векторная алг. Определение. Вектором
 Скачать 1.89 Mb.
|
1 2 Векторная алгебра. Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). Вектор изображается следующим образом: и обозначается или . Точка называется началом вектора , а точка - его концом. К векторам относится также и нулевой вектор – вектор, начало и конец которого совпадают. Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Обозначение длины вектора : Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в некоторой плоскости. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны. Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули. Поскольку вектор определен как направленный отрезок, то вектор не изменяется при параллельном переносе, т.к. при параллельном переносе не изменяются длины отрезков и углы. Например, в параллелограмме  следующие векторы равны: ; . В параллелепипеде равные векторы: ; ; .  Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. перенести параллельно самим себе в одну точку. Определение. Линейными операциями (действиями) над векторами называется сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число. Сложение. При сложении двух векторов по правилу параллелограмма векторы должны исходить из одной точки, рисунок достраивают до параллелограмма.  Суммой векторов является вектор – диагональ параллелограмма: . Векторы можно складывать цепочкой. При этом второй вектор переносится в конец первого, третий – конец второго и т.д.  Суммой всех векторов, выстроенных цепочкой, является вектор, направленный из начала первого вектора в конец последнего: . Вычитание. При вычитании двух векторов векторы должны исходить из одной точки, концы векторов соединяют. Разностью векторов называется вектор , такой, что: . Умножение вектора на число. По правилу умножения вектора на число длина вектора растягивается в раз, а направление не изменяется при и изменяется на противоположное при :  Заметим, что при умножении вектора на число получаются коллинеарные векторы. Вектор сонаправлен с вектором (обозначается: ), если эти векторы параллельны и направлены в одну сторону. Вектор противоположно направлен с вектором (обозначается ), если эти векторы параллельны и направлены в разные стороны. Векторы и противоположны, если они противоположно направлены и имеют одинаковую длину. Обозначается . Определение. Вектор Единичной длины, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора . Орт вектора обозначается .  Очевидно, . Свойства операций над векторами. Следующие свойства операций над векторами достаточно очевидны: 1) + = + - коммутативность сложения. Сложение + и + производится по одному и тому же параллелограмму. 2) + (+ ) = ( + )+ - ассоциативность сложения.  3) + = -свойство нулевого вектора. 4) + = - свойство противоположного вектора. 5) () = () – ассоциативность умножения на произведение чисел. 6) (+) = + - дистрибутивность сложения чисел относительно умножения на вектор. 7) ( + ) = + - дистрибутивность сложения векторов относительно умножения на число. 8) 1 = - свойство единицы. Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если найдутся числа , не все равные нулю, такие, что . Выражение называется линейной комбинацией векторов . Определение. Векторы линейно независимыми, если их линейная комбинация обращается в ноль только нулевыми коэффициентами, т.е. Определение. Базисом называется совокупность линейно независимых векторов , взятых в определенном порядке, исходящих из одной точки, таких, что любой вектор через них линейно выразим, т.е. для любого вектора найдутся числа , такие, что: Утверждение 1. Совокупность векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. Доказательство. Очевидно, , т.е. нашлись числа , не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов обратилась в ноль. Утверждение 2. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима. Доказательство. Если система векторов линейно зависима, то найдутся числа , не все равные нулю, такие, что . Тогда , т.е. нашлись числа, не все равные нулю (например, среди чисел есть ненулевые), такие, что линейная комбинация векторов обратилась в ноль. По определению, векторы линейно зависимы. Утверждение 3. Совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них можно линейно выразить через остальные. Доказательство. Пусть совокупность векторов линейно зависима. Тогда найдутся константы , не все равные нулю, такие, что будет верно равенство: . Если, например, , то Таким образом, если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них можно выразить через остальные. Обратно, пусть нашлось такое , что . Тогда , т.