вышая матиматика. эгзамен. 13. Выражение векторного произведения через координаты. Некоторые приложения векторного произведения
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
13. Выражение векторного произведения через координаты. Некоторые приложения векторного произведения. Пусть заданы два вектора  и  . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойствам векторного произведения): Полученную формулу можно записать еще короче:  . Некоторые приложения векторного произведения Установление коллинеарности векторов Если , то (и наоборот), т.е.  Нахождение площади параллелограмма и треугольника Согласно определению векторного произведения векторов и  , т.е.  . И, значит,  .Определение момента силы относительно точки Пусть в точке приложена сила и пусть - некоторая точка пространства. Из физики известно, что моментом силы относительно точки называется вектор , который проходит через точку и: 1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки , , ; 2) численно равен произведению силы на плечо  ;3) образует правую тройку с векторами и . 14. Определение смешанного произведения векторов и его геометрический смысл. Смешанное произведение определяется для трех векторов, заданных в трехмерном пространстве. Смешанным произведением трех векторов  и называется действительное число, равное скалярному произведению векторов  и , где - векторное произведение векторов и .Из определения понятно, почему смешанное произведение часто называют векторно-скалярным произведением. Смешанное произведение векторов и обычно обозначают  . В таких обозначениях по определению смешанного произведения  .Геометрический смысл смешанного произведения. Выясним геометрический смысл смешанного произведения векторов и .Обозначим  . В этом случае смешанное произведение можно записать как  , где  - числовая проекция вектора на направление вектора .Абсолютная величина числовой проекции равна высоте параллелепипеда, построенного на векторах и , так как вектор перпендикулярен и вектору и вектору по определению векторного произведения. А в разделе геометрический смысл векторного произведения мы выяснили, что величина  представляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Таким образом, модуль смешанного произведения  - это произведение площади основания на высоту параллелепипеда, построенного на векторах и . |