двд. Динамика вращательного движения (часть1). O. Моментом силы относительно точки
 Скачать 1.85 Mb.
|
|
O. Моментом силы относительно точки называется векторная физическая величина, которая определяется векторным произведением радиуса вектора 𝑅 и силы Ԧ 𝐹 (рис. 1) : (1) 𝑀 𝑂 = 𝑅 Ԧ 𝐹 sin 𝛼 (2) [M O ]= Н м Размерность момента силы: 𝑀 𝑂 = 𝑅, Ԧ 𝐹 = 𝑅 × Ԧ 𝐹 Нажмите мышку или пробел Момент силы 1. Момент силы относительно точки. Величина момента силы: Начало отсчета О F Радиус-вектор R Вектор момента силы M O Величина момента силы Рис. 1. Вектор силы Свойства вектора момента силы O M F R O M F F 1) и 2) В декартовых координатах: x y z O x z y y x z z y x x y z e e e M F x y z e yF zF e zF xF e xF yF F F F 3) Момент суммы сил равен векторной сумме моментов каждой из сил: O i O i i i M F M F То есть: 𝑀 𝑂 = 𝑅, 𝐹 1 + 𝐹 2 + ⋯ = 𝑅, 𝐹 1 + 𝑅, 𝐹 2 + ⋯ = 𝑅, σ 𝑖 Ԧ 𝐹 𝑖 = σ 𝑖 𝑀 𝑂 Ԧ 𝐹 𝑖 (3) (4) (5) Нажмите мышку или пробел 4) При переносе силы вдоль линии ее действия момент силы не изменяется. Линия действия силы – прямая линия, на которой лежит вектор силы. Рис. 2 F R 1 = M 2 R 2 O Рис. 2. Так как ∆𝑅|| Ԧ 𝐹, то ∆𝑅, Ԧ 𝐹 = 0, следовательно, 𝑀 1 = 𝑅 1 , Ԧ 𝐹 = 𝑅 2 , Ԧ 𝐹 = 𝑀 2 Вывод: если две одинаковые силы лежат на одной прямой – линии действия этих сил, то их моменты будут одинаковыми. (6) Нажмите мышку или пробел M 1 Линия действия силы F F 𝑀 1 = 𝑅 1 , Ԧ 𝐹 𝑀 2 = 𝑅 2 , Ԧ 𝐹 Перенос силы 𝑅 2 = 𝑅 1 + ∆𝑅 R 5) Момент пары внутренних сил, М = 𝑀 1 + 𝑀 2 = 𝑅 1 , Ԧ 𝐹 1 + 𝑅 2 , Ԧ 𝐹 2 Δ𝑅, Ԧ 𝐹 2 = 0 ⟹ М = 𝑅 1 , Ԧ 𝐹 1 + 𝑅 1 , Ԧ 𝐹 2 = 𝑅 1 , Ԧ 𝐹 1 + Ԧ 𝐹 2 = 0 Ԧ 𝐹 2 = − Ԧ 𝐹 1 , Учитывая, что Получаем момент пары внутренних сил (7) Нажмите мышку или пробел F 1 M 1 F 2 O M 2 R R 1 R 2 Рис. 3. 𝑅 2 = 𝑅 1 + Δ𝑅 , Δ𝑅||𝐹 2 ⇒ 𝑅 2 , Ԧ 𝐹 2 = 𝑅 1 , Ԧ 𝐹 2 лежащих на одной прямой линии (рис. 3). Момент силы относительно оси. Координаты вектора моменты силы относительно координатных осей определяются формулами: Ox z y M F = yF - zF Oy x z M F = zF - xF Oz y x M F = xF - yF 1) Проекция вектора момента силы на ось z не зависит от выбора точки О (рис.4). Разность векторов: 2 1 2 1 M -M = R -R × F z z M M M ,k M ,k M M ,k 1 2 1 2 1 2 Так как в смешанном произведении векторы ∆𝑅 = 𝑅 2 − 𝑅 1 и орт 𝑘 лежат на одной прямой, то Следствие. Если момент силы относительно некоторой точки на оси равен нулю, то равен нулю момент силы относительно этой оси. (8) Нажмите мышку или пробел , , F R 1 M 1 R 2 M 2 R x y O 1 Рис. 4. M 1z M 2z O 2 z M M ,k ,k 2 1 2 1 R - R × F 0 k Разность проекций векторов: 2) Если вектор силы F параллелен оси Z, то момент силы относительно оси равен нулю. Действительно, в этом случае Ԧ 𝐹||𝑘, 𝑀 ⊥ 𝑘 ⇒ 𝑀𝑧 = 𝑀, 𝑘 = 0 Следовательно, если Ԧ 𝐹 = Ԧ 𝐹 ǁ + Ԧ 𝐹 ⊥ , то есть вектор силы можно разложить на компоненту Ԧ 𝐹 ǁ параллельную оси, и компоненту Ԧ 𝐹 ⊥ , перпендикулярную оси, то (рис.5) 𝑀 𝑧 Ԧ 𝐹 = 𝑀 𝑧 Ԧ 𝐹 ǁ + 𝑀 𝑧 Ԧ 𝐹 ⊥ = 𝑀 𝑧 Ԧ 𝐹 ⊥ 3) Если вектор силы и ось не параллельны, но лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен нулю. Действительно, т.