и компьютерное моделирование ......... 6 1.1. Понятие, классификация и свойства моделей ............................. 6 1.2. Классификация моделей ................................................................ 9 1.3. Свойства моделей ......................................................................... 15 1.4. Моделирование............................................................................. 17 2. Парная регрессия и корреляция ......................................................... 29 2.1. Выбор формы уравнения регрессии. Выборочное уравнение парной линейной регрессии ......................................................................... 29 2.2. Метод наименьших квадратов, его суть и применение для расчета оценок коэффициентов уравнения регрессии .............................. 34 2.3. Средняя ошибка аппроксимации ................................................ 38 2.4. Индексы корреляции и детерминации для парной нелинейной регрессии, их смысловое значение, оценки и значимость ........................ 42 3. Моделирование временных рядов ..................................................... 47 3.1. Моделирование временного ряда. Основные элементы и характеристики временного ряда. Аддитивная и мультипликативная модели. ............................................................................................................ 47 3.2. Основные этапы анализа временных рядов: ............................. 48 3.3. Задачи прогнозирования с помощью временных рядов. ......... 49 3.4. Примеры решения типовых задач по временным рядам: ........ 53 4. Компьютерное моделирование экономических и физических процессов ............................................................................................................ 60 4.1. Компьютерная модель свободного падения тела. .................... 60 4 4.2. Компьютерная модель колебаний маятника. ............................ 63 4.3. Компьютерная модель полета тела, брошенного под углом к горизонту. ....................................................................................................... 68 4.4. Модели развития популяции ...................................................... 71 4.5. Компьютерные модели систем массового обслуживания ....... 74 Заключение .............................................................................................. 83 Список использованных источников .................................................... 84 5 Введение В настоящее время задачи, решаемые в различных областях науки и практики, требуют учета большого количества разнообразных факторов, поэтому получение результата в разумные сроки зачастую практически невозможно без использования математического моделирования исследуемых процессов. В свою очередь сами модели становятся настолько сложны, что для построения и особенно для их обработки требуется использовать современные компьютерные технологии и вычислительные мощности. В деятельности органов внутренних дел при анализе оперативной обстановки, выявлении возможных изменений отдельных показателей преступности, прогнозировании количества преступлений также невозможно обойтись без моделирования преступной деятельности. В данном пособии рассматриваются теоретические основы математического моделирования и практические задачи использования компьютерных технологий при обработке моделей. 6 1. Введение в математическое и компьютерное моделирование 1.1. Понятие, классификация и свойства моделей Термин «модель» берет свое начало от латинского слова modulus, что означает мера, образец или норма. Термин модель широко стал использоваться в ХХ веке в различных сферах деятельности человека, отсюда и многообразие трактовок данного термина: объект (макет) образец будущего изделия, с которого снимаются геометрические размеры для воспроизведения аналогичного объекта из другого материала (макет изделия из гипса, глины и т.п.) (рисунок 1); Рисунок 1 изображаемый объект, натурщик, позирующий художнику (рисунок 2); 7 Рисунок 2 объект, имитирующий строение или сооружение, механизм, предназначенный зачастую для визуализации или производственных испытаний. Например, модель гидроэлектростанции (рисунок 3); Рисунок 3 аналог какого-либо процесса или явления (график, схема, чертеж). Например, процесс круговорота воды в природе (рисунок 4); 8 Рисунок 4. тип какого-либо изделия (модель автомобиля, модель одежды), например автомобиль производства Волжского автомобильного завода, модели 2107 (рисунок 5). Рисунок 5 Несмотря на множество смысловых значений, первоначальная область использования этого термина – строительство, где «модель» употреблялась для обозначения прообраза или объекта по тем или иным характеристикам сходным с другим объектом. 9 Помимо, описанных выше материальных моделей, существуют модели, представляющие отражение в мышлении человека, реальных объектов в виде мысленных образов. Модель – создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающий свойства, характеристики и связи объекта – оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом. Отличительной особенностью любой модели будет то, что она нетождественна оригиналу. Это обусловлено тем, что создатель модели учитывал лишь некоторые, важные с его точки зрения особенности оригинала. Поэтому любая модель является неполной. 1.2. Классификация моделей Модели можно классифицировать по нескольким признакам: по форме представления; по поведению во времени. 