моделирование экономических процессов. Практикум по моделирование социально-экономических процессов. Лекция Тема Моделирование бизнеспроцессов двухуровневых организационных систем. Первый блок. Организации как системы

• Название: Лекция Тема Моделирование бизнеспроцессов двухуровневых организационных систем. Первый блок. Организации как системы
• Анкор: моделирование экономических процессов
• Дата: 28.02.2023
• Размер: 1.09 Mb.
• Имя файла: Практикум по моделирование социально-экономических процессов.pdf
• Тип: Лекция; #958973
• страница: 1 из 4

1
Лекция № 1. Тема 1. Моделирование бизнес-процессов двухуровневых
организационных систем.
Первый блок. Организации как системы.
Второй блок. Описание формальной модели бизнес-процессов двухуровневой
организационной системы.
Первый блок. Организации как системы.
В современной методологии исследования организаций важное место занимают методы, опирающиеся на выделение и рассмотрение объектов как систем.
С понятием «система» тесно связан целый круг общенаучных и философских понятий, имеющих долгую историю развития. К ним относятся такие понятия, как «свойство», «отношение», «связь», «подсистема»,
«элемент», «окружающая среда», «часть», «целое», «целостность»,
«структура». Их нельзя определить независимо друг от друга - все они образуют некую взаимосвязанную концептуальную систему.
Целостность означает, что свойства системы не всегда выводятся только из свойств ее элементов. Всеэлементы прямо или косвенно связаны друг с другом, и удаление или добавление одного из элементов в общем случае меняет отношение между остальными элементами системы. Каждую систему можно рассматривать как элемент системы более высокого порядка.
Системы относятся к классу организационных если в их состав, помимо технических подсистем, входят люди.
Организационные
системы.
Организационные системы
(организации) характеризуются рядом присущих им свойств. К их числу относят целенаправленный характер функционировании организаций (как правило, это связано с наличии многих целей одновременно) и иерархическую упорядоченность образующих организацию элементов.
Структуры
организационных
систем.
При изучении организационных и других сложных систем широко используются методы

2
декомпозиции и синтеза. В результате декомпозиции система представляется как совокупность отдельных подсистем, свойств, характеристик и т. д. Описание же системы в целом дается как результат синтеза описаний, выделенных при декомпозиции.
Структуры систем. В самом общем виде в понятии «структура системы» фиксируются определенные закономерности существования и развития системы. Поэтому этого структуризация организационных систем не является понятием абсолютным и фиксированным и определяется характером объекта, целями и задачами его построения.
Структуры
организационных
систем.
Представляются организационные структуры при помощи структурных схем. Каждый структурный блок на такой схеме соответствует какому-либо подразделению либо должности в организации; линии, соединяющие блоки, служат для обозначения административного или функционального подчинения и связей элементов.
Окружающая среда определяется как множество не входящих в систему объектов, изменение существенных свойств которых может изменить существенные формы системы.
Как правило, организационные системы имеют иерархическую структуру.
Административная
структура.
Административная структура определяется как структурная схема организационной системы, в которой отражаютсясвязи, характеризующие подчинение (административное или функциональное) одного структурного элемента другому.
Направленность подчинения задается либо иерархическим расположением управляющего и подчиненного ему элемента, либо направленностью линий (дуг), отражающих эти связи на структурной схеме.
Информационная структура. Информационная структура — это структура организационной системы, в которой выделены информационные связи между элементами системы. Описание информационных связей дается

3 заданием направления движения передаваемой информации (от одного элемента к другому) и ее характера. Информационные связи в организационной системе имеют место прежде всего там, где есть связи подчинения одного элемента другому. В этих случаях они отражают передачу информации между элементами. Информационные связи могут иметь место между элементами, не связанными отношением подчинения, например, это могут быть горизонтальные информационные связи.
Таким образом, структура информационных связей организационной системы включает все дуги административной структуры, а также дуги противоположной им направленности. Кроме того, она может содержать дуги между такими элементами, которые не связаны дугами на административной структурной схеме.
Вариант информационной структуры показан на рис. 1.
Рис. 1. Пример информационной структурной схемы трехуровневой организационной системы
Структура материальных потоков.
Э
Э
Э
Э
Э
Э
Ц
Ц
Ц