к. ось Z и векторы 𝑅 и Ԧ 𝐹 лежат в одной плоскости, а момент силы относительно любой точки на оси 𝑀 𝑂 Ԧ 𝐹 ⊥ 𝑅 и 𝑀 𝑂 Ԧ 𝐹 ⊥ Ԧ 𝐹 , то M z =0 Итак, если вектор силы и ось лежат в одной плоскости, а линия действия силы пересекается с осью, то момент силы относительно точки и оси равны нулю F F F Z Рис. 5. Нажмите мышку или пробел Правила нахождения момента силы F относительно оси Z 1.Найти проекцию силы 𝐹 ⊥ на любую плоскость перпендикулярную оси Z и указать точку О – точку пересечения этой плоскости с осью Z. 2. Найти плечо силы 𝐹 ⊥ относительно оси – т.е. расстояние L от линии действия силы 𝐹 ⊥ проекции силы (в плоскости ) до точки О (длину отрезка ОА на рисунке); 3. Найти величину момента силы 𝑀 𝑍 = 𝐹 ⊥ 𝑂𝐴 и направление 𝑀 𝑍 по правилу правого винта (буравчика). 4. Найти проекцию момента силы на выбранное направление – направление оси Z. Z F F L M Z А О X Y Рис. 6. Нажмите мышку или пробел Момент импульса материальной точки 1. Момент импульса материальной точки относительно точки О. Кинетическим моментом импульса материальной точки массой m, движущейся со скоростью υ, называется векторное произведение радиуса вектора 𝑅, исходящего из точки О к импульсу движущейся точки, и вектора импульса материальной точки Ԧ 𝑝 = 𝑚 Ԧ 𝜐 (рис. 7): 𝐿 𝑂 = 𝑅, 𝑚 Ԧ 𝑣 = 𝑅, Ԧ 𝑝 L O x z y α p O R 𝑳 𝑶 Рис. 7. Точку О иногда называют полюсом. Размерность момента импульса - 𝐿 𝑂 = кг∙м 2 с Вектор момента импульса всегда перпендикулярен радиусу вектору 𝑅 и вектору импульсу материальной точки 𝐿 𝑂 ⊥ 𝑅, 𝐿 𝑂 ⊥ Ԧ 𝑝. В декартовых координатах момент импульса материальной точки: 𝐿 𝑂 = Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 𝑝 𝑥 𝑝 𝑦 𝑝 𝑧 = Ԧ𝑖 𝑦𝑝 𝑧 − 𝑧𝑝 𝑦 + Ԧ𝑗 𝑧𝑝 𝑥 − 𝑥𝑝 𝑧 + 𝑘 𝑥𝑝 𝑦 − 𝑦𝑝 𝑥 (9) (11) (10) Нажмите мышку или пробел 2. Момент импульса механической системы относительно точки i i i i i L L R p 1 1 i i R R R 1 1 1 1 1 1 i i i i i i i i i i i i L R R p R p R p R p R p i C i p p 1 1 C L L R p 0 C p Момент импульса механической системы (системы материальных точек, тела) относительно некоторой точки О: При переходе к другой точке О 1 радиус-векторы точек системы преобразуются Поэтому Суммарный импульс системы равен импульсу центра масс: В системе отсчета, где центр масс тела покоится: Момент импульса механической системы: Суммарный момент импульса не зависит от точки, относительно которой он вычисляется: (12) (13) (14) (15) Нажмите мышку или пробел L L 1 Найдем производную от вектора момента импульса по времени: 𝐿 𝑂 = 𝑅, 𝑚 Ԧ 𝑣 = 𝑅, Ԧ 𝑝 Уравнение динамики вращательного движения материальной точки Момент импульса материальной точки: dL dR dp p R dt dt dt v mv 0 dR p dt Так как dp F dt dp R R F dt в инерциальной системе отсчета по