10 Классификация по форме представления (рисунок 6) Рисунок 6 Материальные – отражают геометрические и физические особенности оригинала и всегда имеют реальное воплощение, то есть, осязаемы (модели транспортных средств, летательных аппаратов и др.). Геометрические модели – это модели геометрически подобные, воспроизводящие пространственно-геометрические характеристики оригинала (макеты зданий и сооружений, учебные муляжи и др.). Зачастую геометрические модели выполняются в масштабе. Слишком большие объекты представляют в уменьшенном масштабе, например модели зданий и сооружений (рисунок 7). Модели Материальные Геометрические Физические Информационные Вербальные Знаковые Математические Графические Табличные 11 Рисунок 7 А слишком маленькие в увеличенном масштабе – модели молекул, атомов и т.п. (рисунок 8). Рисунок 8 Физические модели – это модели, которые помимо геометрического подобия с оригиналом, подобны ему и с точки зрения протекающих в них физических процессов. Примером физической модели являются гидродинамические модели судов, модели летательных аппаратов и 12 транспортных средств, используемые для продувки в аэродинамических трубах (рисунок 9). Рисунок 9 Информационные модели представляют собой обобщение всей информации, о свойствах и состоянии оригинала, а также их взаимосвязь с внешним миром. Эти модели не имеют материального воплощения, а имеют лишь абстрактную аналогию с оригиналом. Вербальные – словесно описанные на естественном языке. Зачастую вербальная модель получается в ходе рассуждений и умозаключений человека. Воспоминания человека о просмотренных кинофильмах или прочитанных книгах, это и есть вербальные образы этих кинофильмов и книг. Знаковые – выраженные посредством специальных символов и знаков, то есть, используя символы любого формального языка. Знаковые модели можно классифицировать следующим образом: Математические модели – это модели, описанные математическими методами, представляющие отношения между параметрами объекта 13 моделирования. Например, уравнение затухающих колебаний (рисунок 10). Рисунок 10 Графические модели представляют собой карты, чертежи, схемы, графики, диаграммы. Например, схема электрической цепи (рисунок 11). Рисунок 11 Табличные модели представлены в виде таблиц, двоичных матриц и т.д. Классификация моделей по поведению во времени (рисунок 12) Рисунок 12 Модели Статические Динамические 14 Модель называется статической, когда входные и выходные данные объекта постоянны во времени. Статическая модель описывает состояние объекта в конкретный фиксированный момент времени. Например, статическая модель ядерного взрыва (рисунок 13). Рисунок 13 Отличительная особенность динамической модели, заключается в том, что она может отследить или спрогнозировать изменение объекта во времени. В качестве примера динамической модели можно привести процесс роста растений (рисунок 14) Рисунок 14 15 Применяя динамические модели можно рассчитывать планы и программы работы производственных организаций, прогнозировать работу автоматизированных систем. Для математического описания динамических моделей используются системы линейных дифференцированных уравнений. 1.3. Свойства моделей Рисунок 15 Свойства модели Точность Экономичность Адекватность Универсально сть Адаптивность Устойчивость Непротивореч ивость Целенаправле нность Простота 16 Универсальность. Свойство, дающее возможность описания с помощью одной модели как можно большего числа объектов. Адаптивность или возможность редактирования. Свойство, предоставляющее возможность совершенствования модели, с целью ее улучшения, при изменении некоторых параметров. Устойчивость. Свойство, характеризующее низкую чувствительность к погрешностям, используемых параметров. Непротиворечивость. Говорит об отсутствии противоречий между выводами, полученными в результате реализации модели и выводами, полученными экспериментально. Целенаправленность. Говорит об обязательном присутствии в модели параметров описывающих цель моделирования, а также параметров, изменения которых приводят к достижению целей моделирования. Простота. Модель, дающая возможность достижения необходимого результата за аналогичное время с аналогичной точностью при учете меньшегоколичества факторов в расчѐтах, будет считаться простой. Точность характеризуется величинами систематических и случайных погрешностей, которые влияют на выходные данные. Достаточная точность результатов решения задачи, говорит о надежности функционирования модели. Экономичность. Создание и дальнейшая реализация модели сопровождается затратами временных (время необходимое для проведения расчетов) и вычислительных ресурсов. Данное свойство предполагает минимизацию описанных выше затрат. Адекватность модели представляет собой собирательное свойство, которое, по сути, объединяет ряд ранее описанных свойств. При условии удовлетворения свойств модели заданным требованиям, ее считают адекватной объекту, если нет, то модель не адекватна. Процесс 17 определения адекватности сложная задача, для еѐ выполнения необходимызначительные вычислительные затраты, которые быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. 