Лекция+2. Лекция элементы теории вероятностей
 Скачать 75.97 Kb.
|
Лекция 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙПод вероятностью в широком смысле понимают количественную меру неопределенности или число, которое выражает степень уверенности в наступлении того или иного случайного события. Например, нас может интересовать вероятность того, что объем продаж некоторого продукта не упадет, если цены вырастут, или вероятность того, что строительство нового дома завершится в срок. Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. В дальнейшем для простоты мы будем опускать термин «случайный». Испытание (опыт, эксперимент) — это процесс, включающий определенные условия и приводящий к одному из нескольких возможных исходов. Исходом опыта может быть результат наблюдения или измерения (таблица 2.1). Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием. Случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий, подразделяющихся на достоверные, невозможные, совместные, несовместные, единственно возможные, равновозможные, противоположные.
Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным. Например, если в урне содержатся только белые шары, то извлечение из нее белого шара есть событие достоверное; другой пример, если мы подбросим вверх камень, то он обязательно упадет на землю в силу действия закона притяжения, т. е. результат этого опыта заведомо известен. Достоверные события условимся обозначать символом Событие, которое не может произойти в результате данного опыта (испытания), называется невозможным. Извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невозможное; выпадение выигрыша на все номера облигаций в каком-либо тираже выигрышного займа также невозможное событие. Невозможное событие обозначим . Достоверные и невозможные события, вообще говоря, не являются случайными. Несколько событий называются совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появления других. Например, при бросании 3 монет выпадение цифры на одной не исключает появления цифр на других монетах. В магазин вошел покупатель. События «В магазин вошел покупатель старше 60 лет» и «В магазин вошла женщина» — совместные, так как в магазин может войти женщина старше 60 лет. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление других. Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш при игре в шахматы (одной партии) — 3 несовместных события. События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или 1, или 2, или... или все события из рассматриваемой совокупности событий произойдут; одно точно произойдет), Например, некая фирма рекламирует свой товар по радио и в газете. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «Потребитель услышал о товаре по радио», «Потребитель прочитал о товаре в газете», «Потребитель получил информацию о товаре по радио и из газеты», «Потребитель не слышал о товаре по радио и не читал газеты». Эти 4 события единственно возможные. Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие. При бросании игральной кости появление каждой из ее граней — события равновозможные. Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными. Купля и продажа определенного вида товара есть события противоположные. Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов. Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех исходов — N  где М — целое неотрицательное число, 0 < М < N. Какой бы вид вероятности ни был выбран, для их вычисления и анализа используется один и тот же набор математических правил. Свойства вероятности, вытекающие из классического определения:  Например, если вероятность извлечения туза из колоды, состоящей из 52 карт, равна 4/52, то вероятность извлечения карты, не являющейся тузом, равна 1 - 4/52= 48/52 Пример 1. Магазин в целях рекламы нового товара проводит лотерею, в которой 1 главный приз, 5 — вторых, 100 — третьих и 1 000 — четвертых. В конце рекламного дня выяснилось, что лотерейные билеты получили 10 000 покупателей. По правилам розыгрыша после извлечения выигрышного билета он возвращается в урну, и покупатель не может получить более одного выигрыша. Чему равна вероятность того, что покупатель, который приобрел рекламируемый товар: а) выиграет 1-й приз; б) выиграет хотя бы 1 приз; в) не выиграет ни одного приза? Решение: а) Определим событие А: «Покупатель выиграл 1-й приз». Согласно условию задачи, в лотерее участвовало 10 000 покупателей, отсюда общее число испытаний N = 10 000, а число исходов, благоприятствующих событию А, М = 1. Все исходы являются равновозможными, единственно возможными и несовместными элементарными событиями. Следовательно, по формуле классической вероятности: б) определим событие В: «Покупатель выиграл хотя бы 1 приз». Для этого события число благоприятствующих исходов  в) событие «Покупатель не выиграет ни одного приза» — противоположное событию В: «Покупатель выиграет хотя бы один приз», поэтому обозначим его как В . По формуле (2.3) найдем Р(В) = 1 - Р{В) = 1 - 0,1106 = 0,8894 . Ответ. Вероятность того, что покупатель выиграет 1-й приз равна 0,0001; один приз — 0,1106; не выиграет ни одного приза — 0,8894. |