4
Для описания в организационных системах структуры поставок сырья, ресурсов, продуктов и т. д. используют структурные схемы материальных потоков. Вершины таких структурных схем образуют выделяемые при рассмотрении элементы, а дуги показывают направление перемещения материальных потоков между ними.
Возможные варианты структуризации организационных систем на этом не исчерпываются.
Рис. 2. Пример структуры материальных потоков
Процессы реального мира слишком сложны, чтобы их можно было изучать во всех деталях - необходимо абстрагирование от большинства свойств реального мира, реальной системы и выделить лишь те свойства, которые позволяют на своей основе построить упрощенный и достаточно идеализированный вариант - модель. Модель системы наиболее адекватна человеческому восприятию реальной сложной системы.
«Моделирование представляет собой один из основных методов познания, является формой отражения действительности и заключается в выяснении или воспроизведении тех или иных свойств реальных объектов, предметов и явлений с помощью других объектов, процессов, явлений, либо с помощью абстрактного описания в виде изображения, плана, карты, совокупности уравнений, алгоритмов и программ»
Э
Э
Э
Э
Э
Э
Внешняя среда

5
Исторически случилось так, что первые работы по компьютерному моделированию, или, как говорили раньше, моделированию на ЭВМ, были связаны с физикой, где с помощью моделирования решался целый ряд задач гидравлики, фильтрации, теплопереноса и теплообмена, механики твердого тела и т. д. Моделирование в основном представляло собой решение сложных нелинейных задач математической физики с помощью итерационных схем и по существу было оно, конечно, моделированием математическим. Успехи математического моделирования в физике способствовали распространению его на задачи химии, электроэнергетики, биологии и некоторые другие дисциплины, причем схемы моделирования не слишком отличались друг от друга. Сложность решаемых на основе моделирования задач всегда ограничивалась лишь мощностью имеющихся
ЭВМ.
Надо заметить, что подобный вид моделирования весьма широко распространен и в настоящее время.
Тем не менее, сегодня понятие "компьютерное моделирование" связывают с системным анализом (направлением кибернетики, впервые заявившим о себе в начале 50-х годов) при исследовании сложных систем в биологии, макроэкономике, при создании автоматизированных экономико- организационных систем управления.
Для изучения различных микроэкономических или макроэкономических процессов используются их упрощенные формальные описания – экономические модели. Использование математических методов и построение модели для решения экономических задач требует глубокого предварительного анализа экономической системы - изучения ее сущности и выявления направлений целесообразного изменения.
На сегодняшний день экономика — перспективное направление применения системного анализа и создания математических моделей.
Предметом моделирования может быть любой реальный объект или процесс: экономическая деятельность фирмы или банка, промышленное предприятие,

6 модели экономического роста, модели равновесия на товарных и финансовых рынках или даже инфляция.
Существует множество подходов к конструированию моделей, поскольку идея представления исследуемого объекта, системы через модель носит достаточно общий характер.
Второй блок. Описание формальной модели бизнес-процессов
двухуровневой организационной системы.
Описание формальной модели бизнес-процессов двухуровневой
организационной системы. Двухуровневые организационные системы характеризуются наличием управляющего элемента верхнего уровня
(центра), внешней среды и несколькими подчиненными центру элементами
(в частном случае центру может быть подчинен только один элемент). На рисунке 3. представлена структурная форма двухуровневой модели, примерами которой могут быть: объединение — предприятие, предприятие
— цех, цех — производственные участки и т.д.
Рис. 3. Структурная форма двухуровневой организационной системы
Двухуровневые организационные системы замечательны простотой структуры (схема), что существенно облегчает их анализ. Вместе с тем, такие системы обладают многими важными чертами, присущими любым организационным системам вообще: иерархической структурой, приоритетом действий центра, наличием, в частности, несовпадающих целей у элементов системы и определенной свободы действий в достижении этих
…
…
Ц
Э
1
Э
i
Э
n

7 целей, взаимозависимостью элементов, возможностью наличия разной информированности центра и элементов в системе и др. Поэтому на примере двухуровневых организационных систем можно рассмотреть многие проблемы управления организациями. Кроме того, двухуровневые системы могут рассматриваться как основной «строительный блок» для более сложных систем.
Состояние элемента. Описание структуры системы включает набор переменных, задающих состояние каждого ее структурного элемента и системы в целом. Принимается, что для каждого элемента i определен вектор состояния элемента:
Y = ( Y
i1
, Y
i2
, … ,Y
im
) = y
i
= {y
ij
, j
J } = {y
ij
}.
образуемый m
i
, показателями y
ij
, задающими состояние элемента.
Состояние системы. В качестве состояния системы рассматривают совокупность всех состояний ее элементов:
У = {у
i
, i
I},
где I = ( i / i = 1, 2, ... , n) обозначает множество всех элементов системы.
Состояние системы в целом определяется только состояниями составляющих ее элементов. Описание же центра как административного органа делается через описание его действий по организации функционирования системы.
Модель ограничений элемента (строится на предположении об отсутствии внешних ограничений), является описанием множества всех состояний, реализация которых в принципе допускается природой данного элемента и может быть названа моделью внутренних ограничений, или просто моделью ограничений элемента. Математически описание модели ограничений выполняется путем представления всех неравенств, функциональных и операторных зависимостей, накладываемых на выбор состояния элемента его «внутренней природой».

