Главная страница
Навигация по странице:

  • правилом многоугольника

  • Нулевой вектор

  • Проекцией вектора на направление вектора

  • Ортом

    		•

    Aиг. M n Размерность у матрицы


    Скачать 3.2 Mb.
    НазваниеM n Размерность у матрицы
    Дата11.02.2023
    Размер3.2 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаAиг.docx
    ТипДокументы
    #931479

    1. Матрицы и линейные действия над ними. Определение матрицы. Размерность. Прямоугольная, квадратная, матрица столбец и строка, диагональная и единичная. Транспонирование матрицы.


    Матрицей размера m × n называется совокуп- ность m · n элементов некоторого множества, записанных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов.

    m × n : Размерность у матрицы

    если количество строк в матрице равно количеству столбцов (m = n), то матрица называется квадратной порядка n

    Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

    Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят какие-то числа λ1, λ2, . . ., λn, а все остальные элементы матрицы – нули, называется диагональной.

    иагональная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, называется единичной.

    Пусть A – матрица размера m × n. Матрица размера n × m, столбцы которой совпадают с соответствующими строками матрицы A, называется транспонированной к матрице A и обозначается AT .

    Заметим, что строки матрицы AT совпадают с соответствующими столбцами матрицы A.

    Транспонированную матрицу обозначают также At или A′.

    1. Сумма матриц и ее свойства. Произведение матрицы на число, его коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.

    - Операция сложения определена только для матриц одинакового раз-

    мера.

    Суммой матриц A и B одинакового размера
    m × n называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B

    A+B=C (C –матрицаразмераm×n), приэтом.

    Если A – матрица размера m × n, α – число,

    то :αA = B (B – матрица размера m × n), при этом

    1. A+B=B+A; (Коммутативность)

    2. (A+B)+C=A+(B+C); (Ассоциативность)

    3. (αβ)A = α(βA); (ассоциативность)

    4. (α+β)A=αA+βA; (дистрибутивность)

    5. α(A+B)=αA+αB, (дистрибутивность)

    где A, B, C – матрицы одинакового размера, α, β – числа.

    1. Произведение матриц. Определение. Свойства. Умножение на единичную матрицу.

    - Произведением матрицы A размера m × n на матрицу B размера n × k называется матрица C размера m × k (AB = C).

    Некоторые свойства операции умножения:

    1. (AB)C = A(BC);
    2. (A+B)C=AC+BC, C(A+B)=CA+CB; 3. α(AB) = (αA)B = A(αB);
    4. (AB)T=BTAT;
    5. (AB)∗ = B∗A∗,
    где A, B, C – матрицы, α, β – числа.

    Нетрудно заметить, что если A – квадратная матрица произвольного

    порядка, I – единичная матрица того же порядка, то также справедливы равенства AI = IA = A.

    1. Определение квадратной матрицы. Понятие определителя. Минор. Алгебраическое дополнение. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Транспонирование матрицы.

    - Каждой квадратной матрице A ставится в соответствие число, которое называется определителем или детерминантом и обозначается det A.

    -Число Mij, равное определителю полученной матрицы, называется дополнительным минором или минором элемента aij матрицы A.

    -Число Aij = (−1)i+jMij называется алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A.

    - Определитель матрицы не изменится, если его разложить по любой строке или любому столбцу матрицы.

    Разложение определителя по i-й строке: detA=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin =

    = ai1(−1)i+1Mi1 + ai2(−1)i+2Mi2 + . . . + ain(−1)i+nMin. Разложение определителя по j-му столбцу:

    detA=a1jA1j +a2jA2j +...+anjAnj = =a1j(−1)1+jM1j +a2j(−1)2+jM2j +...+anj(−1)n+jMnj.

    Разложение определителя удобно выполнять по той строке (столбцу), в которой находится наибольшее количество нулей.

    Для любой квадратной матрицы A: detAT =detA.

    1. Свойства определителей. Замена строк и столбцов определителя. Определители с одинаковыми строками, столбцами. Общий множитель строки. Нулевые и линейно зависимые строки, столбцы.

    - Если в матрице поменять местами 2 столбца, то определитель матрицы меняет знак (умножается на (−1)):

    detA1 ...Aj ...Ak ...An = −detA1 ...Ak ...Aj ...An.

