Отчет к лабораторной работе по термодинамике. Лабораторная работа 2 ЭЛбз. Лабораторная работа2 Построение кривой нормального распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки
 Скачать 0.76 Mb.
|
|
Лабораторная работа№ 2 Построение кривой нормального распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической и теоретической (нормальной) кривой распределения; выработка умения и навыков применения критериев согласия для проверки выдвинутой статистической гипотезы. Задание На основе дискретного вариационного ряда, полученного в лабораторной работе № 1, выполнить следующее: 1. Построить эмпирическую (полигон) и теоретическую (нормальную) кривую распределения (рисунок 1). Рисунок 1 – Полигон частот и теоретическая кривая распределения 2. Проверить согласованность эмпирического распределения с теоретическим нормальным, применяя: а) критерий Пирсона (для дискретного ряда), б) критерии Романовского, Колмогорова, Ястремского; в) приближенный критерий (2 варианта). Методические указания по выполнению работы 1. Построение кривой нормального распределения по опытным данным. Пусть требуется определить соответствие опытных данных нормальному закону распределения. С этой целью за основу берут дискретный вариационный ряд (лабораторная работа №1) и в системе координат строят эмпирическую кривую распределения — полигон частот. Затем в этой же системе координат строят точки с координатами (x i ; 𝑛 𝑖 ′ ), через которые проводят теоретическую кривую нормального распределения, характеристики а, s совпадают с статистиками 𝑥̅ , S. Для нахождения теоретических частот n i составляется таблицу 1. Таблица 1 где x i — варианты дискретного вариационного ряда, n i — частоты вариант x i , 𝑥̅ — выборочная средняя, S — выборочное среднее квадратическое отклонение, h — шаг (разность между соседними вариантами), φ(u i ) — функция, значения которой находят по таблице значений функции φ(x) или с помощью функции НОРМ.СТ.РАСП(z; интегральная) в Excel с параметрами: z – значение, для которого строится распределение; интегральная – логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент "интегральная" имеет значение ИСТИНА, функция НОРМ.СТ.РАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается весовая функция распределения. В данном случае интегральная – 0, y i — выровненные частоты (ординаты) теоретической кривой, 𝑛 𝑖 ′ — округленные частоты y i до ближайшего целого числа. 2. Проверка статистических гипотез. При изучении той или иной генеральной совокупности нам неизвестен либо закон ее распределения, либо параметры распределения. В подобных случаях в математической статистике выдвигается некоторое предположение относительно свойств генеральной совокупности. Такое предположение носит название статистической гипотезы. Гипотезу, имеющую наиболее важное значение в проводимом исследовании, называют нулевой и обозначают через H 0 . Нулевую гипотезу выдвигают и затем проверяют с помощью статистических критериев с целью выявления оснований для ее отклонения и для принятия альтернативной гипотезы H А . Если имеющийся статистический материал не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу, то ее принимают и используют в качестве рабочей гипотезы до тех пор, пока новые накопленные результаты испытаний не позволят ее отклонить. Нулевая гипотеза отвергается, если на основании выборочных испытаний получается маловероятный результат для случая истинности выдвинутой нулевой гипотезы. Границы между высокой и малой вероятностями служат так называемые уровни значимости. Для большинства областей научного исследования в качестве уровней значимости принимают уровни в 5% и 1 %. Значения статистики, при которых для выбранного уровня значимости отвергается нулевая гипотеза, образуют так называемую критическую область критерия, а значения, при которых гипотеза не отвергается, — область допустимых значений критерия. Таким образом, статистическая проверка гипотез заключается в построении критической области критерия для выбранного уровня значимости. Если статистика, вычисленная на основании выборки, попадает в критическую область, нулевая гипотеза отвергается, что означает несоответствие проверяемой гипотезы опытным данным. В математической статистике для проверки нулевой гипотезы H 0 используют следующие критерии: χ 2 (хи-квадрат) Пирсона, Романовского, Колмогорова, Ястремского, Стьюдента, Фишера и др. Статистическая гипотеза может быть проверена на основании результатов случайной выборки. Правило, устанавливающее условия, при которых проверяемая гипотеза принимается или отвергается, называется статистическим критерием. Обработка экспериментальных данных с помощью любого критерия осуществляется по следующей схеме. 