8
В общем виде множество всех состояний i-го элемента, удовлетворяющих его ограничениям, обозначим через Y
i
:
y
i
 Y
i
(1.1)
Разработано большое число описаний (1.1), выполненных с различной степенью детализации, для элементов экономики разного уровня (участок, цех, предприятие, отрасль) и разного функционального назначения
(производственные элементы, транспортные элементы, строительные элементы и т. д.).
Производственная функция. Рассмотрим производственный элемент, потребляющий несколько видов затрат и выпускающий продукцию только одного вида (однопродуктовый производственный элемент).
Предполагается, что для производственного элемента допустим любой уровень затрат:
0
 v
ij
<
, j = 1, 2, ... , m
вх
(1.2)
Принимается, что при каждом допустимом уровне затрат v i
существует максимальный уровень выпуска j
i
(v
i
):
0
 v
ij
< j
i
(v
i
)
(1.3)
Функция j
i
(v
i
), задающая максимальный уровень выпуска при каждом уровне затрат, называется производственной функцией.
Модель внутренних ограничений системы элементов представляет собой описание множества всех ее состояний, реализация которых в принципе допускается локальными ограничениями элементов и природой их связей между собой. Общая модель ограничений системы помимо внутренних ограничений включает также ограничения, накладываемые на состояние внешней средой. Поэтому, когда приходится рассматривать организационные системы во взаимодействии с внешней средой, требуется описание общей модели ограничений. Для краткости ее называют просто моделью ограничений системы элементов, а множество всех состояний

9 системы, удовлетворяющих ограничениям системы, - множеством возможных состояний системы и обозначают через Y: у
 Y.
Дополнительные примеры моделей глобальных ограничений.
В качестве дополнительных примеров выберем что-нибудь из мировой экономико-математической классики.
Система
производственных
элементов
с
ограниченным
поступлением ресурсов. Рассмотрим систему, состоящую из n производственных элементов склада, сырьевых ресурсов и склада готовой продукции. Склад сырьевых ресурсов и склад готовой продукции будем относить к внешней среде системы. Структура рассматриваемой системы изображена на рис. 4. Структурная форма последовательной цепочки производственных элементов представлена на рис. 5.
Рис. 4. Структура системы производственных элементов
Результатом деятельности производственных элементов становится продукция, поступающая на склад готовой продукции, затратами выступают ресурсы, получаемые со склада сырьевых ресурсов. Состояние y
i
и модель ограничений Y
i
каждого производственного элемента будем задавать соответственно вектором «затраты - выпуск» и технологическим множеством
n
1
2
u
i
Производственные элементы
R
Склад сырьевых ресурсов v
n
Склад готовой продукции
…
v n-1
v
1
v
2
u
1
u
2
u n-1
u n
Внешняя среда

10
y
i
= ( v
i
, u
i
)
 Y
i
(1.4)
Рис. 5. Структурная форма последовательной цепочки производственных элементов
Поскольку величина ресурсов, находящихся на складе, ограничена, то не любой выбор затрат v = { v
i
} производственных элементов допустим в системе. А именно: суммарный уровень потребления ресурсов всеми элементами системы не может превышать количества ресурсов R, находящихся на складе.
Формально это условие можно записать в виде следующего неравенства
1
:
(1.5)
Условие (1.5) и определяет множество Y глобально-допустимых состояний рассматриваемой системы, а совместное рассмотрение условий
(1.4) и (1.5) позволяет построить модель ограничений системы.
Для того чтобы графически проиллюстрировать вид множества Y, определяемого условиями (1.5), предположим, что в рассматриваемой системе всего лишь два производственных элемента и они потребляют всего лишь один вид сырьевого ресурса. В этом случае условие (1.5) принимает вид:
1
Запись а
 b означает, что любой компонент а j
не превышает по величине имеющий тот же номер компонент b
j
вектора b, то есть С
j
: а
j
 b
j
.
Производственные элементы v
n u
n v
3
v
1
v
2
u
2
u
1
R
u
i
2
1
Склад сырьевых ресурсов
Склад готовой продукции
…
Внешняя среда
R
v
I
i
i




