Лекция. Лекция №2. Лекция 2 Канонические схемы двухполюсников rc, rl и lc, свойства их сопротивлений и проводимостей
 Скачать 365.68 Kb.
|
|
Лекция №2 «Канонические схемы двухполюсников RC, RL и LC, свойства их сопротивлений и проводимостей» Двухполюсники входят в состав сложных разветвленных цепей. Их свойства определяют характеристики всей цепи. Поэтому в этом разделе будут рассмотрены свойства двухполюсников. Двухполюсником называется любая электрическая цепь, рассматриваемая относительно двух зажимов, т.е. имеющая два внешних зажима. Двухполюсники бывают линейные и нелинейные. Двухполюсник будет линейным, если он не содержит в своем составе нелинейных элементов. Он описывается линейным дифференциальным уравнением. Если в составе двухполюсника есть нелинейные элементы, то он будет нелинейным. Такой двухполюсник описывается нелинейным дифференциальным уравнением. По числу элементов двухполюсники различаются как одноэлементные (содержат один элемент), двухэлементные и n- элементные (содержат n элементов). По характеру элементов двухполюсники могут быть реактивные и диссипативные. Реактивные двухполюсники состоят только из индуктивностей и емкостей. В таких двухполюсниках не происходит потерь энергии на тепло. Диссипативные двухполюсники имеют в своем составе, кроме индуктивностей и емкостей, ещё и сопротивления, которые обуславливают в таких двухполюсниках превращение подводимой энергии в тепловую. Двухполюсники могут быть активными и пассивными. Пассивный двухполюсник не имеет внутри себя источников энергии и поэтому мощность на нём не может превышать ту, которая к нему подведена. Активный двухполюсник имеет в своем составе источники энергии. Двухполюсник характеризуется либо сопротивлением Z(p), либо проводимостью Y(p) = 1/Z(p). Зависимость сопротивления или проводимости от частоты называется частотной характеристикой двухполюсника. Эта зависимость определяется структурой и числом реактивных элементов двухполюсника. Для изучения частотных характеристик двухполюсников выведем общее выражение для его сопротивления (проводимости). Если известна схема двухполюсника, то используя, например, метод контурных токов и выбирая i1(p) в качестве тока первого контура, получим систему уравнений схемы (рис.2.44) в виде  (2.93)где  вектор-столбец контурных токов;  - вектор-столбец задающих ЭДС;  - матрица сопротивлений цепи.Решая систему (2. 93) относительно  методом Крамера, получим , (2.94)где D1 – определитель матрицы  , (2.95)а - определитель системы уравнений, т.е. матрицы Z(p). Разлагая его по элементам первого столбца, получим  , (2.96)где  - минор для элемента  , т.е. определитель матрицы, полученной из (2.95) путем вычеркивания первой строки и первого столбца.Подставив (2.96) в (2.94), получим  , или . (2.97)Элементы каждого из определителей и 11 в общем случае имеют вид:   Подставив последние выражения в (2.97), получим  . (2.98)На практике часто потерями в двухполюснике можно пренебречь, т.е.  В этом случае выражение (2.98) будет представлять входное сопротивлениереактивного двухполюсника, у которого   .Определитель системы (2.93) имеет порядок n – число независимых контуров цепи, определитель 11 имеет порядок n-1. Поэтому, подставив в (2.97) выражения для  и  , получим (2.99)Приравняв нулю числитель выражения (2.99) и решив полученное уравнение относительно  , получим корни уравнения  , обращающие  в нуль. Такие значения р называются нулями. При   .Приравняв знаменатель выражения (2.99) нулю и решив полученное уравнение относительно Р2, получим значения Р, обращающие в бесконечность . Такие значения Р называются полюсами . При  .Найдя корни числителя и знаменателя выражения (2.98), можно в соответствии с теоремой Виета разложить их на множители. Тогда получим  (2.100)Умножив числитель и знаменатель (2.100) на Р и обозначив  при получим , (2.101)где 0 = 0. В выражении (2.101) частоты с нечетными номерами являются нулями  , а частоты с четными номерами – полюсами этой функции. Канонические схемы реактивных двухполюсников Выражение (2.101) может быть представлено в следующем виде  (2.102)где  , а единица в (2.102) получена при делении многочлена числителя на многочлен знаменателя (степень числителя больше степени знаменателя относительно 2 на единицу). Сумма первых двух слагаемых в выражении (2.102)  , (2.103)где  .