    -Определитель матрицы равен нулю, если в матрице – 2 пропорциональных (tỉ lệ) столбца:

    det [A1 . . . B . . . λB . . . An] = 0.

    В частности, если в матрице – 2 одинаковых столбца (строк), то ее определи- тель равен нулю.

    - Если в матрице какой-то столбец умножить на число, то опре-

    делитель матрицы умножается на это число:



    Это свойство можно сформулировать иначе.

    Если элементы какого-то столбца матрицы имеют общий множи- тель, то его можно вынести за знак определителя.

    - Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.

    - Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

    1. Свойства определителей. Определитель как сумма определителей. Тождественное преобразование определителя. Сумма произведений элементов строк и столбцов на алг. дополнения других строк, столбцов.



    -Определитель матрицы не изменится, если какой-то ее столбец

    умножить на число и сложить с другим столбцом этой матрицы:

    det(A1 ...Aj ...Ak ...An) = detA1 ...(Aj + λAk)...Ak ...An. ) (Тождественное преобразование определителя)



    (*)

    1. Система линейных уравнений в матричной форме и ее решение с помощью обратной матрицы.

    - AX = B.
    Это означает, что систему линейных уравнений можно записать как

    одно матричное уравнение

    Если A – невырожденная квадратная матрица, то решением матрич- ного уравнения AX = B является матрица X = A−1B, а решением мат- ричного уравнения XA = B – матрица X = BA−1.

    1. Системы линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей. Формулы Крамера.




    Теорема 3.1. (Крамера) Система линейных алгебраических уравне- ний (3.1) с квадратной матрицей A имеет единственное решение тогда и только тогда, когда det A ̸= 0 (матрица системы – невырожденная).

    Метод крамера: sgk -42

    1. Существование и единственность решения однородной системы линейных уравнений.

    - Однородная система линейных уравнений всегда имеет нулевое реше- ние: x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0, поэтому такая система всегда совместна.

    Теорема 3.2. Однородная система линейных уравнений с квадратной матрицей системы A (m = n) имеет единственное (нулевое) решение тогда и только тогда, когда матрица системы невырожденная (det A ̸= 0).

    Теорема 3.3. Если в однородной системе линейных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных (m < n), то такая система имеет бесконечно много решений.

    1. Существование и единственность решения неоднородной системы линейных уравнений ???????????/

    2. Определение вектора. Обозначение. Коллинеарность. Модуль. Равенство векторов




    Векторы ⃗a и ⃗b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, в противном случае векторы назы-

    ваются неколлинеарными.

    Длину вектора: Модуль

    Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны

    1. Линейные действия над векторами. Сумма векторов и ее свойства. Нулевой вектор. Противоположный вектор. Разность векторов. Произведение вектора на число и его свойства.

    • Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника . 







    Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху. 

    Противоположно направленные векторы – это коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны.
    вычитание векторов (разность векторов) a - b есть операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной разности соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен:

    сi = ai - bi

    Произведением ненулевого вектора  на действительное число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

    1) длина вектора  равна , т.е. ;

    2) векторы  и коллинеарные ;

    3) векторы  и одинаково направлены, если , и противоположно направлены, если . (рис. 9). Если среди сомножителей  есть 0, то под произведением понимается нулевой вектор.


    1. Проекция вектора на вектор, геометрический смысл. Свойство линейности


    Проекцией  вектора на направление вектора , называется число, которое равно величине проекции вектора   на ось  , проходящую через второй вектор   (рис. 2).

    Проекция вектора на вектор представляет собой отрезок на векторе, полученный перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора либо на сам вектор, либо на его продолжение

    1. Скалярное произведение векторов и его свойства. Связь с проекцией вектора на вектор. Перпендикулярность векторов. Орт вектора. Связь вектора со своим ортом.

    - Скалярным произведением (⃗a,⃗b) векторов ⃗a, ⃗b ∈ R3 называется вещественное число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:







    Ортом или единичным вектором   называется вектор, модуль которого равен единице.

    (о связи между вектором и его ортом). Всякий ненулевой вектор может быть представлен в виде произведения модуля этого вектора на его орт:





    1. Разложение вектора в декартовом базисе. Декартова система координат и декартов базис. Равенство векторов в декартовом базисе. Геометрический смысл компонентов.


