гидравлика и аэродинамика (pdf.io). Муромский институт

• Название: Муромский институт
• Дата: 11.12.2022
• Размер: 4.92 Mb.
• Имя файла: гидравлика и аэродинамика (pdf.io).docx
• Тип: Документы; #839314
• страница: 1 из 4

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Муромский институт (филиал)

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования

«Владимирский государственный университет

имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых» (МИ ВлГУ)

Факультет МСФ Кафедра ТБ
КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА


^{по Гидравлика и аэродинамика систем ТГВ}
(наименование дисциплины) Тема: Функция тока плоского течения


МИВУ.080316.001 КР

Руководитель Пронина О.В.

(фамилия, инициалы)

(подпись)

Студент

(дата)

СТз-121

(группа) Половинкин А.А.

(фамилия, инициалы)

(подпись) (дата)

Муром 2022

Введение

Плоское потенциальное течение — это двумерное течение, характеризующееся тем, что скорости всех частиц жидкости параллельны некоторой плоскости, а характеристики такого течении являются функцией двух координат. Течение называется плоским или плоскопараллельным, если выполнены два условия: 1) скорости всех точек параллельны некоторой плоскости; 2) все характеристики движения не зависят от расстояния до этой плоскости, то есть, все происходит одинаково во всех плоскостях, параллельных этой плоскости.

^МИВУ.080316.001 КР Изм Лист № докум. Подп. ^Дата

Лист

3

1. Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока

В гидродинамике невязкой жидкости особенно полно разработана теория плоских стационарных (установившихся) течений. Пусть, например, плоский безграничный поток обтекает цилиндрическое (или призматическое) тело, бесконечное в направлении, перпендикулярном к скорости течения. Характер течения (обтекания) тела будет одинаков во всех плоскостях, перпендикулярных к образующим тела. Следовательно, для исследования кинематики и динамики такого потока достаточно рассмотреть плоскую задачу. В этом случае скорости и давления зависят только от двух координат, пусть, например, xи y, также функциями этих двух координат являются

проекции v_xи v_yскорости течения.

_{Пусть определена функция}  =(x, y)_{, которая удовлетворяет}
следующим условиям

_d _{= −v} ^d _=vx

, .

Такая функция называется в гидромеханике функциейтока. Уравнение линий тока в случае плоского течения имеет вид:
_dx dy v_x v_y

или

_vxdy−v_ydx= 0_.

Подставляя сюда выражения проекций скорости через частные производные функции , найдём

_xdx+ _ydy= 0.

^МИВУ.080316.001 КР Изм Лист № докум. Подп. ^Дата

Лист

4

При установившемся течении левая часть этого выражения представляет

собой полный дифференциал функции , напишем

_d =0<sub>.

Отсюда следует, что</sub> (x,y)= const_{, таким образом, функция тока на линии}

тока сохраняет постоянное значение.
Предположим, что рассматриваемый плоский поток является потенциальным,
_т.е. что во всех точках потока имеет место условие  = 0_.

В соответствии с принятыми предположениями в этом случае:

_dx=v_x, _dy где  - потенциал скорости.

_{Из условия}  = 0 _имеем

= v_y

,

y⁻ x^{= 0}_. Подставляя сюда выражение для функции тока, получим

2 2

_x^{2 +} y^{2 = 0}_.

Поскольку мы рассматриваем несжимаемую жидкость, то уравнение неразрывности имеет вид

^x⁺ y^{= 0}

или через потенциал скорости

2 2

_x^{2 +} y^{2 = 0}_.

^МИВУ.080316.001 КР Изм Лист № докум. Подп. ^Дата

Лист

5

Дифференциальное уравнения второго порядка, выражающее, что сумма

вторых частных производных скалярной функции равняется нулю, являются, как известно, уравнениями Лапласа. Таким образом, потенциал скорости и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа. Это уравнение обладает следующим свойством. Если имеются функции, например,₁, ,... или ₁, ₂,... такие, что каждая из них в отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, то ему будут удовлетворять также их линейные комбинации
_ = _{1 1} + ₂₂ +..._,  = _{1 1} +B_{2 2} +..._,

где A₁, A₂, ..., B₁, B₂, ... - постоянные.

