шо. Определенный интеграл. Определение основные свойства (1). Определённый интеграл
 Скачать 351.1 Kb.
|
|
254 Глава 9 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определённый интеграл – одно из центральных понятий матема- тического анализа – является мощным средством исследования и решения многочисленных теоретических и прикладных задач. § 9.1. Некоторые задачи, определения 1. Понятие площади криволинейной трапеции. Пусть на проме- жутке b x a задана непрерывная неотрицательная функция 0 ) ( x f y (рис. 9.1). Фигура AabB, ограниченная отрезком ] , [ b a , кривой ) (x f y и двумя прямыми a x и b x , называется криво- линейной трапецией. Определим, что понимать под её площадью. Разделим ] , [ b a произвольным образом на n малых частей точка- ми b x x x x x x x a n n k k 1 1 2 1 0 . Получим n частич- ных отрезков ] , [ 1 k k x x и обозначим 1 k k k x x x ) ,... 2 , 1 ( n k , причём через k x будем обозначать не только длину, но и сам отре- зок ] , [ 1 k k x x . В каждом из частичных отрезков возьмём произвольно A Рис. 9.1 B n x n =b x n–1 a=x 0 x k-1 x k 0 x f y y х x 1 x 2 1 2 k 255 по точке n ,..., , 2 1 и в них проведём ординаты ) ( k f ) ,..., 2 , 1 ( n k . Кривую ) (x f y заменим ступенчатой линией, а кри- волинейную трапецию – ступенчатой фигурой, состоящей из n пря- моугольников с площадями k k k x f P ) ( ) ,..., 2 , 1 ( n k . Величи- ну k P берут за приближённое значение площади малой криволи- нейной трапеции, соответствующей участку ] , [ 1 k k x x . Сумму n n k k x f x f x f ) ( ) ( ) ( 1 1 n k k k x f 1 ) ( принимают за приближённое значение площади P криволинейной трапеции. Точное значение площади определится как предел n k k k x f P 1 0 ) ( lim , (9.1) где k n k x 1 max (если 0 , то n ; обратное необязательно). 2. Определение работы переменной силы. Известно, что работа A постоянной силы F, направленной в сторону движения на прямоли- нейном участке длины S, определяется формулой S F A . Теперь допустим, что материальная точка перемещается по отрезку b x a под действием переменной силы ) ( x f , направленной в сторону движения и меняющейся непрерывно. Чтобы определить работу этой силы, разделим ] , [ b a на n малых участков k x (см. п. 1). Поскольку участок мал, то и сила на нём меняется мало, она по- чти постоянна, и её можно принять приближённо равной ), ( k f где k – какая-нибудь точка промежутка ] , [ 1 k k x x , а работа на нём при- ближённо будет k k k x f A ) ( . За работу на всём промежутке ] , [ b a принимают предел: n k k k x f A 1 0 ) ( lim (9.2) Так в геометрии и физике мы пришли к необходимости рассмотрения одинаковых образований (9.1) и (9.2). Надо изучить их в чистом виде, независимо от их природы. Этим и занимается математика. 256 Отметим, что в обеих задачах применяется одинаковый приём – непрерывно меняющая величина ) ( x f заменяется дискретно меня- ющейся: кусочно-постоянной, а для постоянных процессов соответ- ствующие величины заранее известны. Ещё заметим, что хотя и применили знак предела (lim) , однако это предел нового сорта (не предел функции или последовательности), и надо ещё дать его опре- деление. 3. Понятие определённого интеграла. Пусть на промежутке b x a задана некоторая функция ) ( x f . Разобьём этот промежу- ток произвольным образом на n частей точками (см. рис. 9.2): b x x x x x x a n n k k 1 1 1 0 Обозначим 1 k k k x x x ) ,..., 2 , 1 ( n k – это длина частичного про- межутка ] , [ 1 k k x x . В каждом из них берём произвольно по точке k , ] , [ 1 k k k x x , и составим сумму n k k k x f 1 ) ( Она называется интегральной или римановой суммой и зависит от функции, от отрезка ] , [ b a , способа его разбиения и выбора точек k Обозначим k n k x 1 max – это есть наибольшая из длин отрезков , k x она называется мел- кость данного разбиения. Определение 1. Число I (если оно существует) называется преде- лом интегральных сумм при , 0 если каким бы малым числом 0 мы ни задались, по нему найдётся число , 0 такое, что не- x n–1 n x n =b x k k x k–1 2 1 x 2 x 1 a = x 0 х Рис. 9.2 257 равенство I будет иметь место для всех интегральных сумм, для которых , независимо от способа разбиения и выбора точек k В этом случае пишут 0 lim I Определение 2. Если существует предел I интегральных сумм при , 0 то функция ) (x f называется интегрируемой (по Риману) на отрезке ] , [ b a . Само число I называется определённым интегралом от функции ) (x f по отрезку ] , [ b a и обозначается символом b a dx x f I ) ( (читается: интеграл от a до b от функции f (x) на dx). Итак, по определению ) ( lim ) ( 1 0 b a n k k k x f dx x f I (9.3) Число a – нижний предел интеграла, b – верхний предел, x – пере- менная интегрирования. Определённый интеграл – это не функция, а число, и в образова- ние интегральных сумм обозначение переменной x не входит – в них присутствуют лишь значения ) ( k f в любых точках отрезка ] , [ b a , и х можно заменить любой другой буквой: b a dx x f I ) ( b a dt t f ) ( ) ( b a d f (например, 1 0 2 dx x 1 0 2 dt t ….). Это есть свойство независимости величины определённого интегра- ла от обозначения переменной интегрирования. Знак ввёл Лейбниц – это стилизованная буква S (начальная буква от латинского Summa), ею ранее обозначалась сумма вместо греческой буквы . Поскольку числа k могут заполнять весь отре- зок ] , [ b a , а k x напоминают dx, то стали писать f(x)dx в знак того, что учитываются значения функции во всех точках ] , [ b a x . Окон- 258 чательное обозначение b a dx x f ) ( ввёл французский математик и фи- зик Жозеф Фурье (1768–1830). Оказалось, что такое обозначение имеет большой смысл: оно позволяет лучше запоминать формулы, формализовать вычисления, на значок dx в определённой ситуации смотреть как на дифференциал и так далее. Термин «интеграл» (от лат. integer – целый, восстановленный) предложил Иоганн Бернулли – ученик и сподвижник Лейбница. Исторически определённый инте- грал возник раньше неопределённого. 4. В соответствии с определением (9.3) формулы (9.1) и (9.2) представляют соответственно геометрический и физический (меха- нический) смысл определённого интеграла: b a dx x f P ) ( – площадь криволинейной трапеции, b a dx x f A ) ( – работа переменной силы. 5. Теорема 9.1 (необходимое условие интегрируемости). Если функция f(x) интегрируема на отрезке ] , [ b a , то она ограничена на нём. Дано, что интеграл (9.3) существует. Рассуждаем «от противно- го»: если бы функция ) (x f на ] , [ b a была неограниченной, то как бы мы ни разбивали этот промежуток, она будет неограниченной хотя бы в одном из частичных промежутков, – пусть это будет m x . Но тогда за счёт выбора точки m можно было бы сделать ) ( m f , а вместе с тем m m x f ) ( и всю сумму сколь угодно большой по абсолютной величине – и поэтому конечного предела для не существовало бы. А это означает, что функция неинтегрируема. Полученное противоречие доказывает теорему. ▲ Итак, интегрируемая функция необходимо, обязательно ограни- чена. Поэтому далее рассматриваемую функцию ) (x f будем пред- полагать ограниченной: ] , [ , ) ( b a x M x f m 259 Однако одной ограниченности функции недостаточно для инте- грируемости, теорема (9.1) необратима. Убедимся в этом на примере. Пример. На промежутке 1 0 x рассмотрим функцию Дирихле если , 0 , если , 1 ) ( ьное иррационал x ое рациональн x x D Она ограничена: 1 ) ( 0 x D , однако не будет интегрируемой. Для доказательства этого утверждения разделим отрезок [0,1] на ча- сти произвольным образом и составим интегральную сумму n k k k x D 1 ) ( 1) При любом разбиении за k можно взять рациональные числа, тогда 1 ) ( k D и n k k x 1 1 . 2) Но в качестве k можно взять и иррациональные точки, тогда 0 ) ( k D и 0 Так что при любых разбиениях существуют интегральные суммы, равные 0 и 1, поэтому они предела не имеют – функция неинтегри- руема. 