    -теорема. Любой вектор  , заданный в пространстве0xyz, может быть представлен в виде

    . (3.4)

    Такое представление вектора  называется разложением вектора в декартовом базисе или разложением вектора по ортам.

    - Векторы  единичные векторы осейОx, Oy, Oz

    - Поскольку  некомпланарны, то они образуют базис в пространстве, который называют декартовым базисом.

    Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости.

    Одна из осей называется осью Ox, или осью абсцисс, другая – осью Oy, или осью ординат. Эти оси называют также координатными осями.

    Обозначим через Mx и My соответственно проекции произвольной точки M плоскости на оси Ox и Oy.


    -Базис на плоскости и в пространстве называется декартовым, если он состоит из единичных взаимно перпендикулярных векторов.



    1. Действия над векторами в декартовом базисе. Сложение, вычитание, умножение на скаляр. Скалярное произведение ???????/hỏi lại??

    2. Направляющие косинусы векторов. Угол между векторами. Условие параллельности и перпендикулярности. Расстояние между данными точками.

    -

    Из определения скалярного произведения следует правило нахожде- ния косинуса угла между векторами:



    Зная cos(⃗a,⃗b), можно найти угол между векторами ⃗a и ⃗b.

    -векторы перпендикулярны, то угол между ними равен 90º

    -Угол между параллельными векторами 0° или 180





    1. Векторное произведение. Представление в виде определителя. Свойства антикоммутативности, ассоциативности, дистрибутивности. Ориентация результирующего вектора. Модуль векторного произведения, его геом. смысл.





    Свойства векторного произведения векторов:

    1. ⃗a × ⃗b = −(⃗b × ⃗a). (антикоммутативности)

    2. (λ⃗a) ×⃗b = ⃗a × (λ⃗b) = λ(⃗a ×⃗b) для любого числа λ. (ассоциативности)

    3. (⃗a + ⃗b) × ⃗c = ⃗a × ⃗c + ⃗b × ⃗c и ⃗a × (⃗b + ⃗c) = ⃗a × ⃗b + ⃗a × ⃗c , (дистрибутивности)

    где ⃗a,⃗b,⃗c ∈ R3.

    Модуль векторного произведения:

    Длина вектора, являющегося векторным произведением векторов ⃗a и ⃗b, численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах

    1. Смешанное произведение векторов. Определение, представление в виде определителя. Геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов.

    - Смешанным произведением векторов ⃗a,⃗b,⃗c ∈ R3 называется число, равное скалярному произведению вектора ⃗a на векторное произведение векторов ⃗b и ⃗c:

    ( (⃗a,⃗b × ⃗c).
    Смешанное произведение векторов (⃗a,⃗b×⃗c) обозначают также⃗a·⃗b·⃗c.



    - модуль смешанного произведения векторов ⃗a, ⃗b, ⃗c равен объему V парал- лелепипеда, построенного на этих векторах

    - Три вектора ⃗a,⃗b,⃗c компланарны тогда и только тогда, когда (⃗a,⃗b × ⃗c) = 0.

    1. Прямая на плоскости в декартовых координатах. Формы уравнения прямой. Угол между прямыми, перпендикулярность. Параллельность. Расстояние от точки до прямой.

    - Любая прямая, лежащая в плоскости, задается уравнением

    Ax + By + C = 0,

    где A и B одновременно не обращаются в ноль, которое называется общим уравнением прямой.



    1. Плоскость в декартовых координатах. Общее уравнение плоскости. Уравнения плоскости, проходящей через три точки. Расстояние от точки до плоскости.




    1. Прямая в декартовых координатах. Канонические уравнения прямой. Уравнение прямой по двум точкам. Параметрические уравнения.









    1. Условие принадлежности 2-х прямых одной плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности и параллельности.

    - Прямые лежат в одной плоскости. если они 1) пересекаются;2) параллельны.




    26. Собственные числа и собственные векторы самосопряженной матрицы. Ортогональность собственных векторов. Приведение матрицы к диагональному виду. (sgk-56)

    27. Кривые второго порядка. Общее уравнение линий второго порядка

    28.Окружность, эллипс, гипербола, парабола.

    29.Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

    30.Поверхности второго порядка

    написать администратору сайта