второму закону Ньютона (в импульсной форме): То второе слагаемое имеет вид - вектор момента равнодействующей силы Уравнение динамики вращательного движения материальной точки в векторном виде (относительно произвольной точки): O dL M F dt О. Производная от вектора момента импульса относительно точки равна моменту действующих сил относительно этой точки. (16) (17) (18) Нажмите мышку или пробел Уравнение динамики вращательного движения механической системы в векторном виде. Суммарный момент импульса механической системы в векторной форме: i i i i i L L R p Производная от вектора суммарного момента импульса: i i i i i i dp dL R R F dt dt ВНУТР ВНЕШ i i i F F F На частицы действуют внешние и внутренние силы: При этом внутренние силы подчинятся третьему закону Ньютона – они лежат на прямых линиях, попарно соединяющих точки, противоположны по направлению и одинаковы по величине: ВНУТР ВНУТР i j F F Ԧ 𝐹 𝑖 ВНУТР = Ԧ 𝐹 𝑗 ВНУТР и ВНУТР ВНУТР ВНУТР ВНУТР ВНУТР i i ij i ij j ij i j i i i R F R F R F R F F 0 и, поэтому момент внутренних сил равен нулю: (19) (20) (21) ВНЕШ ВНЕШ i i O i i i dL R F M F dt Изменение вектора момента импульса механической системы во времени: Уравнение динамики вращательного движения (УДВД) механической системы (системы материальных точек): ВНЕШ O i i dL M F dt Суть уравнения ДВД: Производная от вектора суммарного момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему. ВНЕШ x Ox i i dL M F dt УДВД в проекциях на оси: y ВНЕШ Oy i i dL M F dt , , ВНЕШ z Oz i i dL M F dt (22) (23) (24) Закон сохранения момента импульса . В случае замкнутой механической системы: 𝑖 𝑀 𝑂 Ԧ 𝐹 𝑖 ВНЕШ = 0 И, следовательно, из уравнения динамики вращательного движения механической системы имеем: (36) 𝑖 𝑑𝐿 𝑖 𝑑𝑡 = 0 ⟹ 𝑖 𝐿 𝑖 = const О. - ЗCМИ: «Если момент внешних сил, действующих на механическую систему, относительно некоторой точки равен нулю, то сохраняется момент импульса системы относительно этой точки. Иными словами, в замкнутых, изолированных механических системах вектор момента импульса сохраняется, то есть не меняется с течением времени». (37) 𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝐿 𝑖 = 0 ⟹ i Для проекций момента импульса механической системы: 𝑖 𝐿 𝑖𝑥 = const; 𝑖 𝐿 𝑖𝑦 = const ; 𝑖 𝐿 𝑖𝑧 = const (38) Если система частично замкнута: σ 𝑖 𝑑𝐿 𝑖𝑥 𝑑𝑡 = 0; σ 𝑖 𝑑𝐿 𝑖𝑦 𝑑𝑡 ≠ 0; σ 𝑖 𝑑𝐿 𝑖𝑧 𝑑𝑡 ≠ 0 ⟹ σ 𝑖 𝐿 𝑖𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡; σ 𝑖 𝐿 𝑖𝑦 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡; σ 𝑖 𝐿 𝑖𝑧 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (39) Условия равновесия тела можно сформулировать таким образом, как следствия из ЗСИ и ЗСМИ: ВНЕШ i i F 0 ВНЕШ i C C F a m 0 ВНЕШ z z M I 0 ВНЕШ z M 0 1.Если тело покоится, то центр масс тела не движется, поэтому для центра масс То есть: 2. Если тело не вращается, то То есть: |