I
i
i
v

11
v
1
+ v
2
 R
(1.6)
Тогда в плоскости затрат (
V
1
,
V
2
) нетрудно представить множество затрат системы, удовлетворяющих глобальным ограничениям (1.6).
Последовательная
цепочка
производственных
элементов.
Рассмотрим систему производственных элементов, соединенных друг с другом в последовательную цепочку в порядке сырьевых номеров, т.е. элемент с номером 1 потребляет сырьевые ресурсы со склада сырьевых ресурсов, а выпускаемая им продукция служит сырьем для элемента с номером 2; продукция выпускаемая элементом с номером 2, служит сырьем для элемента с номером 3 и т. д.; наконец, элемент с номером n потребляет в качестве сырья продукцию, выпускаемую элементом с номером (n-1), а выпускаемая им продукция поступает на склад готовой продукции. Таким образом, каждый производственный элемент рассматриваемой системы выступает одновременно в виде поставщика и потребителя продукции.
Структура описанной системы изображена на схеме 1.5.
Состояние каждого производственного элемента будем по-прежнему задавать вектором «затраты -выпуск» y
i
= (v
i
, u
i
), а модель ограничений — технологическим множеством: Y
i
:
у
i
= (v
i
, u
i
)
 Y
i
Предположим, что размерность т
i-1
вых вектора выпуска каждого поставщика равна (или меньше) размерности т
i вх вектора затрат соответствующего потребителя: т
i-1
вых
 т
i вх
, i = 1, 2,..., n. Пусть, например, конкретно т
i-1
вых
= т
i вх
, 2
 i  n.
Величина выпуска продукции каждого поставщика ограничивает уровень затрат связанного с ним потребителя. А это обусловливает наличие в системе глобальных ограничений и формально может быть записано как условие равенства выпусков и затрат каждого поставщика и соответствующего ему потребителя:
u
i-1
= v
i
, i = 2, 3, ... , n
(1.7)

12
Если производственным элементом может потреблятьсяне вся продукция,выпускаемая поставщиком, то знак равенства в условии (1.7) заменяется на знак неравенства:
u
i-1
 v
i
, i = 2, 3, ... , n
(1.8) то есть объем затрат i-ro элемента не может превышать объема выпуска
(i-l)-гo элемента.
Наличие в системе еще одного глобального ограничения определяется тем, что объем затрат v
i
, производственного элемента с номером 1 ограничивается сверху количеством ресурсов R, находящихся наскладе:
v
1
 R
(1.9)
Таким образом, модель глобальных ограничений Y
гл
последовательной цепочке производственных элементов определяется как множество всех векторов у
i
= {(v
i
, u
i
)} «затраты—выпуск» системы, удовлетворяющих условиям (1.8) и (1.9), а совместное рассмотрение приведенных локальных и глобальных ограничений позволяет построить модель ограничений всей системы (1.7).
Сетевой комплекс. Рассмотрим систему, состоящую из нескольких связанных в сетевой комплекс элементов, каждый из которых описывается отдельной операцией. Под операцией
2
здесь мы будем понимать элементарный процесс (работу), требующий затрат времени и ресурсов
(операции типа «ожидание» требуют затрат времени).
Наличие между элементами зависимостей типа сетевого комплекса соответствует тому, что некоторые операции можно начинать только после завершения других. Такие зависимости удобно отражать в виде графа, вершины которого соответствуют отдельными операциям (элементам), а дуги отражают зависимости между ними (вершины i и j соединяются дугой, если операцию j нельзя начинать, пока не закончена операция i). Такой граф
2
Такое понятие операции применяется в теории сетевого планирования и управления.

