Ларионов Д.Мат1. контрольная работа 1. Контрольная работа 1 По дисциплине математика Ларионов Дмитрий Дмитриевич
 Скачать 167.5 Kb.
|
|
БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.Г. ШУХОВА КАФЕДРА (Высшая математика) Контрольная работа № 1 По дисциплине: математика Выполнил: Ларионов Дмитрий Дмитриевич Студент 1 курса группы 38ЭТАзд-211 Института заочного образования Проверил: Белгород, 2022 г 1.Решить систему линейных уравнений тремя методами: методом Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса:         1) Найдем решение системы по методу Крамера. Согласно этому методу, значение i-ой переменной в исходной системе есть Здесь det(A) - найденный определитель матрицы коэффициентов перед неизвестными.  Di-есть определитель матрицы, полученной из А заменой i-го столбца на столбец B свободных членов.     Тогда     2) по методу обратной матрицы Если А – матрица системы, В – столбец свободных членов, то система линейных алгебраических уравнений принимает матричный вид  Тогда решение системы:  В нашем случае   Учтем, что  Здесь detA – определитель матрицы А, Aij – алгебраическое дополнение элемента aij исходной матрицы  ,  - определитель, полученный из определителя исходной матрицы вычеркиванием i- ой строки и j- го столбца. Тогда:   Тогда    3) Метод Гаусса Умножим 1-уе уравнение на (-12) и прибавим ко 2-му. Умножим 1-е уравнение на (-1) и прибавим к 3-му. Умножим первое уравнение на -7 и прибавим к четвертому. Получаем:     Умножим 2-е уравнение на (-4/68) и прибавим к 3-му. Умножим 2-е уравнение на (-45/68) и прибавим к 4-му. Получаем:   Умножим 3-е уравнение на (17/217*175/34) и прибавим к 4-му.  Из последнего уравнения:  из третьего уравнения:  из второго уравнения:   из первого уравнения:   в итоге:     2. Заданы четыре точки в пространстве:  Найти: 1) длины векторов  ; 2) координаты векторов  3) расстояние от точки  до плоскости  4) уравнение медианы, проведенной из точки  на сторону  треугольника  N=6, M=2 1) длины векторов ; Координаты этих векторов:   2) координаты векторов  ;    3)                  =-3·{-4·(-2)-(-8)·(-2)}-- (-1)·{5·(-2)-(2)·(-2)}+ + (3)·{5·(-8)-(2)·(-4)}=-78  Площадь грани АВC:         Тогда           Поскольку объем пирамиды также можно найти как  Где S – площадь основания, h – высота, в нашем случае площадь грани АВС равна  , объем пирамиды V= 13, то длина высоты, проведенной из точки D (расстояние от точки D до плоскости АВС):  4) обозначим медиану АE. Тогда точка E – середина отрезка ВС. поскольку точка Е – середина отрезка ВС, то ее координаты    Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1,z1), (x2,y2, z2), есть  Тогда, уравнение прямой AЕ (медианы) есть:  3. Заданы четыре точки на плоскости  Найти: 1) уравнения прямых  ; 2) точки пересечения прямых  3) уравнение эллипса, проходящего через точки  4) уравнение гиперболы, симметричной относительно оси  и начала координат, имеющей полуоси   1) Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1), (x2,y2), есть  Тогда, уравнение прямой AB:  уравнение прямой AC:  уравнение прямой CD:  уравнение прямой BD:  2) точки пересечения прямых  Уравнение прямой АВ есть  , уравнение прямой CD есть  Тогда  . Искомая точка (0;-6)Уравнение прямой АC есть , уравнение прямой BD есть  Тогда  . Искомая точка (0;2)3) уравнение эллипса, проходящего через точки  ; Уравнение эллипса:  Подставим сюда координаты наших двух точек   Видим, что в уравнении эллипса 4 параметра. Точки же в нашем случае две, т.е. имеется два уравнения с 4 неизвестными. Это говорит о том, что через две точки можно провести бесконечное множество различных эллипсов. По условию, достаточно найти любой из этих эллипсов. Вычтем из второго уравнения первое. Получим  Первое уравнение корней не имеет, второе уравнение дает  Уравнения примут вид  оба уравнения одинаковы Тогда два параметра из трех являются произвольными! Положим b = 1 и a =1 Получим  Тогда искомое уравнение эллипса  Это простейший случай искомого эллипса – окружность, диаметром которой является отрезок между заданными точками. 4) уравнение гиперболы, симметричной относительно оси и начала координат, имеющей полуоси ;  Уравнение гиперболы:  Учитывая значения полуосей, получаем   4. Определить вид кривой второго порядка 4  .N=6 и M=2. 4      это уравнение эллипса с полуосями  и  и центром в точке ( ;-3/2)  5. В базисе  заданы векторы  ,  ,  и вектор  Выразить вектор  в базисе векторов  N=6 и M=2. Решение.  ,  ,  и вектор Выразить вектор в базисе векторов  Координаты вектора в этом базисе:  Отсюда    Умножим первое уравнение на (-2) и прибавим ко второму. Умножим первое уравнение на (-5/3) и прибавим к третьему. Получаем   Умножим второе уравнение на (-2/30) и прибавим к третьему. Получаем  из третьего  тогда из второго  Из первого:  тогда в новом базисе  |