урок !. Логарифмические уравнения

• Название: Логарифмические уравнения
• Дата: 17.04.2023
• Размер: 103.38 Kb.
• Имя файла: урок !.docx
• Тип: Урок; #1067642

Тема занятия «Логарифмические уравнения»

Ход занятия.

I. Организационный момент.

Добрый день, присаживайтесь!

Давайте отметим отсутствующих.

Вы, наверное, уже заметили, что сегодня у нас необычное занятие. Во-первых, на занятии присутствуют гости, во-вторых, в аудитории звучит музыка. Почему именно сегодня мы слышим её на занятии математики?

Известный физик А. Эйхенвальд заметил, что «играя по клавишам современного рояля, мы играем по логарифмам». Дело в том, что ступени 12-ти звуковой гаммы частот звуковых колебаний и есть логарифмы.

На предыдущем занятии мы с вами выучили определение логарифма, основные свойства логарифма, а чем же мы займемся сегодня?

Преподаватель: Как вы успели заметить, на доске не записана тема сегодняшнего занятия. Вам предстоит самим определить ее. Вы видите равенства, содержащие переменную (они заранее записаны на доске):



Что общего у них?

Как называют эти равенства?

Как вы думаете, с каким видом уравнений мы сегодня познакомимся?

Обучающиеся отвечают: Эти уравнения содержат переменную под знаком логарифма и называются логарифмическими

Преподаватель: Подумайте, какая тема урока будет у нас сегодня?

Обучающиеся : «Логарифмические уравнения». Слайд №1

Преподаватель: правильно! Мы познакомимся с новым для вас видом уравнений – логарифмическим и способами их решения.

Преподаватель: Значит какова цель нашего занятия? Слайд №2

Обучающиеся: Сегодня на уроке мы рассмотрим понятие логарифмические уравнения, узнаем способы решения, рассмотрим алгоритм решения логарифмических уравнений и как применять.

Преподаватель: скажите А зачем они нужны логарифмы? Где используются?

Предполагаемый ответ: Логарифмы облегчают и ускоряют вычисления. Применяются в различных областях биологии, в химии, астрономии, музыке, физики.

Преподаватель: Важны ли в вашей профессиональной деятельности?

(Музыку выключить)

Обращаю ваше внимание, у каждого на столе лежит оценочный лист.

Сегодня на уроке вы будете сами оценивать свою учебную деятельность, выполняя задания и набирая баллы. Желаю вам успеха!
III Актуализация опорных знаний обучающихся. Подготовка обучающихся к активному и сознательному усвоению нового материала. Устная работа

3.1 Преподаватель: Какие знания будут нам необходимы для решения логарифмических уравнений? Слайд №3

Обучающиеся отвечают: чтобы решить логарифмические уравнения нужно знать:

1. Определение логарифма;

2. Формулы и свойства логарифмов;

3. Методы решения логарифмических уравнений.
Преподаватель: Сформулируйте определение логарифма. Слайд №4

На доске плакат:



Вставьте в определение недостающие слова.

1. 
   Логарифмом ………………………числа b по ……………. а , а…0, а …1 называется ……………. степени, в которую нужно ……………….. основание a, чтобы получить число b.
   

Обучающийся отвечает:  Логарифмом положительного числа b  по основанию  называется показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить числоb.

Преподаватель: Давайте повторим свойства логарифма, которые мы можем использовать при решении логарифмических уравнений? Слайд №5

Слайд №6

Исправить ошибки в формулах:

Основные свойства логарифмов: Формула перехода от одного основания логарифма к другому Основное логарифмическое тождество

Основные свойства логарифмов: Формула перехода от одного основания логарифма к другому Основное логарифмическое тождество

1. 
   Преподаватель: А теперь математическая эстафета. Слайд 7
   

Используя свойства и определение логарифма каждой команде предлагается вычислить логарифмы (по одному логарифму для каждой парты).

Студентам дается на эстафету 5 минут. Вы находите значения логарифма в парах, а затем по очереди, передавая эстафету одна парта - другой, последний участник команды из полученных букв составляет слово, подходит ко мне и выбирает из предложенных вариантов правильное слово.

1 команда	2 команда	3 команда

С помощью предложенной таблицы сопоставьте каждому ответу правильную букву.