6. Классы интегрируемых функций. Мы видели, что и ограничен- ные функции не все интегрируемы. Какие же из них интегрируемы? Ответ даёт Теорема 9.2 (достаточные условия существования определённого интеграла). 1 . Если функция ) (x f непрерывна на отрезке ] , [ b a , то она ин- тегрируема. 2 . Если функция ограничена и имеет конечное число точек раз- рыва, то она интегрируема. 3 . Монотонные ограниченные функции интегрируемы. Доказательство можно найти, например, в книге [19]. Замечание 1. Легко видеть, что изменение интегрируемой функ- ции в конечном числе точек не изменяет значения интеграла, а потому совершенно неважно, определена функция в этих точках или нет. Так, существуют, как обычные, определённые интегралы 260 1 0 sin dx x x , 1 0 1 dx x e x (при желании подынтегральным функциям в точке 0 x можно назначить любое значение A – от него величины интегралов не зависят). Замечание 2. Если функция интегрируема, то для вычисления предела I достаточно брать специальные разбиения и выбирать точ- ки k (лишь бы 0 ). Пример. Найдём площадь, ограниченную осью Ox , параболой 2 x y и прямыми 0 x и 1 x Эта площадь есть 1 0 2 dx x P . Так как функция 2 ) ( x x f интегри- руема, то точки деления можем брать произвольными; возьмём их так: 0 0 x , n x 1 1 ,…, n k x k ,…, 1 n n x n . Отсюда за точки k возьмём правые концы подынтервалов: k k x ) ,..., 2 , 1 ( n k , тогда 2 2 ) ( n k f k k . Составляем интегральную сумму n k n k k k n n k x f 1 1 2 1 ) ( ) 2 1 ( 1 1 2 2 2 3 1 2 3 n n k n n k 3 6 ) 1 2 )( 1 ( n n n n (Использовали известную формулу для суммы квадратов чисел 1,2,…,n.) Пусть 0 , тогда n и получим ) ед. ( 3 1 6 ) 1 2 )( 1 ( lim lim 2 3 0 1 0 2 n n n n dx x P n Если провести параболу, симметричную с данной относительно бис- сектрисы x y , то квадрат разделится на 3 равновеликие части (рис. 9.3). Интересно отметить, что эту площадь считал ещё Архи- мед своим «методом рычага» (тут зачатки определённого интеграла). Однако так всегда считать суммы и пределы – дело трудное и обыч- но невозможное. Для многих функций здесь на помощь приходит 261 неопределённый интеграл в виде формулы Ньютона–Лейбница (см. далее, § 9.3). § 9.2. Свойства определённого интеграла В дальнейшем будем заранее предполагать, что все рассматрива- емые функции интегрируемы. Во всяком случае, не будем доказы- вать интегрируемость, даже когда это легко сделать. Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегра- лов от слагаемых. Так, в случае двух функций: b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( )) ( ) ( ( (9.4) Интегральную сумму для функции ) ( ) ( x g x f разобьём на два слагаемых: n k n k k k k k n k k k k x g x f x g f 1 1 1 ) ( ) ( )) ( ) ( ( Отсюда, переходя к пределу при 0 max 1 k n k x , получим равен- ство (9.4). ▲ y Рис. 9.3 x y 2 x y x 1 1 0 262 Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: b a b a dx x f A dx x f A ) ( ) ( (9.5) Составляем интегральную сумму для функции ) (x f A : n k k k n k k k x f A x f A 1 1 ) ( ) ( Переходя к пределу при 0 , получим равенство (9.5). (В отличие от неопределённого интеграла здесь допустимо и значение 0 A .) ▲ Свойства 1 и 2 выражают «свойство линейности определённого интеграла»: b a b a b a dx x g B dx x f A dx x g B x f A ) ( ) ( )) ( ) ( ( Пример. 1 0 2 ) 1 3 ( dx x x 1 0 1 0 1 0 2 5 , 1 1 2 1 3 1 3 3 dx dx x dx x Последние два интеграла можно найти как площади соответ- ственно треугольника и прямоугольника. Замечание. По определению полагают a a dx x f 0 ) ( , a b dx x f ) ( b a dx x f ) ( Это можно подтвердить тем, что в первом случае следует считать 0 k x , ибо все точки n x x x ,..., , 1 0 могут только совпадать, а во вто- ром случае 0 k x , так как a x x b x n 1 0 . Понятно тогда, что свойства 1 и 2 остаются в силе, и когда a > b. Свойство 3 (свойство аддитивности). (Аддитивный – получаемый путём сложения.) Для любых чисел a, b, c справедливо равенство b a b с с a dx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) ( (9.6) (если только все эти три интеграла существуют). 