1.4. Моделирование Познание действительности довольно сложно представить без моделирования. Тем не менее моделирование далеко не единственный метод изучения закономерностей окружающего мира. Изучению познавательных подходов научного исследования посвящена целая область знания – методология. Из общефилософских методов познания в первую очередь можно выделить два: диалектический и метафизический. Диалектический метод, исходя из принципа всеобщей взаимосвязи предметов и процессов в окружающем мире, с середины XIX века стал все сильнее вытеснять метафизический. Общенаучные методы и их классификация неразрывны с понятием уровней научного познания. Научное познание включает в себя два основных уровня: эмпирический и теоретический. Некоторые общенаучные методы применяются только на эмпирическом уровне познания, например наблюдение и измерение, а некоторые – только на теоретическом, например идеализация и формализация. Тем не менее, существуют такие общенаучные методы, которые применяются и на эмпирическом и на теоретическом уровне. Одним из таких общенаучных методов познания являетсямоделирование. В научных исследованиях метод моделирования применялся еще в глубокой древности, но постепенно применение этого метода охватывало все новые области знаний: строительство, архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию, техническое проектирование и, 18 дажесоциальные науки. ХХ век принес методу моделирования большой успех и признание практически во всех отраслях науки и техники. Трактовка термина «моделирование», также неоднозначна, как и термина «модель». Среди множества определений авторы хотят выделить определение, данное выдающимся математиком и одним из основоположников отечественной кибернетики А.А. Ляпуновым. Моделирование – это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не саминтересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель): находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом; способная замещать его в определенных отношениях; дающая при ее исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте. По мнению авторов, моделирование представляет собой процесс получения научных знаний, которому присущи атрибуты теории и эксперимента. Моделирование целесообразно рассматривать как отдельную единицу, располагающуюся между теорией и экспериментом, а не как развитие первого или второго. Условное деление моделей, а соответственно и моделирование на материальное и идеальное обусловленоиспользованием моделирования на эмпирическом и теоретическом уровнях исследования (рисунок 16). 19 Рисунок 16 Материальное моделирование – это процесс, при котором исследование объекта происходит с использованием его уменьшенного или увеличенного материального аналога, воспроизводящего основные физические, геометрические и функциональные параметры оригинала. Примером материального моделирования могут служить макеты зданий и сооружений, транспортных средств и летательных аппаратов. Материальное моделированиеможно разделить на натурное и аналоговое. Натурное моделирование основано на том, чтов соответствии с реальным объектомсоздается его увеличенный или уменьшенный материальный аналог, допускающий исследование на основе теории Моделирование Материальное (физическое) Натурное Аналоговое Идеальное Интуитивное Научное Знаковое 20 подобия перенесенных с модели на объект свойств изучаемых процессов и явлений. Следует отметить, что именно с натурных моделей судов моделирование стало развиваться как научная дисциплина, а сами модели – активно использовался при проектировании новых технических устройств. Принимая во внимание, что на строительство одного корабля затрачивается несколько лет, а стоимость строительства была очень значительной, можно легко объяснить стремление судостроителей к снижению материальных и временных затрат. Рациональным вариантом стало использование моделирования, а не метода проб и ошибок, для поиска оптимальных форм корпуса корабля. Также стоит отметить еще одно применение натурного моделирования. В сочетании с приемами компьютерного моделирования оно применяется при съемке кинофильмов. Так, присъемке сцен гибели судна в кинокартине «Титаник» было использовано более десятка моделей (рисунок 17). 21 Рисунок 17 Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими выражениями). В качестве примера аналогового моделирования можно привести модели электрических и механических колебаний. Эти модели математически описываются одинаковыми выражениями, но с точки зрения физики они качественно отличаются.Отсюда следует, что изучение механических колебаний можно вести на примере электрической схемы, и наоборот. Идеальное моделирование представляет собой процесс, в результате которого оригиналу противопоставляется его описание его в устной форме, в графическом виде, в виде таблиц и математических выражений. 22 Основное отличие идеального моделирования от материального в том, что оно основано не на материализованной аналогии оригинала и его модели, а на аналогии идеальной, мыслимой и всегда носит теоретический характер. Интуитивное, научное и знаковое моделирование являются составляющими идеального моделирования (рисунок 16). Интуитивное моделирование основано на интуитивном представлении об объекте исследования не нуждающемся в формализации или не поддающемся ей. Научное моделирование – это логически обоснованныйвид моделирования, при котором практически не используется предположений, принятых в качестве гипотез на основании наблюдений за объектом моделирования. Отличительной особенностью знакового моделирования является использование в роли моделей знаковых изображений различного вида, например нот музыкальных произведений, химических формул и т. п. Основополагающей задачей процесса моделирования является получение информации об объекте моделирования через изучение модели. Неотъемлемой частью моделирования является наличие трех составляющих: Субъект исследования; Объект исследования; Модель. Субъект исследования – человек или коллектив, которые разрабатывают или используют модель. Объект исследования – это процесс или явление, для изучения которого разрабатывается модель. В качестве примера можно привести скульптора, создающего скульптуру. Сам скульптор – это субъект исследования, скульптура, над 23 которой он работает – это модель, а натурщик – объект моделирования (рисунок 18). Рисунок 18 |