9	ри
-2	л
27	фм
3	ог
-3	е
1/2	а
-9	е
2	н
-27	р
-1/2	п

9	у
-2	ие
27	ра
3	вн
-3	е
1/2	ен
-9	а
2	ра
-27	лг
-1/2	б

9	ва
-2	ни
27	ос
3	е
-3	я
1/2	но
-9	ц
2	и
-27	л
-1/2	ек

Должны получиться слова:

1 команда – логарифм

2 команда – уравнение

3 команда - основание
IV. Изучение нового материала (с поэтапным закреплением) слайд 8

Преподаватель: Молодцы. Прежде чем приступить к изучению логарифмических уравнений, вспомним, что значит решить уравнение? Обучающиеся: решить уравнение – означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Преподаватель: верно! При решении логарифмических уравнений пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции. Какова область определения логарифмической функции?

Обучающиеся: Область определения логарифмической функции (ООФ) – множество всех положительных чисел.

Преподаватель: верно!

А сейчас на примере y = log2 (x – 3) назовите ООФ. (Слайд 9)

Обучающиеся:

x – 3>0

x >3

Преподаватель: отлично!

А теперь вернемся к теме нашего занятия. Вспомните, какие методы решения уравнений вы знаете и какие из них можно применить для решения логарифмических уравнений. (Слайд10 )

Обучающиеся называют методы решения уравнений:

- по определению;

- преобразование уравнения по формулам;

- введение новой переменной;

- графический.

Преподаватель: Замечательно. Но сегодня мы с вами остановимся только на некоторых из перечисленных вами методов.

Преподаватель: Кто может сказать, что еще необходимо знать, чтобы решить логарифмическое уравнение?

Обучающиеся отвечают: алгоритм решения. (Слайд 11)

Преподаватель дописывает на доске четвертый пункт:

1. Определение логарифма;

2. Формулы и свойства логарифмов;

3. Методы решения логарифмических уравнений;

4. Алгоритм решения

Преподаватель: Ребята, давайте попробуем составить алгоритм решения любого, независимо от вида и метода решения, логарифмического уравнения. На осмысление у вас есть 3 минуты. Слайд 12

Обучающиеся отвечают:

1. 
   Записать условия, задающие ОДЗ.
   
2. 
   Выбрать метод решения.
   
3. 
   Решить уравнение.
   
4. 
   Проверить получившиеся корни, подставив их в условия ОДЗ.
   
5. 
   При записи ответа, исключить посторонние корни.
   

1. Решение простейших уравнений: (Слайд 13)

Логарифмическое уравнение – это уравнение, в котором переменная содержится под знаком логарифма.

Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнение вида:

log _a x = b, a > 0, a ¹ 1.

Это уравнение решается на основании определения логарифма:

если log_aх = b, то x= a^b.
Пример 1. Решить уравнение (Слайд 14)

Решение. Область допустимых значений находится из неравенства

ОДЗ: 3х + 1 > 0, , .

Воспользуемся определением логарифма:

,

,

х=8, принадлежит ОДЗ.

Ответ: 8

Пример 2. Решить уравнение

Решение:

Если по каким-либо причинам, мы не можем найти ОДЗ, в конце необходимо сделать проверку.

По свойству логарифмов верно равенство ,

из этого равенства по определению логарифма получаем

(x+1)(х+3)=8, ,

,

откуда , .

Проверка: , ,

,

, 3=3.

, ,

, левая часть уравнения не имеет смысла, поэтому не является корнем этого уравнения.

Ответ: .

Решите простейшее уравнение (решает обучающийся).

-по определению логарифма решаем

ОДЗ:8х-4

8х-4

8х-4=

8х=4+4

8х=8

Х=1

Ответ: х=3

4.2 Рассмотрим второй метод решения логарифмических уравнений потенцирование. (Слайд 14)

Суть метода заключается в переходе от уравнения

log _a f(x) = log _a g(x) к уравнению f(x) = g(x) это и называется потенцированием. При таком методе решения возможно получение посторонних корней. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения.

Пример 4. Решить уравнение

log5(2x + 3) = log5(x + 1)

Решение. log5(2x + 3) = log5(x + 1) 2x + 3 = x + 1 x = – 2.

Сделаем проверку: log5(2·(– 2) + 3) = log5(– 2 + 1).

Получаем, что log5(–1) = log5(–1)

С одной стороны, имеем верное равенство, но под знаком логарифма получили число «– 1», какой вывод можем сделать?

Предполагаемый ответ: Под знаком логарифма получили отрицательное число. Но мы знаем, что под знаком логарифма могут стоять только положительные числа.

Преподаватель: Да, так как область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел, то x = – 2 не является корнем данного уравнения. И в ответе запишем, что корней нет.

Решить уравнение методом потенцирования

log_1/2(3x-1)=log_1/2(6x+8) .

