Конспект. Лекция Элементы теории множеств Понятие множества, способы задания множеств

• Название: Лекция Элементы теории множеств Понятие множества, способы задания множеств
• Анкор: Конспект
• Дата: 12.09.2021
• Размер: 101 Kb.
• Имя файла: 1.doc
• Тип: Лекция; #231594

Лекция 1. Элементы теории множеств
Понятие множества, способы задания множеств

Для того, чтобы исчерпывающе определить какое-либо понятие, нужно указать, частным случаем какого более общего понятия оно является. Это невозможно сделать для понятия множества потому, что более общего понятия, чем множество, не существует. Здесь, как и при попытке определения понятия точки в геометрии: все знают, что такое точка, но нет исчерпывающего определения точки, так как понятие точки является первичным в геометрии.

Будем придерживаться следующего определения множества. Множество есть совокупность объединенных по некоторым общим признакам различных объектов, называемых элементами множества.

Подчеркнем главное, с одной стороны, во множество входят различные объекты, а с другой, у этих объектов есть нечто общее, их объединяющее.

Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Если х является элементом множества X или, что тоже самое, х принадлежит множеству X, то используют запись хX; в противном случае пишут хX. Для того, чтобы указать, что данное множество X состоит из элементов х, у,..., z, пишут

X = {x, y, ..., z}.

Иногда перечисление элементов множества X производится одним символом, но с различными индексами:

Х = {x₁, x₂, ..., x_i, ..., х_n}, или X={x_i, }.

Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, если в нем бесконечно много элементов, то - бесконечным.

Например, множество студентов учебной группы определяется их списком в журнале, множество всех стран на земном шаре  их списком в географическом атласе. Для таких конечных множеств применяется запись Х = {x₁, x₂, ...., х_n}, где порядок элементов в фигурных скобках несущественен и определяется соображениями наглядности. Так, в записи множества первых n натуральных чисел N_n = {1, 2, ..., n} удобно располагать их в возрастающем порядке, хотя при этом надо иметь в виду, что, например, N₃ = {1,2,3}={2,1,3}={3,1,2}  одно и тоже множество. Такой способ применим только к конечным множествам.

В тех случаях, когда множество нельзя задать при помощи списка, его задают путем указания характеристического свойства  такого свойства, которым элементы множества обладают, а все объекты не принадлежащие этому множеству - не обладает.

Такому способу задания множества X отвечает запись следующего вида: X = {х: х обладает свойством Р(х)}. Выражение в фигурных скобках читается так: множество всех элементов х, которые обладают свойством Р(х).

Например, множество целых четных чисел М может быть задано следующим образом:

М = {i: i  целое число, делящееся на 2}.

Возможно также рекурсивное задание множества, при котором осуществляется последовательное описание последующих элементов множества через предыдущие.

Так, множество натуральных чисел N = {1, 2, ...} может быть описано следующим образом:

N = {i: если целое iN, то i+1N, i >1}.

Задание множеств их характеристическим свойством иногда может приводить к осложнениям.

Например, солдату приказали брить тех и только тех солдат его взвода, которые не бреются сами. Возникает вопрос, как ему поступать с самим собой. Если он будет брить себя, то его следует отнести к числу солдат, которые бреются сами, а брить тогда себя он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то его следует отнести к числу солдат, которые сами не бреются, а тогда по приказу он должен себя брить.

В теории множеств накопилось много таких случаев, когда определение множества внутренне противоречиво. Изучение вопроса, при каких условиях это может иметь место, привело к глубоким исследованиям в области логики.

Мы будем рассматривать лишь множества, которые определены точно, и состав которых не вызывает сомнений.

Введение понятия множества в математику оказалось очень полезным из-за того, что элементами множеств могут быть объекты самой различной природы  числа, шарики, дома, рыбы... Причем одни и те же утверждения, касающиеся множеств, можно истолковать и как утверждения о натуральных числах, о точках геометрических фигур, и как утверждения о животных или растениях, и как утверждение о молекулах или атомах. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее применимость к самым различным областям знания  математике, механике, экономике, физике, биологии, лингвистике и т.д.
Подмножества

Понятие подмножества возникает каждый раз, когда приходится рассматривать некоторое множество не самостоятельно, а как часть другого, более широкого множества.

Обычно все множества, с которыми имеют дело в том или ином рассуждении, являются подмножествами некоторого фиксированного, самого большого в данном контексте множества, такое множество называют универсальным множеством. Универсальное множество будем обозначать буквой I.

Если каждый элемент y множества Y (yY) является элементом множества X (хX), то Y называется подмножеством множества X. Для обозначения этого свойства используется знак включения  и применяется запись Y  X.