е. нашлись константы , не все равные нулю, такие, что верно равенство: , которое по определению означает линейную зависимость векторов. Следствие . Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Доказательство. Векторы и коллинеарны, тогда и только тогда, когда, , для некоторого числа R . Теорема. (О базисе на плоскости). Любые два неколлинеарные вектора на плоскости образуют базис. Доказательство. По следствию из утверждения 3, два неколлинеарных вектора и на плоскости являются линейно независимыми. Остается доказать, что любой вектор плоскости линейно выразим через и . Если или , то или Если вектор не параллелен никакому из векторов и , то перенесем все векторы в одну точку и достроим получившуюся фигуру до параллелограмма, диагональю которого является вектор :  По правилу сложения векторов: , что и требовалось установить. Утверждение 4. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Доказательство. Если векторы , и линейно зависимы, то по теореме, например, вектор выразим через остальные. Два вектора компланарны всегда. Но тогда вектор есть диагональ в параллелограмме : и, таким образом, вектор принадлежит той же плоскости. Пусть векторы , , компланарны. Если какие-нибудь два из них параллельны, то по следствию 1, они линейно зависимы, а по утверждению 2, система векторов , , линейно зависима. Если векторы и не параллельны, то они линейно независимы, и по теореме о базисе на плоскости, они образуют базис, значит, по теореме о базисе на плоскости, вектор линейно выразим через базисные векторы и , что означает линейную зависимость системы векторов , , (утверждение 3). Теорема. (О базисе в пространстве). Любые три некомпланарные вектора в пространстве образуют базис. Доказательство. По утверждению 4, три некомпланарные вектора , и являются линейно независимыми. Остается доказать, что любой вектор пространства линейно выразим через векторы , , . Если , , или , то , или Если вектор параллелен плоскости векторов , ; , или , , то можно считать, что вектор лежит в соответствующей плоскости. Поскольку векторы в системах . и линейно независимы (как подсистемы линейно независимой системы векторов), то они образуют базисы в соответствующих плоскостях, и тогда вектор линейно выразим через векторы соответствующего базиса: , . Если вектор не параллелен никакой из перечисленных плоскостей, то перенесем все векторы в одну точку и достроим получившуюся фигуру до параллелепипеда, диагональю которого является вектор :  По правилу сложения векторов: что и требовалось установить. Итак, каждый вектор разложим по базису, т.е. линейно выразим через базисные векторы. Докажем, что такое разложение единственно. Теорема. (Единственность разложения вектора по базису.) Разложение вектора по базису единственно. Доказательство. Пусть некоторый вектор разложим по базису двумя способами: Вычтем равенства: . Поскольку базисные векторы линейно независимы, то или , Что и требовалось доказать. Определение. Координатами вектора в базисе называются коэффициенты разложения вектора по этому базису, т.е. если , то числа , и -.координаты вектора в базисе . Очевидно, равные векторы имеют равные координаты в любом базисе. Проекция вектора. Свойства проекции. Определение. Осью называется прямая, на которой задано направление. Пример – оси координат. Рассмотрим ось и вектор :  Пусть точка есть проекция точки , а точка есть проекция точки , на ось . Определение. Проекцией вектора на ось (обозначение: ) называется длина отрезка , взятая со знаком «+», если вектор и ось направлены в одну сторону (угол ) и взятая со знаком «+», если вектор и ось направлены в разные стороны (угол ). Проекция вектора на ось равна нулю, если вектор перпендикулярен оси (угол ).  Поскольку вектор, как и ось, задает направление, можно говорить о проекции вектора на вектор, т.е. на ось, проходящую через этот вектор. Свойства проекции вектора на ось. Равные векторы имеют равные проекции: Доказательство. Очевидно в силу того, что вектор не изменяется при параллельном переносе. Проекция сумы векторов равна сумме их проекций: Доказательство. По определению :  Рис.1 Рис.2    Рис.3 Рис.4 Постоянный множитель можно выносить за знак проекции: Доказательство. Пусть . Тогда угол, наклона векторов и к оси одинаков, и равен :  По теореме Фалеса поскольку по правилу умножения вектора на число и в рассматриваемом случае , т.