Отсюда следует, что при наложении одного плоского потенциального потока на другой потенциальный поток полученное поток будет также потенциальным и его потенциал скорости, и функция тока будут определяться путём суммирования значений потенциалов и функций тока слагаемых потоков.
=k =k =kY

 

₌₃

  x
Рис. 1
_{Если построить два семейства кривых: эквипотенциальные линии} (x, y)= k_{(т.е. линии равного потенциала) и кривые} (x,y)= _{- линии тока (здесь kи }

^МИВУ.080316.001 КР Изм Лист № докум. Подп. ^Дата

Лист

6

- параметры), то эти семейства кривых образуют ортогональнуюсетку плоскоготечения ( рис. 1 ).

Это можно показать следующим образом. Вектор скорости v,

_{совпадаю}щий с направлением касательной к линии тока, образует с осью _{абсцисс угол} _{1, тангенс которого с учётом выражения для скоростей равен}
^ tg₁ = ^vy= ^y

x

x_. кий поток жидкость кинематика

Из уравнения же эквипотенциальной линии следует:

d = _xdx+ _ydy=0

и отсюда тангенс угла ₂, который образует касательная к эквипотенциальной линии с осью абсцисс, равен



^tg₁ = −<sup>x

y</sup>.

Показать, что касательные векторы взаимно перпендикулярны, можно так

gradgrad = _xx+ _yy= _x− _y+ _yx 0. В результате перемножения получаем

_tg₁ g₂ =−1_.

Этому условию отвечают угловые коэффициенты взаимно

перпендикулярных линий. Функция тока  имеет физический смысл.

^МИВУ.080316.001 КР Изм Лист № докум. Подп. ^Дата

Лист

7

Определим расход жидкости через сечение потока между двумя линиями тока ₁ и ₂ (т.е. расход струйки тока, ограниченной поверхностями, для которых названные линии тока являются образующими), размер сечения струйки по нормали к плоскости xoyбудем предполагать равным единице

S

Q= _ vndS^S1 ,

где dS- элемент живого сечения струйки, v- скорость, n- единичный вектор по нормали к элементу dS, S₁ и S₂ - границы сечения.

_{Обозначим через угол, образуемыйвектором} n_{с осьюox, тогда} cos _и sin будут проекциями этого вектора на оси координат и, следовательно,
Q= _ v_xcos+v_ysin dS¹ ,

_но dScos=dy_{, dSsin=−dx, поэтому}

Q= S1 v_xdy−v_ydx)= S1^ _ydy+ _xdx^ = S1 d =(S₂)−(S₁).

Таким образом, разность значений функции тока на двух каких ни будь

линиях тока равна секундному объёмному расходу сквозь сечение струйки

тока, ограниченной соответствующими поверхностями тока. Из сопоставления

^vx= y⁼ x_, ^{vy= −} x⁼ y следует

_y⁼ x_, x^{= −} y_.

Из теории функций комплексного переменного следует, что если

выполняются условияКоши-Римана, то линейная комбинации w= +i

^МИВУ.080316.001 КР Изм Лист № докум. Подп. ^Дата

Лист

8

функций  и  является функцией комплексного переменного z=x+iy, т.е. w= f(z)_.

Функция wназывается комплекснымпотенциалом,последний удовлетворяет уравнению Лапласа.

Найдём производную от комплексного потенциала

dz ₌ z→0 z ₌ z→0 z  , причём
^= _xdx+ _ydy+h^= _xdx+ _ydy+h₂ ,

где h₁ и h₂ - бесконечно малые величины высшего порядка. В пределе

__dx+_dy+i ₊ _dy z→0 z⁼ z→0 x+iy⁼ dx+idy _.
Из этого выражения с учётом условий Коши-Римана следует

_dz= _x+i_x= v_x−iv_y

- это выражение называется комплексной скоростью. Модуль комплексной скорости даёт величину скорости

^МИВУ.080316.001 КР Изм Лист № докум. Подп. ^Дата

Лист

9

dw

dz

= v_x+ −v_y)² = v,

v= ve^i 

^О  <sup>х

v</sup>= ve^−i
Рис. 2


_dwdwdzdzdxdiy)<sub>.

Введем кроме</sub> комплексной скорости ( рис. 2 ) v=v_x+iv_y,

сопряжённуюскорость

_v=v_x−iv_y.

Тогда

^v=v_x^+iv_y^{= vcos+isin})^{= vei} _, ^v=v_x^−iv_y^{= vcos−isin})^{= ve−i} _.
Рассмотрим

_{vdz=  dzdz= dw=  d+id}) .

Тогда

^МИВУ.080316.001 КР Изм Лист № докум. Подп. ^Дата

Лист

10

Re_vdz= _d=

- циркуляция,

Im_vdz= _d =Q

- расход.

^МИВУ.080316.001 КР Изм Лист № докум. Подп. ^Дата

Лист

11