вышая матиматика. эгзамен. 13. Выражение векторного произведения через координаты. Некоторые приложения векторного произведения

• Название: 13. Выражение векторного произведения через координаты. Некоторые приложения векторного произведения
• Анкор: вышая матиматика
• Дата: 04.10.2022
• Размер: 0.81 Mb.
• Имя файла: эгзамен.docx
• Тип: Документы; #712870
• страница: 7 из 7

24. Уравнение поверхности и линии в пространстве

Пусть задана ДСК в пространстве. Уравнением поверхности называется такое уравнение  с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной поверхности и не удовлетворяют координаты любой другой точки. Переменные называются текущими координатами точек поверхности.

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения поверхностей: 

Плоскость описывается общим уравнением вида

,

где хотя бы один из коэффициентов  отличен от нуля.

3 . 4. Дано: точка  , вектор .

Найти: уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору .

Решение. Выберем на плоскости произвольно точку  с текущими координатами . Тогда вектор перпендикулярен вектору . Т.е. . Получим



– уравнение плоскости по точке и нормали (любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, будем называть нормалью).

Приведем без доказательства еще два вида уравнений плоскости.

Ур авнение плоскости, проходящей через точки   (не лежащие на одной прямой):

.

Уравнение плоскости, отсекающей на осях координат ненулевые «отрезки»  .

.

Замечания.

- Если в уравнении плоскости свободный член  , то плоскость проходит через начало координат.

- Если в уравнении отсутствует какая-либо координата, то плоскость проходит параллельно соответствующей оси.

- Коэффициенты при  в общем уравнении – координаты нормали плоскости .

- Уравнения координатных плоскостей   имеют вид  соответственно.

Построить плоскость по ее уравнению

1.  . Все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, поэтому удобно преобразовать его к уравнению в отрезках: .
2.  . Уравнение не содержит переменную  , значит, плоскость параллельна оси , и ее направляющей служит прямая .
3.  . Это плоскость, параллельная осям  и , иначе говоря, параллельная плоскости  , проходящая «на высоте 3».

Прямая в пространстве задается каноническим, параметрическим или общим уравнениями.

1.  Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку  параллельно заданному вектору .

Выберем на прямой произвольно точку  с текущими координатами . Тогда вектор параллелен вектору :

.

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

1а. Рассуждая аналогично, получим уравнение прямой по двум ее точкам  :

.

2. Введем в каноническом уравнении параметр  :

.

Уравнение прямой в таком виде называется параметрическим. При фиксированном значении параметра получаем соответствующую точку прямой. Придавая  все значения из числового промежутка , получим соответствующий отрезок прямой.

3.  Также прямую можно задать как линию пересечения непараллельных плоскостей.



Такое уравнение называется общим. Почему «альфа»???

Для решения задач, необходимо уметь переходить от одной формы записи прямой к другой.

Н айти расстояние от точки  до прямой . рис. Не такой!!!

Решение. Убедимся, что  . Подставив ее координаты в уравнение прямой, мы видим: (если хотя бы одно из равенств не выполнено, то точка не принадлежит прямой). Обозначим – проекция на . Тогда расстояние от до

.