к. , то . Итак, Или Пусть . Угол между вектором и осью обозначим через тогда угол между вектором и осью равен :  По теореме Фалеса поскольку по правилу умножения вектора на число и в рассматриваемом случае , т.к. , то . Итак, Или Система координат. Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Прямоугольная декартова система координат. Зафиксируем в пространстве точку и рассмотрим три взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в точке . Обозначим через - единичные векторы (орты) осей соответственно.  Определение. Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице. Базис называется нормированным, если все векторы базиса имеют длину, равную единице. Базис называется ортонормированным, если он ортогонален и нормирован. Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат. Координатами точки в прямоугольной декартовой системе координат называются проекции точки на соответствующие координатные оси:  Аффинная система координат. Зафиксируем в пространстве точку и рассмотрим три оси, пересекающиеся в точке под фиксированными углами :  Координаты в аффинной системе координат получаются следующим образом: через точку проводят плоскости, параллельные координатным плоскостям; в качестве координат точки берутся длины отрезков, отсекаемых на осях координат, взятые со знаком «+» или «–» в зависимости от того, в положительной или отрицательной части оси находится отрезок:  Рис.6. Рис.7. В прямоугольной декартовой системе координат проекция точки на координатную ось совпадает с соответствующей ее координатой, что значительно упрощает многие формулы. Это свойство нарушается в аффинной системе:  Проекцией вектора на ось является длина отрезка , но . По этой причине в дальнейшем рассматривается только прямоугольная декартова система координат. Определение. Радиус- вектором точки называется вектор . Очевидно, проекции радиус-вектора точки на координатные оси совпадают с соответствующими проекциями самой точки . Поскольку и , то Таким образом, координатами радиус-вектора являются проекции точки на соответствующие координатные оси. Утверждение 5. Координаты вектора можно вычислить, отняв от координат точки его конца координаты точки его начала, Доказательство. По определению разности векторов: :  По свойствам проекции: . Итак, . Пример. Найти координаты вектора , если ; Решение. По утверждению 5: . Утверждение 6. Если известны координаты вектора , то его длину можно вычислить по формуле: . Доказательство. Как уже отмечалось, можно считать, что все векторы исходят из начала координат. На плоскости:  Рис.5. По теореме Пифагора: . В пространстве:  Рис.6. Направляющие косинусы вектора Определение. Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов наклона вектора к осям координат. Обозначение: .  Пример. Найти длину и направляющие косинусы вектора, началом которого служит точка , а концом – точка . Решение. Найдем координаты и длину вектора : Вычислим направляющие косинусы вектора: . Пример. Даны векторы(1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Решение. По теореме о базисе в пространстве, три векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим определитель, строки которого есть координаты векторов , и . Если строки в определителе линейно независимы, то он отличен от нуля. Проверим выполнение этого условия. Итак, векторы , и образуют базис. Разложим вектор по этому базису, т.е.представим вектор в виде линейной комбинации базисных векторов: . (*) Для выполнения поставленной задачи остается найти коэффициенты и. Перепишем равенство (*) в координатах: . Последнее равенство эквивалентно системе: . Для решения этой системы воспользуемся методом Гаусса. Прибавим первую строку, умноженную на -2, ко второй, и первую строку, умноженную на -3, - к третьей: Прибавим вторую строку, умноженную на -3, к третьей: Итак, Итак, , координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}. Деление отрезка в заданном отношении Пусть на отрезке выбрана некоторая точка . Говорят, что точка делит отрезок в отношении , если . Поскольку и , то Запишем последнее равенство в координатах. Поскольку то Последнее равенство эквивалентно системе , откуда Если точка - середина отрезка, то и тогда: Линейные операции над векторами в координатах. 1 2 |