13 называется сетью, или сетевым графиком комплекса операций. Пример сетевого графика комплекса, состоящего из шести операций (элементов), изображен на рис. 6.
Состояние у
i
i-ro элемента, определяемого операцией описанного вида, в теории сетевого планирования задается вектором количества потребляемых им ресурсов v
i и продолжительностью операции t
i
(скаляр): у
i
= (v
i
, t
i
). По своему смыслу компоненты вектора v
i
, потребления ресурсов i-м элементом являются величинами положительными, что можно формально записать в виде:
v
i
 0
(1.10)
Рис. 6. Сетевой график комплекса, состоящего из шести операций.
Другое ограничение на вектор состояния определяется тем, что при заданном количестве ресурсов v
i существует минимальное время t
i
=

i
(v
i
) выполнения операций, то есть:
t
i

i
(v
i
)
(1.11)
Совместное рассмотрение условий (1.10) и (1.11) дает нам представление множества Y
i
локально-допустимых состояний i-ro элемента:
Y
i
= { у
i
= (v
i
, t
i
) / v
i
 0, t
i

i
(v
i
) } (1.12)
Для аналитического описания глобальных ограничений в рассматриваемой системе удобно ввести величину — момент окончания i-й операции. В этом случае каждой дуге (i, j) сетевого графика соответствует ограничение вида:
4
3
2
1
5
6

14
Т
i
 Т
i
+ t
j
(1.13)
Набор ограничений (1.12), задаваемых всеми дугами сетевого графика
(обозначимих через Q), определяет множество Y
гл
глобально-допустимых состояний рассматриваемой системы:
Y
гл
= { у
i
= (v
i
, t
i
) / Т
i
 Т
i
+ t
j
(i, j)
 Q }
Так, например, множество глобально-допустимых состояний сетевого комплекса, изображенного на схеме 1.6, имеет вид:
Т
3
 Т
1
, + t
3
, Т
4
 max(T
1
,T
2
) + t
4
, Т
5
 Т
2
+ t
5
,
Т
 Т
6
 max ( Т
3,
Т
4
, T
5
) + t
6
,
где Т — заданный срок завершения всего комплекса.
Предполагая, что каждая операция начинается в самый ранний возможный момент и длится без перерыва, можно исключить переменные Т
i
Действительно,
T
1
= t
1,
T
2
= t
2
, Т
3
= t
1
+ t
3
, Т
4
= t
4
+ max (t
1
, t
2
), T
6
= t
6
+ max
(t
1
+t
3
); t
4
+ max (t
1
, t
2
); (t
2
+t
5
)].
Теперь множество Y
гл
глобально-допустимых состояний можно описать с помощью одного неравенства:
t
6
+ max [(t
1
, t
3
)];[ t
4
+ max (t
1
, t
2
); (t
2
+t
5
)]
 T.
Контрольные вопросы.
1. Что такое целостность системы?
2. Что такое организационные системы?
3. Охарактеризуйте структуру организационных систем.
4. Дайте определение административной структуре систем.
5. Чем характеризуется информационная структура систем?
6. Приведите пример структуры материальных потоков.
7. Что такое моделирование?
8. Зачем применяется моделирование в экономической деятельности?
9. Охарактеризуйте экономическую модель объекта.
10. Что может выступать в качестве предмета моделирования?

15 11. Что такое двухуровневые организационные системы?
12. Чем определяется состояние системы в целом?
13. Опишите модель ограничений элемента системы.
14. Как выполняется математическое описание модели ограничений?
15. Что такое производственная функция?
16. Приведите пример системы производственных элементов с ограниченным поступлением ресурсов.
17. Опишите структурную форму последовательной цепочки производственных элементов.
18. Дайте определение понятию «сетевой комплекс».

1
Лекция № 2. Тема 2. Основы математических методов, применяемых
при моделировании экономических процессов.
Первый блок. Технологическое описание производственного элемента.
Второй блок. Математические методы, применяемые при моделировании
экономических процессов
Первый блок. Технологическое описание производственного элемента.
Основное свойство производственного элемента - способность преобразовать затрачиваемые ресурсы в выпускаемую продукцию (выпуски) в соответствии с заданной технологией.
В общей модели состояние производственного элемента задается вектором «затраты- выпуск» у = (у
1
, у
2
, ... , y
m
) значения положительных компонентов которого определяют уровень (величину) выпуска продукции производственного элемента в рассматриваемом периоде, а значения отрицательных компонентов — уровень его затрат.
Общая модель технологического множества. Возможности производственного элемента y по выбору уровня вектора «затраты-выпуск» описываются его технологическим множеством Y всех допустимых значений векторов «затраты- выпуск» элемента: y
 Y
(1.14)
Рис. 7. Графическое описание производственного элемента в терминах
«блок (ящик) вход-выход».
Обычно считается, что технологическое множество элемента является выпуклым, замкнутым и содержащим нулевой элемент, подмножеством
Евклидового пространства Е
m
размерности m : Y
 E
m
.
Производственный элемент
Затраты v
1
…
Вход
Выход
Выпуски
…
v
2
v n
v n
v
2
v
1