1. Берется один или два ряда наблюдений (одна или две выборки) и по элементам этих рядов по определенным формулам (для каждого критерия свои формулы) вычисляют статистику. 2. По заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k находят по таблицам (для каждого критерия свои таблицы), приводимым в приложении любого учебника по теории вероятностей и математической статистике, граничные значения для полученной в п.1 статистики. 3. Если полученная в п. 1 статистика не выходит за пределы найденных границ, то принимается следующее утверждение: «Нет достаточных оснований отвергнуть выдвинутую гипотезу». В противном случае нулевая гипотеза отвергается. Критерий согласия Пирсона χ 2 Критерий согласия Пирсона χ 2 (хи-квадрат) применяют для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению при большом объеме выборки (n > 100) и больших частотах (n i > 5) вариант x i Для дискретного ряда. За меру расхождения эмпирического и теоретического распределений английский математик Пирсон принял величину χ 2 : (1) где n i — эмпирические частоты, 𝑛 𝑖 ′ — теоретические частоты. Применение критерия χ 2 к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности значений признака Х осуществляется по следующему правилу. 1. По имеющейся выборке сделать предположение о нормальном законе распределения признака Х генеральной совокупности. Затем найти оценки параметров этого закона, т.е. найти 𝑥̅ и S 2 2. Вычислить теоретические частоты n i ′ по формуле где n — объем выборки, h — шаг, S – выборочное среднее квадратическое отклонение, находится по таблице значений функции φ(x) (см. выше). Для вычисления теоретических частот n i ′ составить таблицу 2. Таблица 2 Полученные частоты n i ′ округлить до целых. 3. Вычислить величину χ 2 по формуле (1) и обозначить ее через 0 2 . Расчет вести, пользуясь таблицей 3. Таблица 3 4. Найти число степеней свободы k (параметр распределения Пирсона) по формуле k = s - r = s - 3 , где s — число интервалов вариационного ряда, r — сумма числа параметров теоретического закона распределения. Для нормального распределения признака Х принято r = 3 (учитываются параметры нормального распределения a и , а также объем выборки n). 5. Выбрать уровень значимости ( =0,95). 6. По найденному числу степеней свободы k и уровню значимости , пользуясь таблицей критических точек распределения χ 2 , определить критическое значение кр 2 Если , то нет достаточных оснований отвергнуть выдвинутую гипотезу о нормальном распределении признака Х. Если , то гипотеза о нормальном распределении признака Х отвергается. Критерий Романовского Для оценки близости эмпирического распределения признака Х к нормальному теоретическому Романовский предложил вычислять отношение: где 2 — статистика критерия Пирсона, вычисленная по формуле (1), используя опытные данные, k = s – 3 — число степеней свободы. Если указанное отношение по модулю меньше трех, то расхождение между теоретическим и эмпирическим распределениями считается несущественным, т.е. можно принять, что данное эмпирическое распределение моделируется нормальным распределением. Если отношение больше трех, то у нас нет оснований считать, что эмпирическое распределение признака Х подчиняется нормальному закону распределения. Приближенные критерии нормальности распределения Для проверки гипотезы о соответствии данной выборки нормальному закону распределения используют выборочные статистики: асимметрию и эксцесс. В этом случае по вычисленным статистикам определяют их средние квадратические отклонения по формулам: Если и , то выборочная совокупность подчиняется нормальному закону распределения. Если и заметно больше своих средних квадратических отклонений, то выборочная совокупность не будет распределена по нормальному закону. Контрольные вопросы 1. Дать определение статистической гипотезы. 2. Что называется статистическим критерием? 3. Описать алгоритм применения любого статистического критерия для обработки экспериментальных данных. 4. Сформулировать правило применения критерия согласия 2 Пирсона для проверки гипотезы согласованности эмпирического распределения с теоретическим нормальным. 5. Рассказать о применении критерия согласия Романовского для оценки близости эмпирического распределения к теоретическому нормальному. 6. Рассказать о применении критерия Ястремского для проверки соответствия данной выборочной совокупности нормальному распределению. 7. Рассказать о приближенных критериях, применяемых для про верки гипотезы о нормальном распределении выборочной совокупности. |