Величина Н > 0, а 0 вычисляется как предел (2.102) при 0. Так как степень числителя и знаменателя в (2.101) отличаются на единицу, то 0 < 0 и С0 > 0. Выражение (2.103) соответствует последовательному соединению индуктивности L2n и емкости С0. Остальные слагаемые в (2.101) имеют вид  (2.104)Выражение (2.104) соответствует параллельному соединению индуктивности L2k-2 и емкости С2k-2, т.е.  , (2.105)где  - резонансная частота параллельного контура L2k-2 и С2k-2.Сравнивая (2.104) и (2.105), получим L2k-2 = -Н 2k-2 > 0, т.к. 2k-2 < 0. Емкость С2k-2 вычислим как  . В результате получим схему реактивного двухполюсника, входное сопротивление которого описывается выражением (2.101).Схема двухполюсника, приведенного на рис. 2.45, называется канонической (приведенной). По уравнению (2.101) можно построить другую схему канонического двухполюсника. От входного сопротивления в уравнении (2.101) перейдем к проводимости. Получим  (2.106)Разлагая (2.106) на сумму дробей, получим  (2.107)где  .Каждое слагаемое в выражении (2.107) соответствует проводимости двухполюсника, состоящего из последовательно включенных L2k-1 и С2k-1, т.е.  ,где  - резонансная частота последовательного контура L2k-1 и С2k-1.Сравнивая левую и правую части последнего равенства, получим  , где .  В результате получим схему канонического двухполюсника Схемы канонического двухполюсника, изображенные на рис. 2.45 и 2.46, являются наиболее общими. Из них, как частные случаи, можно получить другие схемы. В частности, если в схеме рис. 2.45 отсутствует емкость С0, то будем иметь каноническую схему, приведенную на рис. 2.47. Входное операторное сопротивление двухполюсника (рис. 2.47) имеет вид  . Его можно привести к виду (2.108)Частотную характеристику двухполюсника (рис.2.47) получим из выражения (2.114) аналогично формуле (2.101). она будет иметь вид:  (2.109)Другие две формы канонических реактивных двухполюсников, полученных из схемы (рис. 2.45) при отсутствии индуктивности L2n и обоих элементов (L2n и С0), приведены на рис. 2.48. Для схемы (рис. 2.48а) входное операторное сопротивление  . Оно приводится к виду и имеет частотную характеристику (2.110)Для схемы (рис. 2.48б) входное операторное сопротивление  . Оно приводится к виду и имеет частотную характеристику (2.111)К одной из четырех форм канонического двухполюсника (рис. 2.45, 2.47 и 2.48) путем преобразований может быть приведен любой реактивный двухполюсник. Как видно из выражений (2.101), (2.109), (2.110) и (2.111), частотная характеристика любого из канонических двухполюсников определяется нулями и полюсами входного сопротивления и может быть построена, если известны эти нули и полюсы и найдена постоянная Н. Последняя может быть рассчитана из выражения для входного сопротивления, если известно входное сопротивление двухполюсника для частоты, не совпадающей ни с нулём, ни с полюсом. По выражениям (2.101), (2.109), (2.110) и (2.111) можно построить частотные характеристики входного сопротивления канонических реактивных двухполюсников. Они приведены на рис. 2.49. Чётными номерами на оси частот (рис. 2.49) обозначены полюсы, нечётными – нули частотных характеристик. Внутренние полюсы  соответствуют частотам резонанса параллельных контуров канонических схем двухполюсников. Внутренние нули соответствуют частотам последовательного резонанса. Частотные характеристики двухполюсников, приведенные на рисунках 2.49, отличаются только внешними нулями и полюсами. Рис. 2.49а соответствует канонической схеме двухполюсника, изображённого на рис. 2.45. Внешний полюс при частоте 0 = 0 обусловлен сопротивлением емкости С0, а внешний полюс при - индуктивностью  . Рис. 2.49б соответствует схеме двухполюсника, приведенной на рис. 2.47. Внешний нуль при частоте 1 = 0 обусловлен тем, что двухполюсник пропускает постоянный ток, а внешний полюс при - индуктивностью .Рис. 2.49в соответствует схеме двухполюсника, приведенной на рис. 2.48а. Внешний полюс при 0 = 0 определяется ёмкостью С0, а внешний нуль при обусловлен тем, что сопротивление двухполюсника  при . Рис. 2.49г соответствует схеме двухполюсника, приведённой на рис. 2.48б. Двухполюсник пропускает постоянный ток и в то же время при . Поэтому частотная характеристика имеет два внешних нуля.