Из двух включений X  Y и Y  X следует, что множества X и Y совпадают, X = Y, т.е. они состоят из одних элементов. Если множества X и Y не совпадают, применяется запись X  Y.

Если Y  X и одновременно X  Y, то этому соответствует запись Y  X и Y называется собственным подмножеством X.

Число элементов конечного множества обозначается через |Х|. Множество, содержащее n элементов, иногда называют n  множеством. Ясно, что все элементы n  множества X можно пронумеровать числами 1, 2, ... n и записать в виде списка

Х = {x₁, x₂, ...., х_n}.

Очевидно, если |Х|= n и |Y| = m, то из Y  X следует m  n, а из Y  X вытекает m < n.

Термин «множество» наводит на мысль, что каждое множество должно содержать несколько, много, по крайней мере, два элемента. Но из понятия подмножества следует, что можно рассматривать и множества, содержащие только один элемент, и даже множество, не содержащее ни одного элемента. Когда множество задают характеристическим свойством, то не всегда заранее известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается . Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества. Считается также, что пустое множество обладает всякими, любыми свойствами: про пустое множество можно говорить все, что угодно.

Примерами пустых множеств могут служить множество действительных корней уравнения х² + 1 = 0.
Операции над множествами

Для каждой пары множеств X и Y можно определить операцию объединения двух множеств ХY={х: хХ или хY, либо хХ и хY }, т.е. ХY есть множество элементов, которые принадлежат или множеству X, или множеству Y, или тому и другому множествам вместе. Другими словами, множество ХY состоит из элементов, которые принадлежат, по крайней мере, одному из множеств X, Y.

Особое внимание следует обратить на то, что если I универсальное множество для X и Y, то оно является таковым и для результата операции ХY. То есть результат операции принадлежит тому же множеству, что и операнды. Операции с подобными свойствами называются внутренними.

Пример. X = {0, 2, 3}, Y= {0, 3, 6, 7}, ХY = {0, 2, 3, 6, 7}.

Объединение множеств по аналогии с арифметическими действиями иногда называют сложением множеств. Из определения этой операции, очевидно, что объединение обладает свойствами перестановочности (коммутативности) ХY =YX и сочетаемости (ассоциативности)

(XY)Z = X(YZ), что позволяет записывать без скобок объединение любого количества множеств:

X₁X₂ ... X_n= {х: х  X₁ или х  X₂... или х  X_n}.

Операция пересечения множеств X и Y определяется следующим образом:

ХY={ х: хХ и хY }.

Пример, Х = {0,2,3}, Y = {0,3,6,7}, ХY= {0, 3}.

Если X и Y не имеют общих элементов, то ХY = Ø. Из определения операции следует, что пересечение коммутативно ХY = YX - и ассоциативно (XY)Z = X(YZ). Это позволяет записывать без скобок также и пересечение множеств:

X₁X₂ ... X_n= {х: х  X₁ и х  X₂... и х  X_n}.

Операции объединения и пересечения связаны законами дистрибутивности

X (YZ) = (XY)  (XZ),

X (YZ) = (XY)  (XZ).

Разность множеств X и Y определяется следующим образом: X\Y={x: xX и xY}.

Пример. X = {0,2,7}, Y = {0,2,6,9}, X\Y = {7}.

Из определения разности следует, что (X\Y)  (XY) = X, т.к. для любого хX справедливо, что: либо хX, но xY, либо хX и хY.

Используя понятие разности множеств, при YX определим дополнение для Y во множестве X: .

Пример. Х= {1,3, 5,7, 8}, Y= {1,5, 7}, ={3,8}.

Если о дополнении некоторого множества X говорится без упоминания множества, в котором это дополнение рассматривается, то этим множеством считается универсальное множество I.

Таким образом, дополнение множества это .

Используя операции объединения, пересечения и дополнения множеств, сформулируем

Законы Моргана:





Для количества элементов объединения нескольких множеств имеют место

Формулы включения-исключения.

Вот некоторые из них:

|X₁X₂| = |X₁| + |X₂| - |X₁X₂|;

|X₁X₂X₃| = |X₁| + |X₂| + |X₃| - |X₁X₂| - |X₁X₃| - |X₃X₂| + |X₁X₂X₃|.

Покрытие множества X

Семейство множеств {X₁, X₂, ..., X_k} называется покрытием множества X, если имеет место равенство X = X₁X₂ ... X_k. Множества X₁, X₂, ..., X_k называются блоками покрытия.

Разбиением множества X

Важным примером покрытия является разбиение X. Семейство множеств {Х₁,Х_2,..., Х_k} называется разбиением множества X с блоками Х₁, Х₂,..., Х_k, если

X = X₁X₂ ... X_k, |X_i| >0, X_iX_j = Ø, i j, li, jk.