2
Замкнутость — позволяет обеспечить существование оптимальных технологических режимов, которые достигаются на границе множества производственных возможностей элемента.
Выпуклость - означает возможность «смешивания» технологий, причем «дробление» выпуска не приводит к потере эффективности: что если состояние у
1
или у
2
допустимы, то допустимо и любое состояние
у
1
+ (1 -
)
у
2
', где 0 <
 < 1.
Принадлежность нуля производственному множеству - означает, что производственный элемент с технологической точки зрения может не выпускать продукцию и не производить затраты.
Модель - «затраты-выпуск».
Детализация описания производственного элемента на основе учета его специфики и особенностей может позволить добиться дополнительного продвижения в исследовании.
Поэтому наряду с предельно общим описанием разрабатывались и более детальные и даже «очень детальные» описания производственных элементов.
Первый шаг в направлении детализации описания (1.14) — выделение вектора затрат, вектора выпуска производственного элемента и раздельное представление множеств их возможных значений. Вектор состояния производственного элемента при таком подходе представляется как результат объединения двух положительных векторов: вектора u затрат и вектора v выпуска: y = (v, u).
Такое задание состояния производственного элемента соответствует популярнейшей в теории управления схеме описания элементов в терминах
«блок (ящик)—вход—выход». Вектор затрат задает описание состояния входа элемента, а вектор выпуска — состояние выхода. Графическая иллюстрация такого описания производственного элемента приведена на рис.
7.
Для векторов затрат и выпуска производственного элемента задаются множество V всех технологически допустимых затрат:

3
v
 V
(1.15) и множество U(v) всех технологически допустимых выпусков при каждом допустимом уровне затрат v:
u
 U(v)
(1.16)
Общее технологическое множество производственного элемента может быть получено как результат объединения всех допустимых с точки зрения условий (1.15) и (1.16) векторов «затраты- выпуск» :
Y = {у = (v, u) = v
 V, u  U(v) } (1.17)
Относительно множеств допустимых затрат V и допустимых выпусков
U(v) предполагаются выполненными условия, аналогичные тем, которые предполагались выполненными относительно технологического множества
(1.14), а именно: принадлежность к положительным ортантам Е
+
mвх
и Е
+
mвых
coответственно m
вх- и m
вых+
-мерных Евклидовых пространств (V
 Е
+
mвх
,
U(v)
 Е
+
mвых
), а также замкнутость, выпуклость и включение нулевого элемента О
 V, 0  U(v).
Принадлежность множеств V и U(v) к положительным ортантам Е
+
mвх
и Е
+
mвых
обусловлено тем, что отрицательные выпуски не рассматриваются.
Интерпретация других условий, накладываемых на множества V и U(v), совпадает с приведенной выше интерпретацией аналогичных условий для технологического множества (1.14).
Производственная функция — это любимый инструмент описания моделей ограничений производственных элементов.
Однопродуктовым называется элемент, потребляющий m
вх
 1 видов затрат и выпускающий один вид продукции. Вектор затрат выпуска однопродуктового элемента имеет вид:
у = (v, u) = (v
1
, v
2
, … , v
mвх
, u)

4
Функциональная связь между каждым допустимым уровнем затрат и соответствующим ему максимальным выпуском называется производственной функцией:
u
max
=
(v)
(1.18)
Если производственная функция однопродуктового элемента задана, то с ее помощью можно записать множество U(v) допустимых выпусков при каждом допустимом уровне затрат следующим образом:
U(v) = {u / 0
 и (v)}
(1.19)
В качестве выходной переменной в производственной функции чаще всего выступает валовой (конечный) продукт производственного элемента
(отрасли, предприятия и т. д.), а компонентами вектора затрат вступают величины затрат труда и ресурсов, используемых в процессе производства.
При построении производственных функций используют два основных подхода: дескриптивный (статистический) и оптимизационный.
Классические примеры производственных функций. Исследования производственных процессов позволили построить целый ряд производственных функций, широко применяемых как в прикладных, так и в чисто исследовательских целях.
Линейная производственная функция описывает случай линейной зависимости максимального выпуска продукции от уровня потребляемых затрат и является наиболее простым представлением производственной функции.
(1.20)



вых
m
j
j
j
v
a
v
1
)
(


5
Естественным обобщением линейной производственной функции путем учета фактора нелинейности производства является сепарабельная
1
производственная функция:
(1.21) где функции

j
(v
j
) являются монотонными и выпуклыми вверх.
Широкое применение имеет степенная производственная функция:
 (v) = 
0
П v
j

