вышая матиматика. эгзамен. 13. Выражение векторного произведения через координаты. Некоторые приложения векторного произведения
 Скачать 0.81 Mb.
|
23. общее уравнение линий второго порядкаУравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным ос  ямНайдем сначала уравнение эллипса с центром в точке  , оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны а и b. Поместим в центре эллипса начало новой си стемы координат , оси которой и параллельны соответствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направленны (см. рис.41).Вэ  той системе координат уравнение Рис.41.эллипса имеет вид  Та  к как , то в старой системе координатуравнение эллипса запишется в виде  Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке  и полуосями а и Ь (см. рис. 42): И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 43, имеют соответствующие уравнения.       Уравнение Ac2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности  после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида (11.14)где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно. Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема. Теорема 11.2. Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А • С > 0), либо гиперболу (при А • С < 0), либо параболу (при АС = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых Пример 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением  Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс  . Действительно, проделаем следующие преобразования:  Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в  и полуосями и .Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке  и .Пример 11.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением  .Решение: Преобразуем уравнение:  Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые  Общее уравнение второго порядка Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвестными: Ax2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F == 0. (11.15) Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением координат  . Можно, путем поворота координатных осей на угол , преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.Используя формулы поворота осей  выразим старые координаты через новые:  Выберем угол так, коэффициент при обратился в нуль, т.е. чтобы выполнялось равенство т.е.  (11.16)т.е.  Отсюда  (11.17) |