Решение

log_1/2(3x-1)=log_1/2(6x+8).

 О.Д.З.           

Используя теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями, получаем:

    3х-1=6х+8,

   -3х=9,

x=-3, не принадлежит ОДЗ, т.е. посторонний корень.

Ответ: нет корней.

3. Рассмотрим третий метод решения логарифмических уравнений -введение новой переменной (Слайд 15)

Рассмотрим логарифмическое уравнение, которое введением новой переменной приводится к квадратному.

Уравнения вида

где a > 0, a ¹ 1, A, В, С – действительные числа.

Пусть t = log_a f(x), tÎR. Уравнение примет вид Аt² + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = log_a f(x). Учитывая ОДЗ, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

 

Пример 6. Решить уравнение lg ² x – lg x – 6 = 0.

Решение. ОДЗ интервал (0; ¥).Введём новую переменную t = lg x, tÎR.

Уравнение примет вид t ² – t – 6 = 0. Его корни t₁ = –2, t₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,

х = 10 ^–2 или х = 10 ³. Оба значения x удовлетворяют ОДЗ данного уравнения (х > 0).

Ответ. х = 0,01; х = 1000.
Решить уравнение методом введения новой переменной (решает студент):



Решение. ОДЗ интервал (0; ¥).Введём новую переменную t = lоg₂ x, tÎR.

Уравнение примет вид t ² –5t + 6 = 0. Его корни t₁ = 2, t₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lоg₂ x = 2 или lоg₂ x = 3,

х = 2² или х = 2 ³. Оба значения x удовлетворяют ОДЗ данного уравнения (х > 0).

Ответ. х = 4; х = 8.

5. 
   Закрепление изученного материала.
   

5.1. Пройдите по ссылке и выполните задание

Соотнесите уравнение и метод решения

log 3(2х - 1) = log 3 27

lg 2 х - 3 lg х - 4 = 0

log2(x+5)=3

log23x+5log3x-2=0

log2(x + 3) = log216

5.2. Решите устно уравнения: (Слайд 16)

1. х=27

2 х=27

3. х=8

4. х=2
5.3. Самостоятельная работа.

Вариант 1.	Вариант 2.
а) ; б) ; в) ; г) д)	а) ; б) ; в) ; г) ; д)

VI. Подведение итогов занятия Рефлексия.

Преподаватель: Давайте обобщим сведения, полученные сегодня на занятии. Какие уравнения мы сегодня решали и какие знания нам помогали их решать

VII.Домашнее задание:



1. Работа с конспектом,

2. Решить уравнения, карточки с разноуровневым дом задание. Кто желает может сделать все уровни

1 уровень log 3 x= 4 log 2 x= -6 logx 64 = 6 - log x64 = 3 2 log x8 + 3 = 0

2 уровень log 3 (2х - 1) = log 3 27 log 3 (4х+5)+log 3 (х +2) = log 3 (2х +3) log 2 х = - log 2 (6х - 1) 4 + log 3(3-х) = log 3 (135-27х) log (х - 2) + log 3 (х - 2) = 10

3 уровень 2log 23 х - 7 log 3 х + 3 = 0 lg 2 х - 3 lg х - 4 = 0 log 2 3 х - log 3 х - 3 = 2 lоg 2 3

Преподаватель. И в конце занятия давайте оценим ваши впечатления. Что узнали нового? Было ли интересно, познавательно? Какие возникли трудности в усвоении нового материала? Сложно ли было вам включиться в учебный процесс?

Для этого я предлагаю заполнить «лист самоанализа деятельности обучающегося».
Лист самоанализа деятельности обучающегося
Из предложенных утверждений отметь те, с которыми вы согласны.
Мне было интересно работать на занятии.

Данная тема понятна для меня.

В процессе работы у меня возникли затруднения.

Результатом работы я доволен.
Поделись впечатлениями о занятии: что понравилось или не понравилось________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

Рефлексия

1. 
   Дайте оценку своей деятельности на уроке: 
   

- Я работал отлично, в полную силу своих возможностей, Чувствовал себя уверенно.

- Я работал хорошо, но не в полную силу, испытывал чувство неуверенности, боязни, что отвечу неправильно.

- У меня не было желания работать. Сегодня не мой день.

2. 
   С каким настроением вы уходите с урока?
   

Приклейте на свою оценочную карту стикер соответствующего цвета (прием «Светофор»):

- красный- тревожно, тему не понял;

- желтый- спокоен, скорее понял, чем нет:

- зеленый- понял всю тему, уверен, что смогу решить самостоятельную работу.