Достоинства этой функции в том, что она включает небольшое число параметров, которые легко поддаются экономической интерпретации.
Впервые частный вариант степенной производственной функции с двумя видами затрат использовали К. Кобб и П. Дуглас применительно к макроэкономическим исследованиям. Использованная ими производственная функция имела вид:
 (v) = 
0
v
1

v
2
-1
где в качестве выпуска выступал валовой национальный доход, а в качестве затрат — затраты труда и затраты капитала.
Второй блок. Математические методы, применяемые при
моделировании экономических процессов
Элементы теории автоматов. Формально имитационная модель задается совокупностью моделирующих алгоритмов М
1
, ..., M
N
и схемой их соединения R. Каждый такой алгоритм вычисляет функцию вполне определенного типа:
f(M) : Z
 X  Y  Z,
1
Сепарабельность производственной функции означает, что технологический процесс предполагает независимое использование затрат и использование любого вида затрат позволяет получить конечную продукцию.



вых
m
j
j
j
v
v
1
)
(
)
(



6 где Z - множество состояний соответствующего фрагмента памяти системы, X - множество его входов, а Y - множество его выходов. Функции такого вида в математике называются абстрактными автоматами и, если множество Z бесконечно, то и автомат называется бесконечным. Таким образом, формальным образом моделирующего алгоритма является абстрактный автомат.
Класс шкалированных автоматов эквивалентен классу всех абстрактных автоматов, но выделяется формой задания при помощи специальной алгоритмической конструкции - так называемой многозначной функциональной логической шкалы.
В частности, по схеме шкалированного автомата удобно описываются системы массового обслуживания со сложными дисциплинами функционирования и нетривиальной логикой взаимодействия элементов.
Вторым достоинством шкалированных автоматов является высокая вычислительная эффективность программной реализации, поскольку последняя осуществляется в строгом соответствии с требованиями структурного программирования. Шкалированный автомат, являясь формальной семантикой моделирующего алгоритма, вычисляет функцию вида
:Z V
X
Y
Z
i m i
j p j

 



где Z - память автомата, m - число типов входных сигналов х автомата, ассоциируемых с типами существенных событий в системе, описываемой этим автоматом, р - число типов выходных сигналов автомата, X
i
и Y
j
- множества входных сигналов типа - i и выходных сигналов типа - j соответственно. Предполагается, что
X
i
 X
k
= Y
j
 Y
h
=
 при i  k, j  h.

7
Сети шкалированных автоматов удобно графически изображать в виде схем взаимодействия автоматов. На рисунке 8 изображена сеть, содержащая пять шкалированных автоматов.
Рис. 8. Сеть шкалированных автоматов.
На рис. 8 вершины сети соответствуют шкалированным автоматам, а дуги - типизированным сигналам, так что между типами сигналов и номерами дуг существует взаимно-однозначное соответствие: S5 означает "сигнал типа 5". Маленькие кружки соответствуют внешней среде (их на рисунке несколько). Связи между сигналами отражены в вершинах сети.
Например, в автомате, соответствующем вершине с номером 1, входной сигнал S5 вызывает появление сигнала S3, который мгновенно передается автомату с номером 2. Эти связи позволяют установить мгновенные цепные реакции, возникающие в сети. Сами связи выявляются при анализе моделирующих алгоритмов, задающих соответствующие автоматные функции.
Элементы теории массового обслуживания.
Примерами систем массового обслуживания (СМО) могут служить: телефонные станции, билетные кассы, ремонтные мастерские, и т. п. Каждая такая система состоит

8 из определенного числа обслуживающих единиц, которые называются
«каналами» обслуживания. В качестве каналов могут служить линии связи, лица, выполняющие те или иные операции, различные приборы и т. д. СМО могут быть как одноканальными так и многоканальными.
Работа любой СМО состоит в выполнении поступающего на нее потока требований или заявок. Заявки поступают одна за другой в некоторые, вообще говоря, случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается и снова готов для приема следующей заявки. Каждая СМО в зависимости от числа каналов и их производительности, обладает какой-то пропускной способностью, позволяющей ей более или менее справляться с потоком заявок.
В качестве характеристик эффективного обслуживания могут применяться: средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему необслуженной, среднее время простоя отдельных каналов и системы в целом, среднее время ожидания в очереди, вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию, закон распределения длины очереди и т. п.
СМО представляет собой физическую систему дискретного типа, с конечным (или счетным) числом состояний, а переход системы из одного состояния в другое происходит скачком, в момент, когда осуществляется какое-то событие (например, приход новой заявки).
Понятие «поток» в СМО играет особенно важную роль. Известно, что число точек, попадающих на участок
, распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием а =
, где  - плотность потока или среднее количество событий, приходящееся на единицу времени.
Вероятность того, что за время
произойдет ровно m событий, равна
P
m
(
) = ( )
m
e
(-
)
/ m!