Пример. Множества {1, 2, 5}, {3, 2, 7} образуют покрытие множества {1, 2, 3, 5, 7}.

Множества {1, 4, 7}, {2, 3, 9}, {5, 6, 8} представляют собой блоки разбиения множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Из определения разбиения следует, что порядок записи блоков, в силу коммутативности операции объединения множеств, может быть произвольным.

Для любого разбиения конечного множества X = X₁X₂ ... X_k справедливо равенство

|X| = |X₁| + |X₂| +… + |X_k|.

Для покрытия конечного множества X = X₁X₂ ... X_k справедливо неравенство

|X|  |X₁| + |X₂| +… + |X_k|.
Отношения между элементами множества. Отношения эквивалентности

Часто разбиение множества на подмножества (эти подмножества в практической жизни часто называют классами) производится путем указания некоторого отношения (обозначим это отношение буквой ) между каждой парой элементов, объединяемых в один класс (фиксированное подмножество). Однако не всякое отношение между элементами приводит к желаемому разбиению. Например, для множества людей отношение «быть знакомыми» не может привести к разбиению. Если х знаком с у (xy), а у знаком с z (yz), это вовсе не означает, что х знаком с z. Так как нам придется сначала отнести в один класс х и у (они знакомы друг с другом), потом в этот же класс включить и z (он знаком с у), тогда в одном классе окажутся незнакомые друг с другом х и z. Чтобы не возникало подобных ситуаций, нужно, чтобы отношения между элементами подмножества удовлетворяли ряду условий:

• 
  каждый элемент х сам с собой находится в отношении , то есть хх. Это свойство называется рефлексивность);
  
• 
  если элемент х находится в отношении  с элементом у, то элемент у находится в отношении  с элементом х. То есть из xy следует ух. Это свойство называется симметричность;
  
• 
  если элемент х находится в отношении  с элементом у, а у находится в отношении  с элементом z, то элемент х находится в отношении  с элементом z. То есть из xy и уz следует xz. Это свойство транзитивности.
  

Отношения, удовлетворяющие этим свойствам, называются отношениями эквивалентности.

Можно доказать, что выполнение этих условий необходимо и достаточно для того, чтобы множество можно было разбить на блоки (подмножества) эквивалентных между собой элементов, и при том так, что разные классы не имеют общих элементов.
Декартово произведение X×Y

Совокупность всех упорядоченных пар (x,y) таких, что хХ, yY называется декартовым произведением множеств X и Y и обозначается X×Y.

X×Y={(x,y): хХ, yY}.

Декартово произведение X1× X2× ... × Xk

Аналогично определяется декартово произведение k множеств X₁× X₂× ... × X_k ={( х₁, х₂,..., х_k): х₁Х₁, …., x_kX_k}, а при совпадении множеств - декартова степень X^(k) = X×X×…×X.

Правило умножения множеств |X1× X2× ... × Xk |= |X1|× |X2|× ... × |Xk |.
Отображения множеств

Пусть А, В — произвольные множества. Отображением множества А в множество В называется всякое правило f, по которому каждому элементу множества А ставится в соответствие единственный элемент множества В.

Тот факт, что f есть отображение А в В, кратко записывается так: .

Если при этом элементу а из А сопоставлен элемент b из В, то b называется образом элемента а, а элемент а называется прообразом элемента b при отображении f, что записывается в виде f(a) = b.

Из определения отображения f следует, что у каждого элемента а из А образ единственный, однако для элемента b  В прообразов может быть много, а может и вообще не быть. Множество всех прообразов элемента b  В называется его полным прообразом и обозначается через f^-1(b). Таким образом, .

В зависимости от свойств образов и прообразов различают отображения сюръективные, инъективные и биективные.

Отображение называется сюръективным, если в каждый элемент из В отображается хотя бы один элемент из А, или при любом b  В.

Отображение называется инъективным, если разные элементы множества А отображаются в разные элементы множества В, т. е.

Отображение называется биективным, или взаимно однозначным, отображением А на В, если оно сюръективно и инъективно, т. е. если

Отображение множества А в себя называется преобразованием множества А. Биективное преобразование конечного множества А называется подстановкой множества А.

Отображение f множества А в В называют также функцией, заданной на множестве А со значениями в множестве В. При этом элемент f(а) называют значением функции f в точке а. Само множество А называют областью определения функции f, а множество - областью значений функции f.
Композиция отображений

В теории и на практике часто приходится осуществлять последовательно различные отображения множеств. В связи с этим дадим следующее определение.

Композицией отображений f и g, где , называется отображение , которое может быть записано и так: .