263 I. Пусть a < b. 1) Если точка с лежит внутри отрезка [a, b], то есть a < c c a b c k k k k b a k k x f x f x f ) ( ) ( ) ( (так записали интегральные суммы соответственно для отрезков [a, b], [a, c], [c, b]). Переходя здесь к пределу при 0 , получим равенство (9.6). 2) Пусть точка с лежит вне [a, b], например, справа: a < b Применим доказанное к интервалу [a, c]. Получим с a c b b a dx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) ( , откуда b a c b c a dx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) ( c a dx x f ) ( b c dx x f ) ( II. Случай a > b сводится к установленному, если применить предварительно замечание. ▲ Для 0 ) ( x f и a < c Дальнейшие свойства 4, 5, 6 можно назвать: «Свойства, выража- емые неравенствами»; в них по существу a < b. Свойство 4 (оценка интеграла сверху и снизу). Если M x f m ) ( на промежутке b x a , то ) ( ) ( ) ( a b M dx x f a b m b a (9.7) c x b a c x b a 264 Интегральную сумму для функции ) (x f оценим сверху и снизу, учитывая, что 0 k x и a b x n k k 1 : n k k k n k k n k k x f x m x m a b m 1 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 a b M x M x M n k k n k k Отсюда, переходя к пределу при , 0 получим неравенство (9.7).▲ Следствие 1. Если 0 ) ( x f при b x a , то и 0 ) ( b a dx x f – это получим из (9.7), где можно взять 0 m Следствие 2. Если 0 ) ( x f на отрезке b x a и 0 ) ( 0 x f хотя бы в одной точке ] , [ 0 b a x , в которой функция ) (x f непрерывна, то 0 ) ( b a dx x f . Свойство 5. Если ) ( ) ( 2 1 x f x f на отрезке b x a , то и b a b a dx x f dx x f ) ( ) ( 2 1 (9.8) Поскольку 0 ) ( ) ( 1 2 x f x f , то на основании следствия 1 b a b a b a dx x f x f dx x f dx x f 0 )) ( ) ( ( ) ( ) ( 1 2 1 2 . ▲ Упражнения. 1) Выяснить геометрический смысл свойств 4, 5 и следствий 1, 2. 2) Найти некоторую, пусть грубую, оценку для чисел dx e x 3 0 2 , 2 ln e e x dx . Свойство 6 (оценка интеграла по модулю). Модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля той же функции: 265 b a b a dx x f dx x f ) ( ) ( (9.9) Интегральную сумму функции ) ( x f оценим по модулю, учиты- вая, что 0 k x : k n k k n k k k x f x f 1 1 ) ( ) ( Справа – интегральная сумма функции ) ( x f . Отсюда, переходя к пределу при 0 , получим неравенство (9.9). ▲ Свойство 7 (теорема о среднем значении в интегральном исчис- лении). Если функция ) ( x f непрерывна на отрезке ] , [ b a , то на этом отрезке найдётся точка с, такая, что будет справедливо равен- ство ) ( ) ( ) ( a b c f dx x f b a (9.10) 1) Пусть a < b. Так как функция ) ( x f непрерывна на замкнутом отрезке ] , [ b a , то она по 2-й теореме Вейерштрасса имеет на нём наибольшее M и наименьшее m значения, так что , ) ( M x f m ] , [ b a x . По свойству 4 будет выполняться неравенство (9.7), от- куда: M dx x f a b m b a ) ( 1 Обозначим b a dx x f a b ) ( 1 (9.11) Имеем M m . Поскольку функция ) ( x f непрерывна, то по 2-й теореме Больцано–Коши она принимает все значения, промежуточ- ные между значениями m и M: найдётся точка ] , [ b a с , в которой ) ( c f , так что приходим к равенству (9.10). 266 2) Если a>b, то надо только использовать замечание и затем до- казанный результат п. 1). ▲ Число (9.11) называется средним (или средним арифметическим) значением функции ) ( x f на отрезке ] , [ b a ; для непрерывной функ- ции оно действительно является значением функции в некоторой «средней» точке c. (Сравните с определением средней скорости T dt t v T v 0 ) ( 1 ) Вопрос о точке c можно уточнить так: такая точка всегда найдёт- ся внутри промежутка ] , [ b a : ) , ( b a с Геометрически равенство (9.10) означает, что площадь криволи- нейной трапеции равна площади некоторого «среднего» прямо- угольника (рис. 9.4). |