По уравнениям (2.109), (2.110), (2.111) можно построить параллельные схемы реактивных двухполюсников, аналогично тому, как это было сделано по уравнению (2.101). С этой целью в уравнениях (2.109), (2.110), (2.111) перейдем от сопротивлений к проводимостям и, рассуждая аналогично тому, как это было сделано при выводе выражения (2.107), получим параллельные схемы канонических двухполюсников. Они приведены в таблице 1. 2.6.2. Свойства функций входных сопротивлений и проводимостей двухполюсников Рассмотрим свойства пассивных двухполюсников. Для реактивных двухполюсников  Для канонической схемы «а» (см. табл. 1) имеем  Таблица 1
 При p = j получим  Для других схем реактивных двухполюсников результат будет аналогичен. Из этого свойства можно сделать вывод относительно частотных характеристик реактивных двухполюсников: если наклон частотных характеристик реактивных двухполюсников положителен, то нули и полюсы этих характеристик должны чередоваться; в противном случае возникают участки частотной характеристики, где наклон их отрицателен, что противоречит доказанному свойству. Приведенные на рис. 2.49 частотные характеристики канонических схем реактивных двухполюсников, как видно, доказанному свойству соответствуют. Пример 2.24. Модель (одночастотная) кварцевого резонатора изображена на рис. 2.50а, где С0 – емкость кварцедержателя, Lq, Cq, rq – индуктивность, емкость и активное сопротивление кварцевой пластины. Построить частотную характеристику кварцевого резонатора при условии  .Так как двухполюсник не пропускает постоянного тока, то при 0 = 0, Zвх будет иметь полюс. Поскольку нули и полюсы частотной характеристики чередуются, то следующим за полюсом при 0 = 0 будет нуль при = 1, а за нулём – полюс при = 2. При двухполюсник будет иметь нуль, обусловленный емкостью С0. Частоты  ,  называются частотами последовательного и параллельного резонанса кварца. Первая определяется резонансом в последовательном контуре  , вторая – резонансом во всей цепи рис. 2.50а.Для входной проводимости, например, параллельного двухполюсника типа «б» (см. табл.1)  Производная  При p = j получим  2. Для диссипативного двухполюсника активная часть входного сопротивления (проводимости) является четной функцией частоты, а реактивная – нечетной функцией частоты. Для доказательства воспользуемся методом математической индукции. Как следует из (2.97)  . Предположим, что определитель системы Тогда  . При p = j  , ,  .Подставляя значения сопротивлений в определители и 11, получим  , (2.112)где    .Выражение (2.112) приводится к виду  Таким образом, в случае двухполюсника с матрицей 2 х 2 активная часть входного сопротивления является четной, а реактивная – нечетной функцией частоты. Теперь предположим, что это утверждение верно для матрицы n x n и докажем, что оно выполняется для матрицы (n+1)x(n+1), т.е. если входное сопротивление двухполюсника с матрицей n х n  (2.113)где  ,  -действительная и мнимая части определителя n x n, а   - действительная и мнимая части определителя 11 (размера (n-1)x(n-1)).Определитель матрицы (n+1)x(n+1) имеет вид  Разлагая определитель n+1 по элементам последнего столбца, получим сумму произведений  . Каждый из определителей n-го порядка  представляется в виде +j , а  . Перемножая их и суммируя все слагаемые, получим  .Определитель 11 – n-го порядка и его можно представить в виде  .Поэтому входное сопротивление двухполюсника с матрицей (n-1)x(n-1) будет  ;где   .Таким образом, мы доказали, что у двухполюсника с матрицей (n+1)x(n+1) действительная часть входного сопротивления является четной функцией, а реактивная часть – нечетной функцией частоты. Следовательно, утверждение доказано. Проводимость  Из полученного выражения видно, что и для проводимости двухполюсника действительная его часть является чётной, а мнимая – нечетной функцией частоты. Из свойства чётности активной и нечетности реактивной составляющих входного сопротивления следует, что при 0 или активная составляющая будет стремиться к постоянной величине, а реактивная – к нулю или бесконечности. Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, равна  . Так как  то  ; т.е. активная часть входного сопротивления диссипативного двухполюсника неотрицательна. Это же можно утверждать и относительно активной части входной проводимости.3. Расположение нулей и полюсов входного сопротивления (проводимости). Для двухполюсника рис. 2.44 найдем импульсную характеристику. Учитывая (2.98), получим  Для вычисления вычетов в полюсах подынтегральной функции надо найти корни знаменателя, решив уравнение М(р) = 0. При этом возможны следующие варианты: все корни однократные (они могут быть действительными и комплексными); кратные корни. Так как коэффициенты уравнения М(р) = 0 действительные, то комплексные корни могут быть только комплексно сопряженными парами. Вычет в полюсе кратности n равен  (2.114)Если корни однократные, то каждому корню  будет соответствовать вычет ,где  .В зависимости от знака  импульсная характеристика при t будет неограниченно возрастать ( > 0), либо уменьшаться ( < 0). Случай = 0 является граничным , он соответствует существованию гармонических колебаний в двухполюснике. Пассивному двухполюснику соответствует случай < 0. Поэтому действительные части корней должны быть отрицательными. Если корни кратные, то вычет в полюсе кратности n вычисляется по формуле (2.114). Рассмотрим его. Обозначим  . Тогда производная ,где  - число сочетаний из n-1 по m;  производная порядка m отA(p).Подставив выражение для производной в (2.120), получим вычет в n – кратном полюсе рi  (2.115)Как видно из (2.115) поведение res(p = pi) при t существенно зависит от знака действительной части корня pi и кратности корня n. Если Re pi < 0, то при любой кратности n res(p = pi) 0 при t . Если Re pi = 0 (корень мнимый), то при n > 1 res(p = pi) при t , что не соответствует пассивному двухполюснику. На комплексной плоскости (рис.2.51) Re pi < 0 соответствует левая часть плоскости, Re pi > 0 – правая полуплоскость, а Re pi = 0 – мнимая ось. Действительным корням отвечает ось Re p. Если двухполюсник пассивный, то резюмируя изложенное, можно сделать следующие выводы: 1. Полюсы его входного сопротивления располагаются в левой части плоскости (Re pi < 0), они могут быть кратными. 2. Если полюсы располагаются на мнимой оси (Re pi = 0), то они должны быть однократными. 3. Комплексные полюсы располагаются в левой части плоскости комплексно сопряженными парами симметрично относительно действительной оси. Чтобы установить место расположения полюсов входной проводимости, найдем импульсную характеристику для тока через двухполюсник (рис. 2.52). Изображение импульсной характеристики  .Импульсная характеристика  Рассуждая аналогично предыдущему, можно сделать следующие выводы: если двухполюсник пассивный, то 1. Полюсы его входной проводимости располагаются в левой части плоскости (Re pi < 0), они могут быть кратными. 2. Если имеются полюсы на мнимой оси, то они должны быть однократными. 3. Комплексные полюсы располагаются в левой части плоскости комплексно сопряженными парами симметрично относительно действительной оси. Так как полюсы входной проводимости являются нулями входного сопротивления, а полюсы входного сопротивления являются нулями входной проводимости, то можно сделать выводы относительно расположения нулей и полюсов входного сопротивления (проводимости): Нули и полюсы входного сопротивления (проводимости) пассивного двухполюсника находятся в левой части плоскости или на мнимой оси; в последнем случае они должны быть однократными. 4. Два двухполюсника, имеющие разную структуру, эквивалентны в электрическом смысле, если их сопротивления или проводимости равны во всем спектре частот. Очевидно, эквивалентность имеет место, если совпадают их нули и полюсы и постоянные Н. 5. Два двухполюсника называются обратными, если произведение их сопротивлений или проводимостей равны постоянной величине. Очевидно, это свойство выполняется, если нули и полюсы одного двухполюсника совпадают с полюсами и нулями другого. Например, если   Тогда  и двухполюсники I и II являются обратными.Пример 2.25Последовательный (рис. 2.53а) и параллельный (рис. 2.53б) контуры являются взаимно обратными.  , где   , где Следовательно, параллельный и последовательный контуры взаимно обратны. |
)
)
)
)