9
Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским или процессом без последействия, если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий момент t
0
и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.
Вероятностный анализ результатов моделирования.
Рассмотрим некоторые вопросы статистической обработки результатов моделирования.
Флуктуации присущи всем стохастическим имитационным моделям, следовательно, для получения оценок с достаточной точностью необходимо многократно повторять эксперимент и набирать статистику. Математические методы обработки результатов экспериментов такого типа существенно зависят от вида вероятностных распределений. Таким образом, имитационный эксперимент можно интерпретировать как проведение определенного количества независимых испытаний в статистически неизменных условиях; при этом случайная величина Х принимает набор дискретных значений: х
1
, х
2
, ..., х
N
,
где N - количество проведенных экспериментов.
Многие методы анализа результатов моделирования используют предположение о независимости и нормальности откликов модели. Это основано на применении центральной предельной теоремы теории вероятностей: распределение случайной величины Y, являющейся суммой большого числа независимых случайных величин с одинаковыми распределениями вероятностей, близко к нормальному распределению.
Теорема Ляпунова: Если Х
1
, Х
2
, ..., Х
N
- независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание
M(X
i
)=a
i
,
дисперсия D(X
i
)=

i
2
, абсолютный центральный момент третьего порядка
M ( | X - a
i
|
3
)=M
i
и

10 l im (
)
(
)
/
n i
i
N
i i
N
M
 






1 2
1 3 2 0

то сумма S
n
= X
1
+X
2
+...+X
N
распределена асимптотически по нормальному закону с математическим ожиданием
a
i
и дисперсией

i
2
Плотность вероятностей для нормального распределения определяется по формуле:
P x e
x A
( )
(
) /


1 2
2 2
2
 

Параметр
 называется среднеквадратическим отклонением и характеризует точность проведенных измерений. Чем меньше
, тем быстрее убывает плотность распределения Р(х) с возрастанием х.
Вероятность попадания случайной ошибки в симметричный интервал
(-х
1
,х
1
)
при нормальном распределении вычисляется по формуле:
Р(-х
1
< X < х
1
) = P ( |X| < х
1
) = 2Ф(х
1
/
).
Величина дисперсии обладает тем недостатком, что она не совпадает с размерностью самой случайной величины, поскольку размерность дисперсии
- это квадрат размерности случайной величины. Поэтому и вводится мера рассеяния
 =
(
)
DX
.

- это мера вариации или показатель однородности статистической совокупности значений или степень колеблемости значений.
Под оценкой измеряемой случайной величины
Х
понимаем решение следующих задач:
1. Вычисление такой функции
g(х
1
, х
2
, ..., х
N
)
от результатов экспериментов, которая дает достаточно хорошее приближение к соответствующему параметру случайной величины
Х
. Такая функция называется точечной оценкой параметра.
2. Нахождение границ интервала
((1 -
)b, (1 + )b)
, который с заданной вероятностью

покрывает истинное значение оцениваемого параметра.
Такая оценка называется доверительным интервалом для оцениваемого параметра.

11
Величина

, выбор которой зависит от конкретных условий решаемой задачи, называется доверительной вероятностью и стандартно предполагается равной 0.95, 0.99 и 0.999.
Контрольные вопросы.
1.
Опишите модель состояния производственного элемента.
2.
Опишите общую модель технологического множества.
3.
Охарактеризуйте модель «затраты-выпуск».
4.
Какой элемент называется однопродуктовым?
5.
Приведите классические примеры производственных функций.
6.
Что описывает линейная производственная функция?
7.
Что описывает сепарабельная производственная функция?
8.
Какие математические методы могут применяться при моделировании экономических процессов?
9.
Как элементы теории автоматов могут применяться при моделировании экономических процессов?
10.
Как строится сеть шкалированных автоматов?
11.
Приведите примеры систем массового обслуживания.
12.
Опишите принцип работы системы массового обслуживания.
13.
Какие методы могут применяться для обработки результатов моделирования?
14.
Что такое имитационный эксперимент?

Практическое занятие № 1